版物理新导学笔记人教版选修34讲义第十一章 机械振动 3.docx
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版物理新导学笔记人教版选修34讲义第十一章机械振动3
3 简谐运动的回复力和能量
[学习目标] 1.知道回复力的概念，理解简谐运动的动力学特征.2.知道振幅越大，振动的能量越大.3.理解简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况．
一、简谐运动的回复力
1．简谐运动
如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．
2．回复力
（1）定义：
使振动物体回到平衡位置的力．
（2）方向：
总是指向平衡位置．
（3）表达式：
F＝－kx.
二、简谐运动的能量
1．能量转化
弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程．
（1）在最大位移处，势能最大，动能为零．
（2）在平衡位置处，动能最大，势能最小．
2．能量特点
在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型．
[即学即用]
1．判断下列说法的正误．
（1）回复力的方向总是与位移的方向相反．（ √ ）
（2）回复力的方向总是与加速度的方向相反．（ × ）
（3）水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量一定为零．（ × ）
（4）回复力的大小与速度大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小．（ × ）
2．如图1所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中，位移方向为________，大小逐渐________，回复力方向为________，大小逐渐________，振子速度方向为________，大小逐渐________，动能逐渐________，势能逐渐________．（选填“正”“负”“增大”或“减小”）
图1
答案 正 减小 负 减小 负 增大 增大 减小
一、简谐运动的回复力
[导学探究] 如图2所示为放在光滑水平面的弹簧振子的模型，O点为振子的平衡位置，A、O间和B、O间距离都是x.
图2
（1）振子在O点时受到几个力的作用？
分别是什么力？
（2）振子在A、B点时受到哪些力的作用？
（3）除重力、支持力、弹簧弹力外，振子在O、A、B点还受到回复力的作用吗？
回复力有什么特点？
答案
（1）两个力；重力、支持力．
（2）重力、支持力、弹簧对其向右的弹力；重力、支持力、弹簧对其向左的弹力．
（3）不受．回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来命名的，不是一种新型的力，所以分析物体的受力时，不分析回复力．
回复力可以由某一个力提供（如弹力），也可能是几个力的合力，还可能是某一个力的分力，归纳起来，回复力一定等于物体沿振动方向所受的合力．
[知识深化] 简谐运动的回复力
1．回复力
（1）回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置．
（2）回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力，分析物体受力时不能再加上回复力．例如：
如图3甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力由静摩擦力提供．
图3
2．简谐运动的动力学特征
回复力F＝－kx.
（1）k是比例系数，并非弹簧的劲度系数（水平弹簧振子中k为弹簧的劲度系数）．其值由振动系统决定，与振幅无关．
（2）“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反．
（3）判断一个物体是否做简谐运动，可找出回复力F与位移x之间的关系，若满足F＝－kx，则物体做简谐运动，否则就不是简谐运动．
3．简谐运动的加速度
由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：
a＝－
x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反．
例1
（多选）如图4所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是（ ）
图4
A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复的力作用
C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
答案 AD
解析 回复力是根据效果命名的力，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程回复力逐渐减小，C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确．
简谐运动的回复力是根据效果命名的力，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力所提供的.
例2
如图5所示，弹簧劲度系数为k，在弹簧下端挂一个重物，质量为m，重物静止．在竖直方向将重物下拉一段距离（没超过弹簧弹性限度），然后无初速度释放，重物在竖直方向上下振动．（不计空气阻力）
图5
（1）试分析重物上下振动回复力的来源；
（2）试证明该重物做简谐运动．
答案 见解析
解析 回复力是重物在振动方向上的合力，需要对重物进行受力分析．物体的振动是否为简谐运动的动力学依据是：
回复力F和偏离平衡位置的位移x是否满足F＝－kx的关系．
（1）重物在竖直方向上下振动过程中，在竖直方向上受到了重力和弹簧弹力的作用，振动的回复力是重力与弹簧弹力的合力．
（2）重物静止时的位置即为振动的平衡位置，设此时弹簧的伸长量为x0，根据胡克定律和力的平衡有kx0＝mg.设重物振动过程中某一位置偏离平衡位置的位移为x，并取竖直向下为正方向，如图所示，此时弹簧的形变量为x＋x0，弹簧向上的弹力F弹＝－k（x＋x0），重物所受合力即回复力F＝mg＋F弹，联立以上各式可求得F＝－kx.若x>0，则F<0，表示重物在平衡位置下方，回复力向上；若x<0，则F>0，表示重物在平衡位置上方，回复力向下，回复力F方向总指向平衡位置．根据重物的受力特点可以判断重物做简谐运动．
1．判断一个振动为简谐运动的方法
（1）通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，利用位移—时间图象是否满足正弦规律来判断．
（2）对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受到的回复力是否满足F＝－kx进行判断．
（3）根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征a＝－
x进行判断．
2．振动的平衡位置应在合力为零的位置，不一定是弹簧原长位置．
二、简谐运动的能量
[导学探究]
如图6所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动．
图6
（1）从A到B的运动过程中，振子的动能如何变化？
弹簧弹性势能如何变化？
振动系统的总机械能是否变化？
（2）如果把振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？
振动系统的机械能是否增大？
（3）实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？
理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？
答案
（1）振子的动能先增大后减小 弹簧的弹性势能先减小后增大 总机械能保持不变
（2）振子回到O点的动能增大 系统的机械能增大 （3）实际的振动系统，能量逐渐减小 理想化的弹簧振动系统，能量不变．
[知识深化]
1．简谐运动的机械能由振幅决定，对于同一个振动系统，振幅越大，振动的能量越大．
2．简谐运动是一种无能量损失的振动，所以其振幅保持不变，又称为等幅振动．
例3
如图7所示，一水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.
图7
（1）简谐运动的能量取决于________，振子振动时动能和________相互转化，总机械能________．
（2）（多选）振子在振动过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．振子在平衡位置，动能最大，弹性势能最小
B．振子在最大位移处，弹性势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与弹性势能之和保持不变
（3）（多选）若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是（ ）
A．振幅不变B．振幅减小
C．最大动能不变D．最大动能减小
答案
（1）振幅 弹性势能 守恒
（2）ABD （3）AC
解析
（1）简谐运动的能量取决于振幅，振子振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒．
（2）振子在平衡位置两侧往复运动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变最大，弹性势能最大，所以B正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，D正确；在平衡位置处速度达到最大，动能最大，弹性势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以C错误．
（3）振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，因此选项A正确，B错误；由于机械能守恒，所以最大动能不变，选项C正确，D错误．
三、简谐运动中各物理量的变化
[导学探究] 如图8所示为水平的弹簧振子示意图，试分析振子运动过程中各物理量的变化情况．
图8
振子的运动
A→O
O→A′
A′→O
O→A
位移
方向
向右
向左
向左
向右
大小
减小
增大
减小
增大
回复力
方向
向左
向右
向右
向左
大小
减小
增大
减小
增大
加速度
方向
向左
向右
向右
向左
大小
减小
增大
减小
增大
速度
方向
向左
向左
向右
向右
大小
增大
减小
增大
减小
振子的动能
增大
减小
增大
减小
弹簧的势能
减小
增大
减小
增大
系统总能量
不变
不变
不变
不变
[知识深化]
1．简谐运动中各个物理量对应关系不同：
位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同．
2．简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0.在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep＝0，Ek最大．
3．位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小，位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大．
例4
如图9所示是弹簧振子做简谐运动的振动图象，可以判定（ ）
图9
A．t1到t2时间内系统的动能不断增大，势能不断减小
B．0到t2时间内振子的位移增大，速度增大
C．t2到t3时间内振子的回复力先减小再增大，加速度的方向一直沿x轴正方向
D．t1、t4时刻振子的动能、速度都相同
答案 A
解析 t1到t2时间内，x减小，弹力做正功，系统的动能不断增大，势能不断减小，A正确；0到t2时间内，振子的位移减小，速度增大，B错误；t2到t3时间内，振子的位移先增大再减小，所以回复力先增大再减小，C错误；t1和t4时刻振子的位移相同，即位于同一位置，其速度等大反向，但动能相同，D错误．
首先抓住平衡位置和最大位移处各物理量的特点.在平衡位置处回复力、加速度为零，速度、动能最大，势能最小，总能量不变；在最大位移处，回复力、加速度最大，速度、动能为零，势能最大，总能量不变.
1．（简谐运动的回复力）（多选）关于简谐运动的回复力，以下说法正确的是（ ）
A．简谐运动的回复力不可能是恒力
B．做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反
C．简谐运动公式F＝－kx中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
D．做简谐运动的物体每次经过平衡位置合力一定为零
答案 AB
解析 根据简谐运动的定义可知，物体做简谐运动时，受到的回复力为F＝－kx，k是比例系数，x是物体相对平衡位置的位移，回复力不可能是恒力，故A正确，C错误；质点的回复力方向总是指向平衡位置，与位移方向相反，根据牛顿第二定律，加速度的方向与合外力的方向相同，所以做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反，故B正确；做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力为零，但是合力不一定为零，故D错误．
2．（简谐运动的回复力）（多选）如图10所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，下列说法正确的是（ ）
图10
A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供
B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供
C．物体A与滑块B（看成一个振子）的回复力大小跟位移大小之比为k
D．若A、B之间的最大静摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为
答案 ACD
解析 物体A做简谐运动时回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的，故A正确；滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和A对B的静摩擦力的合力提供的，故B错误；物体A与滑块B（看成一个振子）的回复力大小满足F＝－kx，则回复力大小跟位移大小之比为k，故C正确；当物体间的摩擦力达到最大静摩擦力时，其振幅最大，设为A.以整体为研究对象有：
kA＝（M＋m）a，以物体A为研究对象，由牛顿第二定律得：
μmg＝ma，联立解得，A＝
，故D正确．
3．（简谐运动的能量）如图11所示，弹簧上面固定一质量为m的小球，小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，则小球在振动过程中（ ）
图11
A．小球最大动能应等于mgA
B．弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变
C．弹簧最大弹性势能等于2mgA
D．小球在最低点时的弹力大于2mg
答案 C
解析 小球平衡位置kx0＝mg，x0＝A＝
，当到达平衡位置时，有mgA＝
mv2＋Ep，A错．机械能守恒，因此动能、重力势能和弹性势能之和保持不变，B错．从最高点到最低点，重力势能全部转化为弹性势能，Ep＝2mgA，C对．对最低点加速度等于最高点加速度g，据牛顿第二定律F－mg＝mg，F＝2mg，D错．
4．（简谐运动中各物理量的变化）（多选）把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图12所示，下列结论正确的是（ ）
图12
A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置时，势能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球从B到O的过程中，振动的能量不断增加
答案 AB
解析 小球在平衡位置时动能最大，加速度为零，因此A选项正确．小球在A、B位置时，势能最大，加速度最大，因此B选项正确．小球靠近平衡位置时，回复力做正功；远离平衡位置时，回复力做负功．振动过程中总能量不变，因此C、D选项错误．
一、选择题
考点一 简谐运动的回复力和加速度
1．对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是（ ）
答案 C
解析 由简谐运动的回复力公式F＝－kx可知，C正确．
2．如图1所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是（ ）
图1
A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C．物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力
D．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
答案 D
解析 物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用．摩擦力提供A做简谐运动所需的回复力，其大小和方向都随时间变化，D选项正确．
3．如图2甲所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，图乙是弹簧振子做简谐运动时的位移—时间图象，则关于弹簧振子的加速度随时间的变化规律，下列四个图象中正确的是（ ）
图2
答案 C
解析 加速度与位移的关系为a＝－
，而x＝Asinωt，所以a＝－
sinωt，则可知C选项正确．
4．如图3所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于（ ）
图3
A．0B．kxC.
kxD.
kx
答案 D
解析 当物体离开平衡位置的位移为x时，弹簧弹力的大小为kx，以整体为研究对象，此时A与B具有相同的加速度，根据牛顿第二定律得kx＝（m＋M）a，故a＝
.以A为研究对象，使A产生加速度的力即为B对A的静摩擦力F，由牛顿第二定律可得F＝ma＝
kx.故正确答案为D.
5．（多选）如图4所示，物体m系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置（不计阻力），则下列判断正确的是（ ）
图4
A．m做简谐运动，OC＝OB
B．m做简谐运动，OC≠OB
C．回复力F＝－kx
D．回复力F＝－3kx
答案 AD
解析 当物体位移是x时，物体受到的作用力F＝F1＋F2＝－k1x－k2x＝－3kx，符合简谐运动的动力学方程，m做简谐运动，所以OB、OC都是物体做简谐振动的振幅，OB＝OC，综上所述，选项A、D正确．
6．（多选）如图5所示，一竖直放置的轻弹簧下端固定在水平地面上，质量为m的小球从弹簧正上方高为h处自由下落到弹簧上端A点，然后压缩弹簧到最低点C，若小球放在弹簧上可静止在B点，小球运动过程中空气阻力忽略不计，则下列说法正确的是（ ）
图5
A．B点位于AC连线中点的上方
B．B点位于AC连线中点的下方
C．小球在A点的回复力等于mg
D．小球在C点的回复力大于mg
答案 ACD
解析 小球放在弹簧上，可以静止于B点，知B点为平衡位置，若小球从A点由静止释放，平衡位置在A点和最低点的中点，而小球从弹簧的正上方自由下落，最低点需下移，但是平衡位置不变，可知B点位于AC连线中点的上方，故A正确，B错误；小球在A点所受弹力为零，则小球在A点所受的合力为mg，即回复力为mg，故C正确；若从A点静止释放，到达最低点时，加速度与A点对称，大小为g，但是C点所处的位置在A点关于平衡位置对称点的下方，小球在C点的回复力大于mg，故D正确．
考点二 简谐运动的能量
7．（多选）一个做简谐运动的物体，每次势能相同时，下列说法中正确的是（ ）
A．有相同的动能
B．有相同的位移
C．有相同的加速度
D．有相同的速率
答案 AD
解析 做简谐运动的物体机械能守恒，当势能相同时，动能一定相同，A正确；当势能相同时，物体位移、加速度和速度的大小相同，但方向无法确定，故B、C错误，D正确．
8．如图6所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图象，由图象可知（ ）
图6
A．在0.1s时，由于位移为零，所以振动能量为零
B．在0.2s时，振子具有最大势能
C．在0.35s时，振子具有的能量尚未达到最大值
D．在0.4s时，振子的动能最大
答案 B
解析 弹簧振子做简谐运动，振动能量不变，选项A错；在0.2s时位移最大，振子具有最大势能，选项B对；弹簧振子的振动能量不变，在0.35s时振子具有的能量与其他时刻相同，选项C错；在0.4s时振子的位移最大，动能为零，选项D错．
9．如图7所示，一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻质弹簧，左端固定，右端与质量为m、带电荷量为＋q的小球相连，静止在光滑、绝缘的水平面上．在施加一个场强为E、方向水平向右的匀强电场后，小球开始做简谐运动．那么（ ）
图7
A．小球到达最右端时，弹簧的形变量为
B．小球做简谐运动的振幅为
C．运动过程中小球的机械能守恒
D．运动过程中小球的电势能和弹簧的弹性势能的总量不变
答案 A
解析 小球做简谐运动的平衡位置是弹簧拉力和电场力平衡的位置，此时弹簧形变量为
，小球到达最右端时，弹簧形变量为
，A对，B错．电场力做功，故机械能不守恒，C错．运动过程中，小球的动能、电势能和弹簧的弹性势能的总量不变，D错．
考点三 简谐运动中各物理量的变化
10．（多选）如图8所示，弹簧振子在C、B间做简谐运动，O点为其平衡位置，则（ ）
图8
A．振子在由C点运动到O点的过程中，回复力逐渐增大
B．振子在由O点运动到B点的过程中，速度不断增加
C．振子在O点加速度最小，在B点加速度最大
D．振子通过平衡位置O点时，动能最大，势能最小
答案 CD
解析 振子在由C点运动到O点的过程中靠近平衡位置，位移减小，由F＝－kx可知回复力减小，故A错误；振子在由O点运动到B点的过程中，振子的速度不断减小，故B错误；由公式a＝－
分析可知，C正确；振子通过平衡位置O点时，动能最大，势能最小，故D正确．
11．（多选）如图9所示是某一质点做简谐运动的振动图象，下列说法正确的是（ ）
图9
A．在第1s内，质点速度逐渐增大
B．在第1s内，质点加速度逐渐增大
C．在第4s内，质点的动能逐渐增大
D．在第4s内，质点的势能逐渐增大
答案 BC
解析 在第1s内，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，位移增大，回复力和加速度都增大，故A错误，B正确；在第4s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小，动能增大，势能减小，故C正确，D错误．
二、非选择题
12．（简谐运动的能量）如图10所示，弹簧下面挂一个质量为m的物体，物体在竖直方向做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长．重力加速度为g，则物体在振动过程中
图10
（1）物体在竖直方向做简谐运动的过程中物体的机械能是否守恒？
________.
A．守恒 B．不守恒 C．不确定
（2）物体在最高点回复力的大小________在最低点回复力的大小．（选填“大于”“小于”或“等于”）
（3）系统的最大弹性势能等于________．
（4）物体在最低点所受弹力等于________．
答案
（1）B
（2）等于 （3）2mgA （4）2mg
解析
（1）物体在竖直方向做简谐运动的过程中，由于弹簧的弹力对物体做功，因此物体的机械能不守恒，故B正确．
（2）物体在竖直方向做简谐运动，根据对称性可知，物体在最高点回复力的大小等于在最低点回复力的大小．
（3）从最高点到最低点，动能变化为0，重力势能减小2mgA，则弹性势能增加2mgA，而初位置弹性势能为0，则物体在最低点弹性势能最大，且为2mgA.
（4）物体在最高点时回复力为mg，由对称性知，在最低点时回复力大小也等于mg，方向竖直向上，则有mg＝F弹－mg，得F弹＝2mg.
13．（简谐运动中各物理量的变化）一质点做简谐运动，其位移和时间关系如图11所示．
图11
（1）求t＝0.25×10－2s时的位移；
（2）在t＝1.5×10－2s到2×10－2s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？
（3）在t＝0到8.5×10－2s时间内，质点通过的路程为多大？
答案
（1）－
cm
（2）变大 变大 变小 变小 变大 （3）34cm
解析
（1）由题图可知质点做简谐运动的振幅A＝2cm，周期T＝2×10－2s，振动方程为x＝Asin（ωt－
）＝－Acosωt＝－2cos
tcm＝－2cos100πtcm
当t＝0.25×10－2s时，x＝－2cos
cm＝－
cm.
（2）由题图可知在1.5×10－2～2×10－2s内，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大．
（3）从t＝0至8.5×10－2s的时间内为
个周期，质点
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