考研数学一真题及答案.docx
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考研数学一真题及答案
20XX年考研数学一真题
一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四
个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）
（1）极限
（A）1
（B）
（C）
（D）
【考点】C。
【解析】
【方法一】
这是一个“
”型极限
【方法二】
原式
而
（等价无穷小代换）
则
【方法三】
对于“”型极限可利用基本结论：
若,,且
则,求极限
由于
则
【方法四】
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限
（2）
设函数由方程确定，其中
为可微函数，且
则
。
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】
【解析】
B。
因为,
所以
综上所述，本题正确答案是（B）。
【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微
分
（3）设为正整数，则反常积分的收敛性
（A）仅与的取值有关（B）仅与的取值有关
（C）与的取值都有关（D）与的取值都无关
【答案】D。
【解析】
本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在
和时无界
在反常积分中，被积函数只在时无界。
由于，
已知反常积分收敛，则也收敛。
在反常积分中，被积函数只在时无界，由于
（洛必达法则）
且反常积分收敛，所以收敛
综上所述，无论取任何正整数，反常积分收敛。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
（4）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】
【解析】
因为
D。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用
（5）
设为矩阵，为
矩阵，为阶单位矩阵，若
则
（A）秩
秩
（B）秩
秩
（C）秩
秩
（D）秩
秩
【答案】A。
【解析】
因为为阶单位矩阵，知
又因,故
另一方面，为矩阵，为矩阵，又有
可得秩秩
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩
（6）设为4阶实对称矩阵，且
，若的秩为
3，则相似于
（A）（B）
（C）（D）
【答案】
D。
【解析】
由
知
，那么对于
推出来
所以的特征值只能是
、
再由是实对称矩阵必有
，而是的特征值，那么由
可知D正确
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】线性代数—特征值与特征向量—实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵
（7）设随机变量的分布函数,则
（A）0
（B）
（C）
（D）
【答案】
【解析】
C。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—随机变量分布函数的概念及其性质
（8）
设为标准正太分布的概率密度，概率密度，若
为
上均匀分布得
为概率密度，则
应满足
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A。
【解析】
根据密度函数的性质
为标准正态分布的概率密度，其对称中心在处，故
为上均匀分布的概率密度函数，即
，
，其他
所以
可得
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—连续型随机变
量的概率密度，常见随机变量的分布
二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。
）
（9）设
，则
。
【答案】。
【解析】
【方法一】
则，
【方法二】
由参数方程求导公式知，
代入上式可得。
【方法三】
由得，，则
当时，则
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法
（10）。
【答案】。
【解析】
令,则
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—一元函数积分学—基本积分公式，不定积分
和定积分的换元积分法与分部积分法
（11）已知曲线的方程为起点是终点是
，则曲线积分。
【答案】。
【解析】
如图所示,其中
所以
综上所述，本题正确答案是。
-1O1
【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲线积分的概念、性
质及计算
（12）设，则的形心坐标。
【答案】。
【解析】
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的
概念、性质、计算和应用
（13）设
，若由
生成的向量空间的维数为
，则
。
【答案】
6。
【解析】
生成的向量空间的维数为
，所以可知，
所以可得
综上所述，本题正确答案是。
【考点】线性代数—向量—向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩
之间的关系，向量空间及其相关概念
（14）设随机变量的概率分布为,则
。
【答案】。
【解析】
泊松分布的概率分布为,
随机变量的概率分布为
对比可以看出
所以而
综上所述，本题正确答案是。
【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—常见随机变量
的分布；
概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望
（均值）、方差、标准差及其性质
三、解答题：
小题，共94分。
解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤。
（15）求微分方程的通解
【解析】
由齐次微分方程的特征方程
，
所以，齐次微分方程的通解为
设微分方程的特解为
则
代入原方程，解得
故特解为
所以原方程的通解为
【考点】高等数学—常微分方程—二阶常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程
（16）求函数的单调区间与极值
【解析】
函数的定义域为，
令，得,列表如下
极小
极大
极小
由上可知，
区间为
的单调增区间为
和,
和
；的单调减
极小值为
极大值为
【考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数，函数单调性的判别函数的极值
高等数学—一元函数积分学—基本积分公式，积分上限的函数及其导数
（17）
（I）比较与的大小，
说明理由；
（II）记
求极限
。
【解析】
（I）当时，因,所以
所以有
（II）【方法一】由上可知，
所以
由夹逼定理可得
【方法二】
由于为单增函数，则当时，,从而有
又，由夹逼定理知
【方法三】
已知
因为,且在上连续，则
在上有界，从而存在使得
则
由及夹逼定理知
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限存在的两个准则：
单调有界准则和夹逼准则
高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质
（18）求幂级数
的收敛域及和函数。
【解析】
即时，原幂级数绝对收敛
时，级数为，由莱布尼茨判别法显然收敛，故
原幂级数的收敛域为。
又
令
则
所以
由于，所以
所以
所以幂级数的收敛域为，和函数为。
【考点】高等数学—无穷级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间
（指开区间）和收敛域，幂级数的和函数，简单幂级数的和函数的求
法，初等函数的幂级数展开式
（19）设为椭球面
上的动点，若
在点处的
切线平面与
面垂直，求点
的轨迹
并计算曲面积分
其中
是椭圆球面位于曲线上方的部
分。
【解析】
求轨迹
令
故动点
的切平面的
法向量为
由切平面垂直
面，得
又已知为椭球面
上的动点，所以
为的轨迹
再计算曲面积分
因为曲线在
面的投影为
又对方程
两边分别对
求导可得
解之得
于是
【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算
（20）设.已知线性方程组存在2个
不同的解
（I）求；
（II）求方程组的通解。
【解析】
（I）因为已知线性方程组存在2个不同的解，所以
故
知
当时，
显然，此时方程组无解，舍去，
当时，
因为有解，所以
即，
（II）
，
，
时，已知
所以的通解为
其中为任意常数。
【考点】线性代数—线性方程组—非齐次线性方程组有解的充分
必要条件，非齐次线性方程组的通解
（21）已知二次型在正交变换
下的标准形
为
且的第三列为
（I）求矩阵；
（II）证明为正定矩阵，其中为3阶单位矩阵。
【解析】
（I）二次型在正交变换下的标准形为
，可知二次型矩阵的特征值是。
又因为的第三列为，可知是矩阵在特
征值的特征向量。
根据实对称矩阵，特征值不同特征向量相互正交，设关于
的特征向量为，
则,即
取
（II）由于矩阵的特征值是,那么的特征值为，因为
的特征值全大于，所以正定。
【考点】线性代数—二次型—二次型及其矩阵表示，二次型的秩，
二次型的标准形和规范形，二次型及其矩阵的正定性
（22）设二维随机变量的概率密度为
求常数及条件概率密度。
【解析】
又
即
当
等价于
时，
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维连续
型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度，常用二维随
机变量的分布
（23）设总体的概率分布为
其中参数未知，以表示来自总体的简单随机样本（样
本容量为）中等于的个数,试求常数使
为的无偏估计量，并求的方差。
【解析】
记,则
故
要令为的无偏估计量，则有
可得
，
此时为的无偏估计量
此时，,由于故
因为，，所以
【考点】概率论与数理统计—参数估计—估计量的评选标准，区间估计的概念，单个正态总体的均值和方差的区间估计
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