MATLAB第6章符号运算功能1jsp.docx

MATLAB第6章符号运算功能1jsp.docx

《MATLAB第6章符号运算功能1jsp.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《MATLAB第6章符号运算功能1jsp.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

MATLAB第6章符号运算功能1jsp

第6章符号运算功能

6.1符号表达式的生成

符号表达式包括函数和符号方程，两者的区别前者不包括等号，后者必须带等号。

●创建符号函数

f='log（x）'

●创建符号方程

equation='a*x^2+b*x+c'

●创建符号微分方程

diffeq='Dy-y=x'

●sym命令创建

f=sym（'sin（x）'）

f=sym（'sin（x）^2=0'）

●syms命令

symsx%定义符号变量

f=sin（x）+cos（x）

6.2符号和数值之间的转换

●digits函数

digits（D）函数设置为有效数字个数为D的近似精度

●vpa函数

格式1：

r=vpa（S）符号表达式S在digits函数设置下的精度的数值解。

格式2：

r=vpa（S,D）符号表达式S在digits（D）函数设置下的精度的数值解。

S=solve（'3*x^2-exp（x）'）

解为：

[-2*lambertw（-1/6*3^（1/2））]

[-2*lambertw（-1,-1/6*3^（1/2））]

[-2*lambertw（1/6*3^（1/2））]

执行：

vpa（S）

结果为：

（数值解）

[.91000767248870906066733829676944]

[3.7330790286328142006199640298434]

[-.46896226763694861469867243243408]

执行digits（4）

vpa（S）

结果为：

（数值解，精度为4位）

[.9100]

[3.734]

[-.4690]

●numeric

将不含自由变量的符号表达式转换为数值形式。

6.3符号函数的运算

一、复合函数

compose（f,g）：

返回当f=f（x）和g=g（y）时的符合函数f（g（y）），其中x和y均为符号变量。

compose（f,g,z）：

返回复合函数以z为自变量。

compose（f,g,x,z）：

返回复合函数f（g（z）），且使x为f的独立变量。

compose（f,g,,x,y,z）：

返回复合函数f（g（z）），且使x为f的独立变量，y为g的独立变量。

举例：

symsxyztu％定义符号变量

f=1/（1+x^2）％定义符号函数

g=sin（y）％定义符号函数

h=x^t％定义符号函数

p=exp（-y/u）％定义符号函数

compose（f,g）％用sin（y）代替x，结果为1/（1+sin（y）^2）

compose（f,g,t）％用sin（y）代替x，t代替y，结果为1/（1+sin（t）^2）

compose（f,g,x,z）％返回复合函数f（g（z）），结果为sin（z）^t

compose（h,g,t,z）％结果为x^sin（z）

compose（h,p,x,y,z）％结果为exp（-z/u）^t

compose（h,p,t,u,z）％结果为x^exp（-y/z）

二、反函数

finverse（f）

finverse（f,v）

举例：

symsxy

f=x^2+y

finverse（f,y）结果为：

-x^2+y

6.4符号矩阵的创立

1．使用sym函数直接创建

2．用创建子阵的方法创建符号矩阵

3．将数值矩阵转化为符号矩阵

6.6符号矩阵的运算

一、基本运算

1．符号矩阵的四则运算（加、减、乘、除）

2．符号矩阵的行列式运算

3．符号矩阵的逆

4．符号矩阵的秩

5．符号矩阵的指数运算

二、矩阵分解

1．特征值函数

[x,y］=eig（b）

2．奇异值分解函数

svd（b）

3．约当标准型

符号矩阵的约当标准型由函数jordan计算得到。

4．三角抽取函数

diag：

对角线

tril：

上三角

triu：

下三角

5．符号矩阵的列空间

符号矩阵的列空间由函数colspace计算得到。

6.符号矩阵的零空间

符号矩阵的零空间由函数null计算得到。

三、符号矩阵的简化

1．因式分解

fact（S）

symsx

f=x^9-1

factor（f）％结果为：

（x-1）*（x^2+x+1）*（x^6+x^3+1）

2．符号矩阵的展开

expand（S）

举例：

expand（（x+1）^3）得到：

x^3+3*x^2+3*x+1

3．同类式合并

collect（S，v）将符号矩阵S中的各元素的V的同幂项系数合并。

collect（S）将符号矩阵S中的各元素的默认变量进行同类项合并。

举例：

collect（x^2*y+y*x-x^2-2*x）％合并x的同类项，得到：

（y-1）*x^2+（y-2）*x

4．符号简化

simple（x）

simplify（x）

5．分式通分：

numden求解符号表达式的分子和分母，格式：

〔N,D〕=numden（A）把A的各元素转换为分子和分母都是整数的最佳多项式型

6．“秦九卲型”重写

horner（P）将多项式转换为嵌套形式的表达式

四、符号极限、微分、积分与差分

1．符号极限

limit（F,x,a）：

计算符号表达式F在x→a条件下的极限值。

limit（F,a）：

计算符号表达式中的独立变量趋向于a的极限值。

limit（F）计算在a=0时的极限。

limit（F,x,a,’right’）：

计算符号表达式F在x→a＋时的极限值。

limit（F,x,a,’left’）：

计算符号表达式F在x→a－时的极限值。

举例：

symsxath

limit（sin（x）/x）

结果为：

ans=1

limit（sin（x）/x,a）

结果为：

ans=sin（a）/a

limit（cos（x）/x,a）

结果为：

ans=cos（a）/a

limit（sin（x）/x,x,0,'left'）

结果为：

ans=1

limit（sin（x）/x,x,0,'right'）

结果为：

ans=1

2．符号积分int（x）

（1）不定积分

在MATLAB中，求不定积分的函数是int，其调用格式为：

int（f,x）

int函数求函数f对变量x的不定积分。

参数x可以缺省，缺省原则与diff函数相同。

int（s）：

int（s,v）：

计算符号表达式S对符号自变量v的不定积分。

V是一数量符号量。

举例1：

求不定积分

int（sin（x）/x,a）

举例2求不定积分

int（cos（2*x）*cos（3*x））

ans=1/2*sin（x）+1/10*sin（5*x）

（2）符号函数的定积分

定积分在实际工作中有广泛的应用。

在MATLAB中，定积分的计算使用函数：

int（f,x,a,b）

int（s,a,b）：

计算符号表达式S对默认符号变量从a到b的定积分。

A和b为双精度或符号数量。

int（s,v,a,b）：

计算符号表达式对变量v从a到b的定积分。

举例1：

命令如下：

x=sym（'x'）;t=sym（'t'）;

int（abs（1-x）,1,2）%求定积分

（1）

f=1/（1+x^2）;

int（f,-inf,inf）%求定积分

（2）

int（4*t*x,x,2,sin（t））%求定积分（3）

f=x^3/（x-1）^100;

I=int（f,2,3）%用符号积分的方法求定积分（4）

double（I）%将上述符号结果转换为数值

例2求定积分

eval（int（x^2*log（x）,1,exp

（1）））

使用函数trapz

x=1:

0.01:

exp

（1）;

y=x.^2.*log（x）;

trapz（x,y）

ans=4.5137

例3求二重积分

使用符号积分

symsxy;

f=y^2/x^2;

int（int（f,x,1/2,2）,y,1,2）

结果：

ans=7/2

使用数值计算

f='（y.^2）./（x.^2）';

dblquad（f,1/2,2,1,2）

结果：

ans=3.5000

3．符号微分和差分diff

微分和差分函数

◆diff（s）对符号表达式S求自变量的微分

◆diff（s，’v’）或diff（s，sym（’v’））对以V为自变量的符号S求微分

◆diff（s,n）n为正整数，对函数表达式求n阶微分

◆diff（s,’v’，n）或diff（s，sym（’v’）,n）对以V为自变量的符号S求n阶微分

举例1

symsabtxyz;

f=sqrt（1+exp（x））;

diff（f）%求

（1）。

未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理

f=x*cos（x）;

diff（f,x,2）%求

（2）。

求f对x的二阶导数

diff（f,x,3）%求

（2）。

求f对x的三阶导数

f1=a*cos（t）;f2=b*sin（t）;

diff（f2）/diff（f1）%求（3）。

按参数方程求导公式求y对x的导数

（diff（f1）*diff（f2,2）-diff（f1,2）*diff（f2））/（diff（f1））^3%求（3）。

求y对x的二阶导数

f=x*exp（y）/y^2;

diff（f,x）%求（4）。

z对x的偏导数

diff（f,y）%求（4）。

z对y的偏导数

f=x^2+y^2+z^2-a^2;

zx=-diff（f,x）/diff（f,z）%求（5）。

按隐函数求导公式求z对x的偏导数

zy=-diff（f,y）/diff（f,z）%求（5）。

按隐函数求导公式求z对y的偏导数

举例2：

在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行。

命令如下：

x=sym（'x'）;

y=x^3+3*x-2;%定义曲线函数

f=diff（y）;%对曲线求导数

g=f-4;

solve（g）%求方程f-4=0的根，即求曲线何处的导数为4

6.7符号代数方程求解

1、线性代数方程式的符号解法

linsolve可得到方程组的精确解，得到的解析解可由函数vpa转换成浮点近似数值。

x=linsolve（a,b）只给出特解

例1：

对数值方程组用符号函数求解

a=sym（[10-10;-110-2;0-210]）

b=sym（[9;7;6]）

linsolve（a,b）

[473/476]

[91/96]

[376/476]

vpa（ans）

例2：

求给定线性方程组的解

a=sym（'[1,1/2,1/3;311;121]'）

b=sym（'[1,2;1/3,1;1,1/7]'）

linsolve（a,b）

例3：

求欠定方程组的解

a=sym（'[11/21/3;311]'）

b=sym（'[1;1]'）

x=linsolve（a,b）

例4：

求符号特征多项式的根

a=sym（'[1,2,1/3;060;70a]'）

ca=poly（a）

x^3-x^2*a-6*x^2+6*x*a+8/3*x-6*a+36/3

ra=solve（ca）

ra=

[6]

[1/2*a+1/2+1/6*（9*a^2-18*a+93）^（1/2）]

[1/2*a+1/2-1/6*（9*a^2-18*a+93）^（1/2）]

例6：

求三元非线性方程组的解

s1='x^2+sqrt

（2）*x+1=0'

s2='x+3*z=4'

s3='y*z=-1'

[x,y,z]=solve（s1,s2,s3）

例6：

求解超越方程组

[x,y]=solve（'x^x=1/7','x/y=3'）

得到：

x=-log（7）/lambertw（-log（7））

y=-1/3*log（7）/lambertw（-log（7））

例7：

求线性方程组AX=b的解。

解方程组

（1）的命令如下：

A=[34,8,4;3,34,3;3,6,8];

b=[4;6;2];

X=linsolve（A,b）%调用linsolve函数求

（1）的解

A\b%用另一种方法求

（1）的解

解方程组

（2）的命令如下：

symsa11a12a13a21a22a23a31a32a33b1b2b3;

A=[a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33];

b=[b1;b2;b3];

X=linsolve（A,b）%调用linsolve函数求

（2）的解

XX=A\b%用左除运算求

（2）的解

2、非线性代数方程式的符号解法

（1）求解非线性方程（组）的函数是solve，调用格式为：

solve（'eqn1','eqn2',…,'eqnN','var1,var2,…,varN'）

举例1：

解方程。

命令如下：

x=solve（'1/（x+2）+4*x/（x^2-4）=1+2/（x-2）','x'）%解方程

（1）

f=sym（'x-（x^3-4*x-7）^（1/3）=1'）;

x=solve（f）%解方程

（2）

x=solve（'2*sin（3*x-pi/4）=1'）%解方程（3）

x=solve（'x+x*exp（x）-10','x'）%解方程（4）。

仅标出方程的左端

格式2x=fsolve（‘fun’,x0）

例2：

x1-0.7sinx1-0.2cosx2=0

x2-0.7cosx1+0.2cosx2=0

functiony=fc（x）

y

（1）=x

（1）-0.7*Sin（x

（1））-0.2*Cos（x

（2））;

y

（2）=x

（2）-0.7*Sin（x

（2））-0.2*Cos（x

（2））;

y=[y

（1）y

（2）];

在命令窗口中输入：

x0=[0.50.5]

fsolve（‘fun’,x0）

6.8符号微分方程求解

MATLAB的符号运算工具箱中提供了功能强大的求解常微分方程的函数dsolve。

该函数的调用格式为：

dsolve（'eqn1','condition','var'）

该函数求解微分方程eqn1在初值条件condition下的特解。

参数var描述方程中的自变量符号，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件condition，则求方程的通解。

dsolve在求微分方程组时的调用格式为：

dsolve（'eqn1','eqn2',…,'eqnN','condition1',…,'conditionN','var1',…,'varN'）

函数求解微分方程组eqn1、…、eqnN在初值条件conditoion1、…、conditionN下的解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，var1、…、varN给出求解变量。

或者可以表达为：

［y1,y2,….］=dsolve（a1,a2,…,a12）

说明：

（1）a1,a2,…,a12为输入变量，输入变量包括三部分内容：

微分方程、初始条件和指定独立变量，其中微分方程是必不可少的输入内容，后两个内容视具体需要而定。

（2）关于指定独立变量的规定：

若指定独立变量，则总是由全部输入变量a1,a2,…,a12中的最后一个变量定义。

若不对独立变量加以专门的定义，则默认为小写的英文字母x或t为独立变量名。

（3）微分方程的记述规定：

当y是因变量，用Dny表示“y的n阶导数”，如Dy表示“y的1阶导数”，D2表示“y的2导数”，默认的变量为x或t。

（4）关于初始条件的规定：

初始条件要写成y（a）=b，Dy（c）=d等。

（6）输出变量可有可无

（7）输入变量个数不超过12个。

3．常微分方程求解

举例1：

求通解

[x,y]=dsolve（'Dx=y,Dy=-x'）

x=cos（t）*C1+sin（t）*C2

y=-sin（t）*C1+cos（t）*C2

其中：

t是默认的独立变量；C1和C2为任意常数

y=dsolve（'Dy-（x^2+y^2）/x^2/2','x'）%解

（1）。

方程的右端为0时可以不写

y=dsolve（'Dy*x^2+2*x*y-exp（x）','x'）%解

（2）

y=dsolve（'Dy-x/y/sqrt（1-x^2）','x'）%解（3）

举例2：

求特解

[f,g]=dsolve（'Df=3*f+4*g,Dg=-4*f+3*g','f（0）=0,g（0）=1'）

得到：

f=exp（3*t）*sin（4*t）

g=exp（3*t）*cos（4*t）

y=dsolve（'Dy=2*x*y^2','y（0）=1','x'）

y=dsolve（'Dy-x^2/（1+y^2）','y

（2）=1','x'）

举例3：

指定变量

y=dsolve（'D3y=-y','y（0）=1,Dy（0）=0,D2y（0）=0','t'）

得到：

y=1/3*exp（-t）+2/3*exp（1/2*t）*cos（1/2*3^（1/2）*t）

举例4：

计算初值问题：

dsolve（'Dy=x+y','y（0）=1','x'）

结果：

ans=-x-1+2*exp（x）

举例5：

常微分方程组求解

命令如下：

[x,y]=dsolve（'Dx=4*x-2*y','Dy=2*x-y','t'）%解方程组

（1）

[x,y]=dsolve（'D2x-y','D2y+x','t'）%解方程组

（2）

6.9级数展开

1、泰勒级数

MATLAB中提供了将函数展开为幂级数的函数taylor

格式1：

taylor（f），

taylor（f，n）返回n-1次幂多项式

taylor（f，a）返回a点附近的幂多项式近似值

taylor（f，x）使用独立变量代替函数findsym（f）

例1：

求函数的泰勒展开式，并计算该函数在x=3.42时的近似值。

symsx;

taylor（sin（x）/x,x,10）

ans=

1-1/6*x^2+1/120*x^4-1/5040*x^6+1/362880*x^8

x=3.42;

eval（ans）

ans=

-0.0753

调用格式2：

taylor（f,v,n,a）

举例2：

求函数在指定点的泰勒展开式。

命令如下：

x=sym（'x'）;

f1=（1+x+x^2）/（1-x+x^2）;

f2=sqrt（1-2*x+x^3）-（1-3*x+x^2）^（1/3）;

taylor（f1,x,5）%求

（1）。

展开到x的4次幂时，应选择n=5

taylor（f2,6）%求

（2）。

举例3：

将多项式表示成x+1的幂的多项式。

命令如下：

x=sym（'x'）;

p=1+3*x+5*x^2-2*x^3;

f=taylor（p,x,-1,4）

举例4：

应用泰勒公式近似计算。

命令如下：

x=sym（'x'）;

f=（1-x）^（1/12）;%定义函数，4000^（1/12）=2f（96/2^12）

g=taylor（f,4）%求f的泰勒展开式g，有4000^（1/12）≈2g（96/2^12）

b=96/2^12;

a=1-b/12-11/288*b^2-253/10368*b^3%计算g（b）

2*a%求4000^（1/12）的结果

4000^（1/12）%用MATLAB的乘方运算直接计算

2、傅立叶级数

MATLAB5.x版中，尚未提供求函数傅立叶级数的内部函数。

下面提供一个简化的求任意函数的傅立叶级数的函数文件。

functionmfourier=mfourier（f,n）

symsxabc;

mfourier=int（f,-pi,pi）/2;%计算a0

fori=1:

n

a（i）=int（f*cos（i*x）,-pi,pi）;

b（i）=int（f*sin（i*x）,-pi,pi）;

mfourier=mfourier+a（i）*cos（i*x）+b（i）*sin（i*x）;

end

return

调用该函数时，需给出被展开的符号函数f和展开项数n，不可缺省。

应用举例：

在[-π，π]区间展开函数为傅立叶级数。

命令如下：

x=sym（'x'）;a=sym（'a'）;

f=x;

mfourier（f,5）%求f（x）=x的傅立叶级数的前5项

f=abs（x）;

mfourier（f,5）%求f（x）=|x|的傅立叶级数的前5项

symsa;

f=cos（a*x）;

mfourier（f,6）%求f（x）=cos（ax）的傅立叶级数的前6项

f=sin（a*x）;

mfourier（f,4）%求f（x）=sin（ax）的傅立叶级数的前4项

3、级数的符号求和函数symsum，调用格式为：

symsum（a,n,n0,nn）

举例：

求级数之和。

命令如下：

n=sym（'n'）;

s1=symsum（1/n^2,n,1,inf）%求s1

s2=symsum（（-1）^（n+1）/n,1,inf）%求s2。

未指定求和变量，缺省为n

s3=symsum（n*x^n,n,1,inf）%求s3。

此处的求和变量n不能省略。

s4=symsum（n^2,1,100）%求s4。

计算有限级数的和

2、

6.10傅立叶（Fourier）变换

在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是：

fourier（fx,x,t）求函数f（x）的傅立叶像函数F（t）。

ifourier（Fw,t,x）求傅立叶像函数F（t）的原函数f（x）。

举例：

求函数的傅立叶变换及其逆变换。

命令如下：

symsxt;

y=abs（x）;

Ft=fourier（y,x,t）%求y的傅立叶变换

fx=ifourier（Ft,t,x）%求Ft的傅立叶逆变换

6.11拉普拉斯（Laplace）变换

在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是：

（1）laplace（fx,x,t）求函数f（x）的拉普拉斯像函数F（t）。

（2）ilaplace（Fw,t,x）求拉普拉斯像函数F（t）的原函数f（x）。

举例：

计算y=x2的拉普拉斯变换及其逆变换.

命令如下：

x=sym（'x'）;y=x^2;

Ft=laplace（y,x,t）%对函数y进行拉普拉斯变换

fx=ilaplace（Ft,t,x）%对函数Ft进行拉普拉斯逆变换

6.12Z变换

对数列f（n）进行z变换的MATLAB函数是：

ztrans（fn,n,z）求fn的Z变换像函数F（z）

iztrans（Fz,z,n）求Fz的z变换原函数f（n）

举例：

求数列fn=e-n的Z变换及其逆变换。

命令如下：

symsnz

fn=exp（-n）;

Fz=ztrans（fn,n,z）%求fn的Z变换

f=iztrans（Fz,z,n）%求Fz的逆Z变换