《直线与直线垂直》教学设计.docx

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《直线与直线垂直》教学设计

直线与直线垂直

一、内容和内容解析

　　1．内容

　　空间中异面直线所成的角，直线与直线垂直的符号表示、判定与证明．

　　2．内容解析

　　在前面的学习中，学生已经掌握了空间中直线与直线有相交、平行、异面三种不同的位置关系．学生在初中已经学习过直线与直线相交，在第8.5.1节又系统地学习了和直线与直线平行相关的基本事实4及其相关定理．本节课学习的内容为直线与直线垂直，实际上是从空间中异面直线所成的角出发来研究垂直问题．

　　高中教材涉及空间中的直线、平面的位置关系主要有两种——平行、垂直．直线与直线垂直可以承接初中学习的平面中直线与直线的垂直，又可以延伸出直线与平面垂直、平面与平面垂直等位置关系的研究．它是除平行之外、具有研究价值的位置关系，也是垂直关系中起到基础性作用的位置关系．

　　直线与直线平行、直线与直线垂直这两种位置关系不是相互对立的，而是直线与直线位置关系的不同表现．异面直线这一位置关系包含垂直，当我们用空间中直线与直线所成的角刻画直线与直线的位置关系、角度为时，即为异面直线的垂直．直线与直线相交、角度为时，也称为直线与直线垂直．所以垂直从直线与直线角度的测量的角度刻画直线间的位置关系，与位置关系分为平行、相交、异面是两个不同角度的描述．

　　基于以上分析，确定本节课的教学重点：

通过直线在空间中的平移刻画空间中直线与直线所成的角，厘清位置关系的表达与角度刻画之间的区别．能够通过平移后两直线的垂直证明异面直线的垂直．

　　二、目标和目标解析

　　1．目标

（1）理解空间中直线与直线的所成的角；会求异面直线所成的角．

（2）能够通过平移直线判断并证明空间中直线与直线垂直．

　　2．目标解析

　　达成目标

（1）的标志是：

学生能通过正方体模型或者借助道具，将空间中的两条直线平移至相交，借助平面内两相交直线的夹角来计算空间中两直线所成的角．特别是会计算正方体模型中面对角线与所有的棱或者其他面对角线所成的角．

　　达成目标

（2）的标志是：

学生能通过正方体模型中直线与直线的平行关系，借助基本事实4及推出的定理，再借助平面中直线与直线垂直的定理证明空间中异面直线的垂直．平面中能得到直线与直线垂直的一些结论主要包括：

勾股定理的逆定理；等腰三角形的底边与其中线垂直；菱形的对角线互相垂直等．

　　三、教学问题诊断分析

　　学生已经掌握空间中直线与直线的相交、平行两种位置关系，但是对于异面直线不是很了解，因此不知道如何刻画空间中异面直线的差异．

　　学生已经掌握以下两个结论：

平面中两条直线相交时形成四个角，其中不大于的角为这两条直线所成的角（或夹角）；如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．这为刻画异面直线的位置关系提供了基本前提．

　　显然空间中直线与直线所成的角，并不是异面直线所成的角所独有的．空间中任何两条直线都具有夹角．两直线平行时，我们规定其所成的角为．这样，空间中直线与直线的位置关系和直线与直线的夹角，成为认识空间中直线与直线的关系的两个视角．这两个视角可以相互转化．

　　所以，本节课的教学难点是：

掌握空间中直线与直线所成的角的概念及其计算方法．

　　四、教学过程设计

（一）探究，形成异面直线所成的角的概念

　　问题1：

空间中两条直线的位置关系有三种：

相交直线、平行直线和异面直线．在初中我们已经研究了平行直线和相交直线，本节课我们主要研究异面直线，首先我们研究如何刻画两条异面直线的位置关系．

　　如图1所示的正方体中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，但是它们的位置不同，如何描述这种差异呢？

　　设计意图：

从现有的知识水平出发，引发本节课的研究对象主要为异面直线．怎么描述不同的异面直线的差异，给出了研究的切入点．

　　师生活动：

教师引导学生类比平面中两直线所成的角，来通过定义异面直线所成的角刻画它们的差异．研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化成相交直线．平行公理为这一操作提供了理论依据．同时，将空间图形问题转化成平面图形问题也是研究空间图形的一种基本思路．

　　问题2：

通过平移可以将异面直线所成的角转化成平面中两直线所成的角．那么平移时，所选的点O的位置对它们所成的角的有没有影响，为什么？

　　师生活动：

启发引导学生通过8.5节中的定理解释点O的位置是任意的，对异面直线所成的角的大小没有影响，进而体会这样定义异面直线所成的角的合理性．

　　设计意图：

让学生思考平移操作的科学性与合理性，并促使其优化其操作步骤，进而探究问题的本质．将空间直线问题转化成平面图形问题本质上是一种建模，建模就要选择用最简捷有效的模型．当我们有了一个可以用于解决问题的模型的时候，就要思考有哪些环节可以优化或者省略．

　　追问1：

既然点O的位置是任意的，对异面直线所成的角的大小没有影响，那我们选在哪里比较合适呢？

　　追问2：

异面直线所成的角的取值范围是什么？

空间中直线与直线所成角的范围呢？

　　师生活动：

启发引导学生通过先前的实例寻求最简捷的选点，一般情况下，我们会将点O选在两条直线中的一条上．沿着我们解决问题的基本路径不难获得异面直线所成的角的取值范围为（0°,90°],这与平面中两相交直线所成的角的范围之一致的．而空间中两平行直线所成的角，教师可以告知规定．

　　设计意图：

思维的连贯性和严谨性是数学推理论证的基本要求，也是结论正确的有效保障．无论结果是否是正面的，我们都应该鼓励学生寻求问题的答案．厘清空间中直线与直线所成角的范围与异面直线所成角的范围，区分空间直线与直线所成的角和空间中直线与直线的位置关系是两个不同的视角．

（二）探究空间中直线与直线垂直

　　问题3：

如果两条异面直线a,b所成的角为直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，记为a⊥b．那么反过来，若空间中两条直线互相垂直，这两条直线是异面直线吗？

　　师生活动：

教师提出问题，引导学生思考不同概念之间的关系．异面直线a,b所成的角为直角的异面垂直以及相交直线垂直都是空间中两直线垂直的情形，所以异面直线垂直只是空间中直线垂直的其中一种情形．

　　设计意图：

垂直是直线与直线关系中比较重要的情形，此处的思辨可以使学生对空间直线的关系形成较为全面的认识，是对学生逻辑推理和数学直观素养提升的体现．

　　例1　如图2所示，已知正方体ABCD-A'B'C'D'．

（1）哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？

（2）求直线BA'与CC'所成角的大小．

　　（3）求直线BA'与AC所成角的大小．

　　师生活动：

教师可让学生单独写出问题的答案，再选择一些同学上讲台分享他们的想法．因为这些问题比较简单，也可让学生观察后口答．教师应追问答案的依据，一边查看学生是否真正掌握计算空间直线与直线的夹角的方法．

　　设计意图：

概念的形成就是要在认识——实践——再认识——再实践的过程中逐步形成的．本例借助正方体模型，大大简化了学生平移所需要的空间想象，突出了问题的考查对象，即空间中直线夹角的计算．师生活动突出学生的操作，体现了学生是课堂的主体，尽量促进学生发展的新课程理念．

　　师生活动：

教师可让学生通过讨论，然后推选学生代表到讲台板书证明过程．教师对学生的板书进行评价，对于写得好的地方大力表扬，不足的地方给出改正建议．力求证明过成的严谨与规范，板书的整洁．力求一题多解．

　　设计意图：

当给定对象不容易套用定理条件时，更能体现学生解决问题的能力．空间感的强弱对解决问题有一定的影响，一题多解促进学生多视角观察问题．这也是提高数学建模与数学直观数学素养的体现．

　　（三）空间直线与直线垂直的应用

　　练习1：

如果异面直线a与b所成角为50°，P为空间一定点，则过点P与a，b所成的角都是30°的直线有且仅有________条．

　　解：

过定点P作a、b的平行线a′，b′．

　　∵a，b成50°角，∴a′与b′也成50°角．

　　过P作∠A′PB′的平分线，取较小的角有

　　∠A′PO=∠B′PO=25°．

　　∵∠APA′＞∠A′PO，

　　∴过P作直线l与a′，b′成30°角的直线有2条．

　　师生活动：

教师主导思考过程，启发学生思考，异面直线所成的角可通过平移变成平面中相交直线的问题得以解决．对于平面中的两条相交直线，过交点且与它们夹角相同的直线一定在平分它们的平面上，而这样的直线与它们的夹角最小为25°．

　　设计意图：

是否能在陌生情境中识别定理的条件并准确应用定理，是检验学生是否更好掌握定理的重要手段．有图思考是训练数学直观的基础手段，而无图思考是更有效的方式．

　　师生活动：

空间四边形是立体几何中较为重要的模型．教师应引导学生思考如何借助定理将题目已知条件转化为另一定理的条件，进而使用正确推理、解决问题．教师应与学生一起思考，并及时板书解答的过程．

　　设计意图：

问题从垂直出发，最终回到垂直，同时运用了平行、勾股定理等知识，较为全面地检验了学生对本节课内容的掌握程度．

　　（四）课堂练习，及时反馈

　　教科书第162页第4题．

　　（五）归纳小结

　　1．教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

（1）本节课你学到哪些知识？

又是用怎样的方法学到这些知识的？

（2）如何计算异面直线所成的角，它在什么范围内取值？

　　（3）怎么定义空间中直线与直线垂直？

　　（4）证明空间中直线与直线垂直有哪些方法？

　　设计意图：

通过小结，梳理本节课所学的知识，并回顾本节课的学习过程，进一步体会立体几何的研究内容和研究方法，培养学生对学习内容反思的意识和习惯，帮助学生在更大的范围内把所学的知识系统化、结构化，并掌握相应的学习方法．

　　（六）布置作业

　　教科书第148页第1—4题，第163页第11题．

　　五、目标检测设计

　　1．一个正方体纸盒展开后如图5，在原正方体纸盒中有下列结论：

①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．

　　以上结论中正确的是________（填序号）．

　　解析：

把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图6所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．

　　答案：

①③．

　　设计意图：

通过这道题目检测学生对求空间中直线与直线所成的角，特别是求异面直线所成的角的掌握情况．

　　2．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，求异面直线EF和AB所成的角．

　　因为AB＝CD，所以EG＝GF．

　　当∠EGF＝30°时，

　　AB和EF所成的角∠GEF＝75°；

　　当∠EGF＝150°时，

　　AB和EF所成的角∠GEF＝15°．

　　综上所述，异面直线EF和AB所成的角为15°或75°．

　　设计意图：

考查学生运用异面直线所成的角的概念以及平行公理、定理等已知正确的结论，按照正确的格式进行推理论证的能力，特别是在空间四边形这一重要模型中的应用．