等差数列及其前n项和教案.docx

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等差数列及其前n项和教案

教案标题

等差数列及其前n项和

教师姓名

学生姓名

学科

数学

适用年级

高中三年级

适用范围

全国

教学目标

知识

目标

1、了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;

2、熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质;

3、掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.

能力

目标

通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.

情感

态度

价值观

1、通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.

2、通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点;

知识点

等差数列的概念、通项公式、性质及前n项和

重难点

重点：

等差数列的定义、通项公式、性质、前n项和的理解与应用

难点：

灵活应用等差数列定义、通项公式、性质、前n项和公式解决一些简单的有关问题.

知识讲解

1．等差数列的有关定义

（1）一般地，如果一个数列从第___项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________（n∈N*，d为常数）．

（2）数列a，A，b成等差数列的充要条件是_________，其中A叫做a，b的__________．

2．等差数列的有关公式

（1）通项公式：

an＝_______，an＝______（m，n∈N*）．

（2）前n项和公式：

Sn＝____________________.

3．等差数列的前n项和公式与函数的关系

Sn＝

n2＋

n.

4．等差数列的性质

（1）若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则有_________，

特别地，当m＋n＝2p时，_____________.

（2）若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为________

（3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为______的等差数列.

（4）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列.

（5）等差数列的单调性：

若公差d>0，则数列为___________；

若d<0，则数列为__________；若d＝0，则数列为_______．

（6）等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．

（7）S2n－1＝（2n－1）an.

（8）若n为偶数，则S偶－S奇＝

d.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中（中间项）.

5.等差数列的最值

在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最______值；若a1<0，d>0，则Sn存在最______值.大　小

6．方法与技巧

等差数列的判断方法有：

（1）定义法：

an＋1－an＝d（d是常数）⇔{an}是等差数列．

（2）中项公式：

2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*）⇔{an}是等差数列．

（3）通项公式：

an＝pn＋q（p，q为常数）⇔{an}是等差数列．

（4）前n项和公式：

Sn＝An2＋Bn（A、B为常数）⇔{an}是等差数列．

（5）在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a，a＋d，a＋2d；②a－d，a，a＋d；③a－d，a＋d，a＋3d等可视具体情况而定．

（6）在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程（组）获得解.

例题讲解

题型一　等差数列的基本量的计算

例1　等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10＝30，a20＝50，

（1）求通项an；

（2）若Sn＝242，求n.

　设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.

（1）若S5＝5，求S6及a1；

（2）求d的取值范围.

探究提高　

（1）等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.

（2）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.

变式训练1　　

设等差数列{an}的公差为d（d≠0），它的前10项和S10＝110，且a1，a2，a4成等比数列，求公差d和通项公式an.

已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值.

题型二　等差数列的判定或证明

例2　已知数列{an}中，a1＝

，an＝2－

（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足bn＝

（n∈N*）.

（1）求证：

数列{bn}是等差数列；

（2）求数列{an}的最大值和最小值.

探究提高　1．证明或判断一个数列为等差数列，通常有两种方法：

（1）定义法：

an＋1－an＝d；

（2）等差中项法：

2an＋1＝an＋an＋2.就本例而言，所用方法为定义法.

2．解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断．

（1）通项法：

若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B，则{an}是等差数列．

（2）前n项和法：

若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式（A，B是常数），则{an}为等差数列．

3．若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可．

变式训练2

（1）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝

（n≥2），a1＝2.

求证：

是等差数列；

求an的表达式.

（2）已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1（n≥2且n∈N*）．

求a2，a3的值．

是否存在实数λ，使得数列{

}为等差数列？

若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.

题型三　等差数列性质的应用

例3　若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．

变式训练3　

已知数列{an}是等差数列．

（1）若Sn＝20，S2n＝38，求S3n；

（2）若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．

题型四　等差数列的前n项和及综合应用

例4　

（1）在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；

（2）已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和.

点评：

　求等差数列前n项和的最值，常用的方法：

　若{an}是等差数列，求前n项和的最值时，

（1）若a1>0，d<0，且满足

，前n项和Sn最大；

（2）若a1<0，d>0，且满足

，前n项和Sn最小；

（3）将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn（A、B为常数）看做二次函数，利用二次函数的图象或配方法求最值，注意n∈N*.

变式训练4

（1）已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*），它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝

an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．

（2）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1<0，S2009＝0.

求Sn的最小值及此时n的值；

求n的取值集合，使an≥Sn.

（3）设等差数列{an}的前n项和Sn＝m，前m项和Sm＝n（m≠n），求它的前m＋n项

的和Sm＋n.

课后作业

A.基础题自测

1．如果等差数列

中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝（　　）

A．14B．21C．28D．35

2．已知{an}是等差数列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前n项和Sn最小的n是（　　）

A．4B．5C．6D．7

3在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－

a11的值为（　　）

A．14B．15C．16D．17

4．等差数列{an}的前n项和满足S20＝S40，下列结论中正确的是（　　）

A．S30是Sn中的最大值B．S30是Sn中的最小值

C．S30＝0D．S60＝0

5．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1＝10，b1＝90，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第2012项的值是（　　）

A.85B.90C.95D.100

6．已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a3n，则数列{bn}的前9项和等于________．

7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝_______.

8．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a

＝0，S2m－1＝38，则m＝_______.

9．在数列{an}中，若点（n，an）在经过点（5,3）的定直线l上，则数列{an}的前9项和S9＝_______.

10．设{an}是一个公差为d（d≠0）的等差数列，它的前10项和S10＝110，且a

＝a1a4.

（1）证明：

a1＝d；

（2）求公差d的值和数列{an}的通项公式．

11．已知等差数列{an}满足：

a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.

（1）求an及Sn；

（2）令bn＝

（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn.

B.中档题演练

1.设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于（　　）

A.31B.32C.33D.34

2.数列{an}为等差数列，a10＝33，a2＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则S20－2S10等于（　　）

A.40B.200C.400D.20

3设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k等于（　　）

A.8B.7C.6D.5

4.已知数列{an}中，a3＝2，a5＝1，若

是等差数列，则a11等于（　　）

A.0B.

C.

D.

5.在各项均不为零的等差数列{an}中，若an＋1－a

＋an－1＝0（n≥2），则S2n－1－4n等于（　　）

A.－2B.0C.1D.2

6．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且

＝

，则使得

为整数的正整数n的个数是（　　）

A．2B．3C．4D．5

7设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.

8.等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝_______.

9.等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列

的前10项和为_______.

10.设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有

＝

，则

＋

的值为_______.

11.已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn（p、q∈R，且p、q为常数）.

（1）当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列；

（2）求证：

对任意实数p和q，数列{an＋1－an}是等差数列.

12．在等差数列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－36，其前n项和为Sn.

（1）求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值．

（2）求数列{|an|}的前n项和.

C.难题我破解

1．在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0（n≥2）．

（1）证明数列{

}是等差数列；

（2）求数列{an}的通项；

（3）若λan＋

≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．

2.已知等差数列{an}中，公差d>0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn＝

（n∈N*），是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？

若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.