几何画板让高中数学生动起来.docx

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几何画板让高中数学生动起来

几何画板让高中数学生动起来

224600响水县第二中学许海亮

【摘要】“几何画板”被誉为“二十一世纪的动态几何”。

它能动态地保持不变几何关系，帮助学生深刻理解数学规律，有效突破教学难点。

本文从“化抽象为直观、化繁难为简易、化想象为操作、化问题为验证”四个方面探究了几何画板对高中数学教学的作用。

几何画板的使用有利于调动学生积极参与，加深对数学概念的深层理解，拓宽学生数学能力的培养。

【关键词】几何画板、高中数学、交互

数学是一门严谨的科学，它具有严密的逻辑性和演绎性．《高中数学教学课程标准》指出：

“现代信息技术的广泛运用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等产生深刻的影响．教学中要重视利用信息技术来呈现、以往课堂教学难以呈现的内容．”在传统的教学中由于缺少某些必要的教具和动画演示，许多概念和性质对应的图形无法准确生动表示，学生只能在老师的解释和粗略的草图下进行理解，背离了数学来源于生活，又高于生活的本质，致使学生普遍认为数学抽象难学．另外，一些繁难的计算也浪费了大量时间，使课堂效率降低．为改变这些弊病，老师的教学方式和手段就必须改变．在多媒体基本普及的今天，信息技术的力量使上述问题的解决成为可能的和可行的．

在众多的信息技术中，《几何画板》软件不仅具有强大的作图、计算及动画功能，而且具有即时性与交互性。

那么，《几何画板》在高中数学教学中有哪些应用呢？

作为一名高中数学教师笔者就此谈几点体会：

一、使抽象问题形象化、直观化，激发学生的学习热情

“函数”是中学数学中最基本、最重要的概念，它的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分；同时，函数是以运动变化的观点对现实世界数量关系的一种刻划。

华罗庚所说：

“数缺形少直观，形缺数难入微。

”

案例1：

可以用《几何画板》可以作出含有若干参数的函数图象，当参数变化时函数图象也相应地变化，如在讲函数

的图象时，传统教学只能将A、ω、φ代入有限个值，观察各种情况时的函数图象之间的关系，而利用《几何画板》则可以以线段b、T的长度和A点到x轴的距离为参数作图（如图1），当拖动两条线段的某一端点（即改变两条线段的长度）时分别改变三角函数的首相和周期，拖动点A则改变其振幅，这样在教学时既快速灵活，又不失一般性。

图1

案例2：

可以利用《几何画板》进行演示空间几何中象两异面直线所成的角、圆柱与圆锥等的形成过程，增强立体感、空间感．如在讲二面角的定义时（如下图2），当拖动点A时，点A所在的半平面也随之转动，即改变二面角的大小，图形的直观地变动有利于帮助学生建立空间观念和空间想象力；如在讲棱台的概念时，可以演示由棱锥分割成棱台的过程（如图3），更可以让棱锥和棱台都转动起来，使学生在直观掌握棱台的定义，并通过棱台与棱锥的关系由棱锥的性质得出棱台的性质的同时，让学生欣赏到数学的美，激发学生学习数学的兴趣；如在讲锥体的体积时，可以演示将三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥的过程（如图4），既避免了学生空洞的想象而难以理解，又锻炼了学生用分割几何体的方法解决问题的能力;

图3图4

二、减少一些繁难、复杂的计算过程，提高课堂容量和教学效率

众所周知数学课中往往要进行大量计算，这些计算往往由教师在备课中先做好了．但是有些课的计算即使课前准备好了，上课时就是抄在黑板上也会浪费大量时间（当然可用投影仪投影，但有时效果不一定理想），不仅费时费力，无法抽出更多的时间进行分析讲解，降低教学质量，而且课堂容量低，学优生感到无事做，衍生出厌烦心理，这时可心用几何画板来辅助教学．

案例1：

可以用《几何画板》根据函数的解析式快速作出函数的图象，并可以在同一个坐标系中作出多个函数的图象，如要在同一坐标系下作出指数函数

，

，

，

的图象，可以利用几何画板图表菜单中的绘制新函数功能，快速地绘制出以上四个指数函数图象，再比较各图象的形状和位置，归纳指数函数

的性质。

图5

案例2：

可以利用《几何画板》解决方程的近似解问题。

如用二分法求方程lnx+3x-5=0的近似解（精确度为0.01）．首先，设函数f（x）=lnx+3x-5，则方程lnx+3x-5=0的近似解等于函数f（x）=lnx+3x-5的零点问题，利用《几何画板》作出y=lnx与y=5-3x的图象，发现两函数的交点在区间[1，2]内．然后，将参数的精确度修改为十万分之一．新建参数n=1.00000，a=1.00000，b=2.00000，计算得

=-0.0945349,f（a）=-2.00000，f（b）=1.69315，再判断如果

﹤0，则令x1=

x2=b.否则令x1=a,x2=

.最后，隐藏a=1.00000，b=2.00000，并计算f（x1），f（x2）及x2—x1的值，选中a，b及n进行迭代，通过改变n的值就可得到用二分法求方程lnx+3x-5=0的近似解所需的表格，根据精确度很容易得到所需的近似解为1.52344．

图6

利用《几何画板》以后在讲解类似的课程时只需改变函数的表达式，及区间端点的值，就可求得所需的方程的近似解．这无疑是快捷简便又一劳永逸的事，比用计算器计算快多了．节省了大量的课堂时间，学生学习的效率还不能提高吗？

三、使“实验数学、操作数学”成为可能，培养学生实践和创新能力

数学的创新需要数学实验、猜想．在老师的指导下，几何画板可给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境．通过任意拖动图形、观察图形、猜测并验证，在观察、探索，发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有助于学生理解和证明．

案例1：

《几何画板》又以其极强的运算功能和图形图象功能在解析几何的教与学中大显身手。

如它能作出各种形式的方程（普通方程、参数方程、极坐标方程）的曲线；能对动态的对象进行“追踪”，并显示该对象的“轨迹”；能通过拖动某一对象（如点、线）观察整个图形的变化来研究两个或两个以上曲线的位置关系。

如在讲椭圆的定义时，可以由“到两定点F1、F2的距离之和为定值的点的轨迹”入手──如图7，令线段AB的长为“定值”，在线段AB上取一点E，分别以F1为圆心、AE的长为半径和以F2为圆心、AE的长为半径作圆，则两圆的交点轨迹即满足要求。

先让学生猜测这样的点的轨迹是什么图形，学生各抒己见之后，老师演示图7

（1），学生豁然开朗：

“原来是椭圆”。

这时老师用鼠标拖动点B（即改变线段AB的长），使得|AB|=|

|，如图7

（2），满足条件的点的轨迹变成了一条线段F1F2，学生开始谨慎起来并认真思索,不难得出图7（3）（|AB|<|

|时）的情形。

经过这个过程，学生不仅能很深刻地掌握椭圆的概念，也锻炼了其思维的严密性。

案例2：

在探究《两条直线的平行与垂直》（苏教版）时,情境创设如果单纯地用PowerPoint画两条静态的直线，与在黑板上画的效果是一样，吸引不了学生的注意，但借助“几何画板”教学软件,在平面直角坐标系内分别作出两条平行直线、两条互相垂直的直线，在每条直线上各取两点，度量出它们的坐标，运用计算功能计算出每一条直线的斜率，对两条互相垂直的直线的斜率进行加、减、乘、除等各类运算，分别旋转两条平行直线（始终保持平行）、两条互相垂直的直线（始终保持垂直），同时展示上述度量及计算结果，数随图动（如下图），让学生通过观察发现问题的结论。

形象直观，真实生动，必然激发学生进一步探究的强烈欲望。

图8

案例3：

在探究《正弦定理》（苏教版）时，让学生从已有的几何知识出发,先让学生感受到在直角三角形中角与边的关系。

在Rt

ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，

有

，

，又

则

从而在直角三角形ABC中，

。

然后共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理。

按传统的做法，要求学生去画任一三角形，并使用量角器度量角度，由于测量存在一个精确度的问题，学生测量出的角度并不够精确，再去验证正弦定理的比值时，就一定不会得到相等的结果，然而如果学生或老师可以使用几何画板，首先很容易画出一个任一三角形，利用度量菜单里的长度与角度就可以测量出准确值来，再用计算功能就可以算出边与对角的正弦之比，几何画板的功能并不仅仅在于此，然后自由拖动三角形的任一点，改变三角形的形状，发现比值始终保持相等，通过运用几何画板，从而使学生经过猜想，验证的过程，最终发现对于任一角形，都有

的正弦定理。

图9

因此，在运用几何画板探究问题的过程中学生能通过计算机实时验证猜想的正确与否，及时修正思路，提出新问题，解决问题，从而达到培养学生发现问题，提出问题，解决问题的能力，培养学生创新意识和实践能力．运用几何画板的计算、测量、绘图等功能进行快速验证一般性结论的真伪，从而清除“抽象的数学”给学生造成的畏惧心理，使数学的学习更加快乐，也为学生证明一般性的结论提供了内驱力．

四、培养学生自主学习的能力

教师在平时利用几何画板辅助教学的过程中同时也教会学生如何使用几何画板，当学生遇到某些能利用几何画板解决的问题无法理解，身边又没有人可以帮助时可以利用几何画板来自己解决．当遇到某些奇思妙想时也可借助几何画板来进行验证．

案例1：

在探究得到指数函数

与对数函

是互为反函数后，学生通过观察图象后问：

是否当时它们的图象无交点？

当时它们的图象只有一个交点，且交点在直线y=x上？

为解决这个问题，不妨让学生利用几何画板进行探究．不断改变参数a的值，观察图象知：

大约当a﹥1.4时两函数的图象无交点；大约当1﹤a﹤1.4时两函数的图象有两个交点；大约当0﹤a﹤1时两函数的图象只有一个交点.

图10

案例2:

已知关于x的不等式ln（x-1）

当用正确方法解完本题后有学生问：

为什么用函数y=x2-3x+a的最小值大于函数y=ln（x-1）的值求解是错误的．为解决这个问题不妨用几何画板作出函数y=x2-3x+a与y=ln（x-1）的图象，通过图象来观察问题的症结在哪儿．通过改变参数a的取值发现抛物线y=x2-3x+a上离函数y=ln（x-1）的图象最近的点并非顶点，而是点（2,a-2），至此学生就明白错误所在了，大可不必大费口舌．

图11

总之，在数学课堂教学中适当借助《几何画板》软件辅助教学能使许多原本枯燥、抽象难以理解的知识得以形象化、直观化，还能让学生在轻松愉快的氛围中学到知识，学会思考，激发学习的兴趣，同时还能培养学生“观察——分析——归纳——猜想——证明”的能力，培养学生提出问题、发现问题的能力．

参考文献

[1]陶维林.几何画板新版特色与实用技巧[M].北京:

清华大学出版社,2003.11

[2]欧阳和平.发挥《几何画板》作用　努力提高课堂效率[J].中外教学研究.04