高中数学人教a版选修12 章末综合测评2 含答案.docx

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高中数学人教a版选修12章末综合测评2含答案

章末综合测评

（二）　推理与证明

（时间120分钟，满分150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于（　　）

A．28　B．32

C．33D．27

【解析】　观察知数列{an}满足：

a1＝2，an＋1－an＝3n，故x＝20＋3×4＝32.

【答案】　B

2．（2016·汕头高二检测）有一段“三段论”推理是这样的：

对于可导函数f（x），若f（x0）＝0，则x＝x0是函数f（x）的极值点．因为f（x）＝x3在x＝0处的导数值f′（0）＝0，所以x＝0是f（x）＝x3的极值点．以上推理中（　　）

A．大前提错误B．小前提错误

C．推理形式错误D．结论正确

【解析】　大前提是错误的，若f′（x0）＝0，x＝x0不一定是函数f（x）的极值点，故选A.

【答案】　A

3．下列推理过程是类比推理的是（　　）

A．人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为

B．科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼

C．通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性

D．数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数

【解析】　A为归纳推理，C，D均为演绎推理，B为类比推理．

【答案】　B

4．下面几种推理是合情推理的是（　　）

①由圆的性质类比出球的有关性质；

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；

③由f（x）＝sinx，满足f（－x）＝－f（x），x∈R，推出f（x）＝sinx是奇函数；

④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n－2）·180°.

A．①②B．①③④

C．①②④D．②④

【解析】　合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理．

【答案】　C

5．设a＝21.5＋22.5，b＝7，则a，b的大小关系是（　　）

A．a>bB．a＝b

C．a2（b＋1）

【解析】　因为a＝21.5＋22.5>2

＝8>7，故a>b.

【答案】　A

6．将平面向量的数量运算与实数的乘法运算相类比，易得到下列结论：

①a·b＝b·a；②（a·b）·c＝a·（b·c）；③a·（b＋c）＝a·b＋a·c；④|a·b|＝|a||b|；⑤由a·b＝a·c（a≠0），可得b＝c.以上通过类比得到的结论中，正确的个数是（　　）

A．2个B．3个

C．4个D．5个

【解析】　①③正确；②④⑤错误．

【答案】　A

7．证明命题：

“f（x）＝ex＋

在（0，＋∞）上是增函数”．现给出的证法如下：

因为f（x）＝ex＋

，所以f′（x）＝ex－

.因为x>0，所以ex>1,0<

<1.所以ex－

>0，即f′（x）>0.所以f（x）在（0，＋∞）上是增函数，使用的证明方法是（　　）

A．综合法B．分析法

C．反证法D．以上都不是

【解析】　从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法．

【答案】　A

8．已知c>1，a＝

－

，b＝

－

，则正确的结论是（　　）

【19220032】

A．a>bB．a

C．a＝bD．a，b大小不定

【解析】　要比较a与b的大小，由于c>1，所以a>0，b>0，故只需比较

与

的大小即可，

而

＝

＝

＋

，

＝

＝

＋

，

显然

>

，从而必有a

【答案】　B

9．设n为正整数，f（n）＝1＋

＋

＋…＋

，经计算得f

（2）＝

，f（4）>2，f（8）>

，f（16）>3，f（32）>

，观察上述结果，可推测出一般结论（　　）

A．f（2n）>

B．f（n2）≥

C．f（2n）≥

D．以上都不对

【解析】　f

（2）＝

，f（4）＝f（22）>

，f（8）＝f（23）>

，f（16）＝f（24）>

，f（32）＝f（25）>

.

由此可推知f（2n）≥

.故选C.

【答案】　C

10．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下面图1中的

（1）

（2）（3）（4），则图中a，b对应的运算是（　　）

图1

A．B*D，A*DB．B*D，A*C

C．B*C，A*DD．C*D，A*D

【解析】　根据

（1）

（2）（3）（4）可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D对应椭圆．由此可知选B.

【答案】　B

11．观察下列各式：

a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝（　　）

A．28B．76

C．123D．199

【解析】　从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.

【答案】　C

12．在等差数列{an}中，若an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（　　）

A．b4＋b8>b5＋b7B．b4＋b8

C．b4＋b7>b5＋b8D．b4＋b7

【解析】　在等差数列{an}中，由于4＋6＝3＋7时，有a4·a6>a3·a7，所以在等比数列{bn}中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b4＋b8>b5＋b7或b4＋b8

因为b4＝b1q3，b5＝b1q4，b7＝b1q6，b8＝b1q7，

所以（b4＋b8）－（b5＋b7）＝（b1q3＋b1q7）－（b1q4＋b1q6）

＝b1q6·（q－1）－b1q3（q－1）＝（b1q6－b1q3）（q－1）

＝b1q3（q3－1）（q－1）．

因为q>1，bn>0，所以b4＋b8>b5＋b7.

【答案】　A

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）

13．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时假设应为________．

【解析】　“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故假设应为“x，y均不大于1”（或x≤1且y≤1）．

【答案】　x，y均不大于1（或x≤1且y≤1）

14．如图2，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来（n＝1,2,3，…），则第n－2（n>2）个图形中共有________个顶点．

图2

【解析】　设第n个图形中有an个顶点，

则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，

an＝（n＋2）＋（n＋2）·（n＋2），an－2＝n2＋n.

【答案】　n2＋n

15．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg（1＋

）________

[lg（1＋a）＋lg（1＋b）]．

【解析】　因为（1＋

）2－（1＋a）（1＋b）＝1＋2

＋ab－1－a－b－ab

＝2

－（a＋b）＝－（

－

）2≤0，

所以（1＋

）2≤（1＋a）（1＋b），

所以lg（1＋

）≤

[lg（1＋a）＋lg（1＋b）]．

【答案】　≤

16．（2016·杭州高二检测）对于命题“如果O是线段AB上一点，则|

|·

＋|

|·

＝0”将它类比到平面的情形是：

若O是△ABC内一点，有S△OBC·

＋S△OCA·

＋S△OBA·

＝0，将它类比到空间的情形应为：

若O是四面体ABCD内一点，则有_______________________________________________．

【19220033】

【解析】　根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为VOBCD·

＋VOACD·

＋VOABD·

＋VOABC·

＝0.

【答案】　VOBCD·

＋VOACD·

＋VOABD·

＋VOABC·

＝0

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）已知a，b，c成等差数列，求证：

ab＋ac，b2＋ac，ac＋bc也成等差数列．

【证明】　因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以（ab＋ac）＋（ac＋bc）＝b（a＋c）＋2ac＝2（b2＋ac）．

所以ab＋ac，b2＋ac，ac＋bc也成等差数列．

18．（本小题满分12分）在平面几何中，对于Rt△ABC，∠C＝90°，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则

（1）a2＋b2＝c2；

（2）cos2A＋cos2B＝1；

（3）Rt△ABC的外接圆半径r＝

.

把上面的结论类比到空间写出类似的结论，无需证明．

【解】　在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．

（1）设三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面积为S，则S

＋S

＋S

＝S2.

（2）设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.

（3）设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球半径R＝

.

19．（本小题满分12分）已知△ABC的三条边分别为a，b，c，且a>b，求证：

<

.

【证明】　依题意a>0，b>0，

所以1＋

>0,1＋a＋b>0.

所以要证

<

，

只需证

（1＋a＋b）<（1＋

）（a＋b），

只需证

因为a>b，所以

<2

所以

<

.

20．（本小题满分12分）（2016·大同高二检测）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝

，n∈N*，求a2，a3，a4，并猜想数列的通项公式，并给出证明．

【解】　数列{an}中，a1＝1，a2＝

＝

，a3＝

＝

＝

，a4＝

＝

，…，

所以猜想{an}的通项公式an＝

（n∈N*）．

此猜想正确．

证明如下：

因为a1＝1，an＋1＝

，

所以

＝

＝

＋

，

即

－

＝

，

所以数列

是以

＝1为首项，

公差为

的等差数列，

所以

＝1＋（n－1）

＝

＋

，

即通项公式an＝

（n∈N*）．

21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x3－x2，x∈R.

（1）若正数m，n满足m·n>1，证明：

f（m），f（n）至少有一个不小于零；

（2）若a，b为不相等的正实数且满足f（a）＝f（b），求证：

a＋b<

.

【证明】　

（1）假设f（m）<0，f（n）<0，

即m3－m2<0，n3－n2<0，

∵m>0，n>0，

∴m－1<0，n－1<0，

∴0

∴mn<1，这与m·n>1矛盾，

∴假设不成立，即f（m），f（n）至少有一个不小于零．

（2）证明：

由f（a）＝f（b），得a3－a2＝b3－b2，

∴a3－b3＝a2－b2，

∴（a－b）（a2＋ab＋b2）＝（a－b）（a＋b），

∵a≠b，

∴a2＋ab＋b2＝a＋b，

∴（a＋b）2－（a＋b）＝ab<

2，

∴

（a＋b）2－（a＋b）<0，

解得a＋b<

.

22．（本小题满分12分）设f（x）＝

，g（x）＝

（其中a>0，且a≠1）．

（1）5＝2＋3，请你推测g（5）能否用f

（2），f（3），g

（2），g（3）来表示；

（2）如果

（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．

【解】　

（1）f（3）g

（2）＋g（3）f

（2）

＝

·

＋

·

＝

，

又g（5）＝

，

∴g（