概率论与数理统计肖继先练习册之二.docx

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概率论与数理统计肖继先练习册之二

第五章大数定律和中心极限定理

习题一切比谢夫不等式

一、填空

1•切比谢夫不等式形式是•

区间上的槪率的估计.

2•切比谢夫不等式适合于以为中心的

3.DX=0,则=SX）.

2.设电站供电网有10000盏电灯，夜晚毎一盏灯开灯的概率都是,而假窪开关时间彼此独立，估计夜晚冋时开着的灯数在6800与7200之间的概率・

三、废品率为，估计1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率.

四、设随机变量X的期望为方差为^2,试估计X在区间@-36p+3cr）内的概率.

习题二大数定律

一、贝努里大数定律揭示了频率与概率间的什么关系

二、贝努里大数圧律与切比谢夫大数崔律的关系如何

三、叙述辛钦大数定律的内容.

四、如果要估il•某一地区小麦的平均亩产量，你能根据辛钦大数窪律提供一种估讣方法吗

习题三中心极限定理

一、一个螺钉的重量是一个随机变量，期望值是1两，标准差是两,盒内装100个相同型号的螺钉，求英重量超过102两的概率.

二、对敌人的阵地进行轰炸，每次轰炸命中目标的炸牌•数目是一个随

机变S.其期望值为2,方差为，求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率.

三、某保险公司多年的统计资料表明•索赔客户中被盗索赔户占20%,以X表示在随机抽査的100个索赔户中因被盗索贴的户数，

（1）写出X的概率分布.

（2）求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率.

四、某保险公司有一万人参加特定商品质量保险，每人毎年付12元保险费，在一年内这类产品出故障概率均为，出故障后可获赔款1000元.求：

（1）保险公司一年的利润不小于6万元的概率•

（2）保险公司亏本的概率.

第六章抽样分布

习题一总体与样本

从书库中任取10本书，检査每本书中的错页数，得到样本值为

（8,7,3,6,3,6,3,7,10,12）,试写出频率分布及样本分布函数.

习题二统计量

一、计算下列样本均值及样本方差

10.12,15.23,11,12.14.15,11-10.15,17,14.12.11,10,12・14,17,15.

二、设…,X#是来自总体X的样本，现在增加一个样本J,证明_1»

和活+存g■即其中

兀,=—2&

«1-1

习题三抽样分布

一、总体今抽取容量为5的样本试问:

<

（1）样本均值_2^大于：

13的概率为多少

（2）样本的极小值小于10的概率为多少

（3）样本的极大值大于15的概率为多少

二、设彳］,*2「=*9是来自正态总体X的样本,打=-（兀+*2+…+血）為=#禺+血+兀）

a挣宰3

证明统计量T服从自由度为2的£分布.

复习题

一、填空题

1.设X~M（4,屮），疋为容量为10的样本的样本均值，则

Z-44/710~.

2.X~N（S，于），尸~"（他，另），且X与y相互独立，其样本容量分别为®和®,

样本方差分别为S；和.则统i|•量S；/S；服从片（刃］-1川2-1）的条件是.

110I15

2.设总体X与丫相互独立，*~"（0同*皿（0,9）,"=帀石乂/=-23其中…，*10以及

K，乙…,人5分别是来自总体X与y的样本，则统u-sJ-f服从

分布，I壬一卩|的数学期望是•

I"1

4.若几兀，7兀疋耗4是来自总体"（“&）的-个样札《十忆"

@=12・・・*+1）,则E服从分布，概率密度函数是■

5.设XM必儿是来自正态总体N（°H）的样本，X=a（X,-2X,y^b（3X,-4X,）\则当.

2b二时，统计：

gX服从/分布，其自由度为.

6.设随机变量X和y相互独立且都服从正态分布"（0,32）,而*1，上2，・・・，*9和

服从分布,

7_血十"•十禺尸1禺，…*9分别是来自总体X和y的样本，则统计量J翠+・•・+始2自由度是—.

二、选择题[.设XMa…X是来自正态总体）的样本，茫为样本均值，记

S；=二2（益-S；=丄-壬）2

«-11-1«1-1

S；=二Zg-“）2S；=-Z（血-讶

«-11-1«1-1

■

则服从自由度为《-1的f分布的随机变量是.

（A）-1

—疋-H

（C）五

3.设…,X#是来自正态总体N（一1,4）的样本，则«i-i服从的分布是—

34113

并（一1,-）并（一1,-）N（-一■4）N（-一）

（A）«：

（B）«:

（C）«：

（D）««.

>

16_

4.设XiK，…兀是来自正态总体的样本严誤3’"，则的值为・

14142224

一cr-cr—a-cr

（A）3；（B）5；（c）5:

（D）5

5.

fjJf

"（2＞屮&另詔）

（B）i-lZ:

咗昭b）

:

CD）i-l•

且*与y独立,

设…,X#是来自正态总体）的样本，则台''Wl,七，叭为不全为零的常数）服从—

N（“，—）

（A）刃；

"（冷/也:

）

（C）i-i

6.设随机变量*~"（戸，1）,

y.则.

（B）T服从£（勿分布：

（D）T服从F（1，R）分布.

（A）T服从£（"一1）分布：

（C）T服从”3,1）分布：

7.设*1，*2，・・・，^和尸1，乙…』10分别是来自独立正态总体X〜N（T，4）与y〜

M（2,：

5）的样本，S；与分别为两样本方差，则服从FP,9）的统i|•量是.

（A）2S“翊⑻4S；/璃：

（cm2喙（D）璃MS］

&设Xi'K，…,X#是来自*3）分布总体的样本，则与D迈的值分別为.

（A）«，2.（B）"2“（C）2,"（D）2«,«

三、设总体X~NG，1）,*1七・・・，*9是来自总体X的样本，求^（2

四、某工厂的产品寿命X~"（22刃，2刃2）,在进行质量检査时，如果被检测产品的平均寿命超过2200小时，就认为产品质量合格.如果要使检查通过的概率不小于，问至少应检测多少个产品

五、设总体从中抽取容量为W及15的两个独立样本，试问这两个样本的平均值之差的绝对值大于的概率是多少

六、设…,X#是来自总体"（“,K）的样本，无和分别是样本均值和样本方差,

又且与*1，上2，・・・，*乜独立，求统计;g必V

分布.

七、设X"X2,…,Xx是在［a』］上服从均匀分布的总体X的样本，求样本均值的数学期望和方差.

八、分别从方差是25和36的独立正态总体中抽取容疑为7和30的两个样本，其样本方差分别为瘁和矇求呃皿、

第七章参数估计

习题一点估计的概念和估计量的评选标准

一、填空题

A_/（X,&）=—（0VxV0）

1.9=2X是总体的概率密度为3的未知参数3的—估il•量•

J

2.设X\九…,Xx是来自总体）的样本，则常数

H-1

C2c（&+】-疋）2

c=时•E为b?

的无偏估讣.

3•设总体其中対未知，已知，又设X"X"・・,Xx是来自总体X的一个样本，作样本函数如2

-X.^-X^--X.1（兀+举）卩乞刍

（1）2'3'6\

（2）3、':

⑶^3：

（4）ti；

这些函数中，是统计量的有,而在统il•量中，是^的无偏估计量的有—，苴中最有

效的是■

二、设X1，*2是总体X的样本，E（X）及D3）存在且有限，试证统计量

1312

织血，兀）=7*1蔦禺.你兀也）=勺血+§兀.

你兀兀）=-竝+㊁屁

都是£（匿）的无偏估ih并说明哪一个最有效.

三、设…,X#是来自正态总体"（丛E）的一个样本，其中対为已知，试证化挣"3討的无偏估汁和一致时

习题二求点估计量的方法

1

8-1

0,其它，

AA

⑴试求&的矩估汁量9.

（2）0R會为&的无福的

A

0）3e會为&的ftfAil.

三、设X3X2疋为总体X的一个样本，总体X的密度函数为

/（X；◎二C甘^

四、设总体X的密度函数为Ia貝匕其中&>-1,0是未知参数,

X\,X2,…,x*是来自总体疋的容量为《的样本.试求：

⑴&的矩法估计S&:

⑵日的最大似然法估计量为

习题三一个正态总体参数的区间估计

一、填空题

1.设由来自正态总体X~N（“，0・92）容量为9的简单随机样本得样本均值^=5,则未

知参数対的置信度为0.95的置信区间是.

2.某种零件尺寸偏差这里“和均未知，今随

机抽取10个零件测得尺寸偏差（单位：

为：

+2,+1-2,+3,+2,+4-2,+1,+3-4.则対的置信度为0.98的置信区间为.

3.设灯泡寿命,为了估计y,测得W个灯泡，得牙=1500小时，$10=20

小时，则H的95%的置信区间是.

二、设正态总体的方差为已知，问需抽取容量《为多大的样本，才能使总体均值“的置信度为1-a的置信区间长度小于等于厶.

三、设某种清漆的9个样品，英干燥时间（单位沟）分别为

6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0设干燥时间,求対的置信度为0.95的程信区间.

（1）已知＜^=°・6（»）.

（2）CT为未知.

四、设某批铝材料的比重X〜呱出旳,现测得它的比重16次，i|•算得x=2705,s=0.029,试在置信度为0.95匚分别求対和的置信区间.

复习题

一.选择题

I

P

1.设0是参数£的无偏估计量，且，则沪是£2的_估计量.

（A）无偏估il•量：

（B）有效估计量：

（C）有偏估计量：

（D）A和B同时成立・

2・若"E宀4为总体（僦K）的样本观测值.则CT：

的极大似然估计值a'

-乞（鬲-亍）；丘=12…-兀临-刃"

（A）«Z:

（B）«X

1»1X

—-工（无_2）2

（C）«-】U1:

（D）«i-1•

3.设总体X~MO,K）,cr"已知，若样本容量《和置信度1-a均不变，则对于不同的样本观测值，总体均值^的置信区间的长度—■

（A）变长：

（B）变短：

（C）不变.（D）不确定

鈕>）詔&?

\人宀

二、总体X的分布密度为

0,其它，又设/1也，…,X#是-个来

自总体X的样本.试求：

（1）B的矩估计量g：

（2）g的方差D®）.

.许*1'*2Xr是泉C总体X的WX的法救为

♦令3.片归《无«忤利ftlt.

W.设直体"~"（丛H）,口exi.“”兀，…，X）!

为來自总体*的仆.nisu为1—Q.灰C的酣刚.

乩生的体ttw录中・««抄*「41#■男住的⑷4；5力lOu炖.试來《地1"、学五年《男生爭均片ft"和#ftk»«Q"的°・95的saxm<«设身«血《«从硏4^芳《》・

第八章假设检验

第一节假设检验的基本概念

一、什么是参数检验和非参数检验

二、什么是双侧假设检验和单侧假设检验

三、假设检验的基本思想及瓦基本步骤

四、什么是第一类错误和第二类错误及如何降低犯这两类错误

第二节一个正态总体参数的假设检验

一、某种零件长度的方差为仿2=0仍2,今对一批这种零件检査6件，测得长度数据如下（单位：

mm）:

问：

这批零件的长度均值能否认为是W.50亳米（S0D5）

二、设在木材中抽出100根，测苴小头直径，得样本平均值数?

=11.2am,已知标准差=2.6gzw,问该批木材的平均小头直径能否认为是在12cm以上03）

三、设某批矿砂的鎳含量（％）X服从正态分布.今随机抽取5个样本，测定線含量的百分比为：

，，，，.问在^=001的情况下能否认为这批银含量的均值为％

四、进行5次试验•测得岳的熔点（吃）如下:

1269

1271

125611265

1254

已知岳的熔化点服从正态分布，是否可以认为镭的熔化点显著离于1250°C（取«=0€1）

五、在正常情况下，某工厂生产的电灯泡的寿命X服从正态分布•现测得10个灯泡的寿命（小时）如下J

14901440

1680

161011500

1750

1550

1420

18001580

能否认为该厂生产的电灯泡寿命的标准差为^=120小时（a«0£l2）•

六、某种导线，要求其电阻的标准差不得超过G.今在生产的一批导线中抽样品9根，测得

样本标准差5=0.007□.设总体为正态分布，问：

在显著性水平«=0.05下能否认为这批导线电阻的标准差显著地偏大

第三节两个正态总体参数的假设检验

一、某厂铸造车间为提高缸体的耐丿生而试制一种線合金铸件以取代一种铜合金铸件，现从两种铸件中齐抽一个样本进行硬度测试（表示耐憎性的一种考核指标），尖结果如下：

合磔铸件（X）

-

合铜铸件（Y）

>

根据以往经脸知硬度朽Q）,且巧“亠巧=2

问，在口《0£15的显著性水平上比较操合金铸件谡度与铜合金银件谡度有无显著性差异

二、对两批同类无线电元件的电阻X、Y进行测试，测得结果如下，（单位：

欧姆）

Y

由经验知，两批无线电元件的电阻X、Y都服从正态分布且方差相等.问：

能否认为这两批无线电元件的电阻无显著差异

三、对甲乙两种玉米进行评比试验，现分別随机抽取甲乙两种玉米的亩产值各5个（单位:

斤）如下J

甲

951

966

1088

1082

983

t

乙

730

864

742

774

990

设甲、乙两种玉米宙产MX.Y分别服从X~M均,口2）,杓,口2）,

问：

两种玉米亩产量有无显著差异.

四、在质量控制中，产品质量的稳定性是一个重要的指标，可以用方差来体现•设甲、乙两厂生产电视机，要比较这两个厂所生产的电视机的寿命的稳迫性■假是某质量控制研究单位对两厂所生产的10台电视机产品的便用情况进行了追踪调査，得到这20台电视机的寿命数据如下（单位：

年）：

试问这两个电视机生产厂商所生产的电视机寿命的稳建程度是否一致

（Q：

=010）

甲厂

8

7

9

10

8

7

5

12

10

9

乙厂

10

8

5

7

1

8

7

11

4

6

5

五、两位化验员A、B对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，得到样本方差分别为与.若A、B测宦值的总体都是正态分布，其方差分别是口｛、口［问：

于仃口孑是否有显著性差异（取«=005）

六、用老工艺生产的机械零件方差较大，抽査了25个，得Sf=6.27现改用新工艺生产，抽査了25个，得S孑=319.设两种生产过程皆服从正态分布，问：

新工艺的精度是否比老工艺显著地好（取«=0€5）

第四节总体分布的假设检验

一、一颗骰子掷了100次，得结果如下:

点数

1

2

3

4

5

6

频数

13

14

20

17

15

21

试在《=0.0J!

的水平下检验这颗骰子是否均匀

二.某车床生产滚珠，随机抽取了50个产品，测得它们的直径为（单位：

mm）

三.从锌矿的东西两支矿脉中.各抽取容量分別为9和8的样本分析后，计算得苴样本含锌（%）平均值打方差分别为：

东支片1=0力D,sf=0.13372,”]=9；西支片2=0.2&9,g=0.17362,勺=匚若东西两支矿脉含锌量都服从正态分布.

问：

两支矿脉的含锌量能否认为服从同一正态分布

第五节比率P的比较

一、有人称某城镇成年人中大学毕业人数达30%,为检验这一假设，随机抽取了15名成年人，调查结果有3名大学毕业生，试问：

该看法是否合适（取«=0.05）

（提示：

该题意指在二项分布的条件下，求出对应的临界值，然后作相应的假设检验）

二、从随机抽取的467名男性中发现有8人色盲，而433需女性中发现有1人色盲，在«=0.01水平上能否认为女性色盲比例比男性低

（提示：

设男性色盲的比例为女性色盲的比例为乃，则检验的假设组为：

円0:

戸£戸2,

由所给岀的备择假设，利用大样本的正态近似得在«=0.01水平上的拒绝域为｛心.33｝）

复习题

一、选择题

1.

下列问题中，哪一个不是假设检验问题（）.

A、问电厂工人的平均工资是否高于钢厂工人的平均工资:

B、比较两种品牌的电视机是否有显箸性差异：

A、要求犯第一类错误的概率不超过a:

B、要求犯第二类错误的概率不超过优：

C、要求犯两类错误的概率之和不超过a：

D、以上都不对.

5.

下列陈述哪一个是正确的（）

A、在假设检验中，当作岀接受原假设H。

的结论时，意味着H。

一楚正确：

B、在假设检验中，当作出拒绝原假设H。

的结论时，意味着H。

一立不正确；

C、在同一假设检验中，如果原假设和备择假设选取不同，不会得到不同的检验结果：

D、在同一假设检验中，如果原假设和备择假设选取不同，可能会得到不同的检验结果.

6.同一假设检验问题，当显著性水平从变到时，否立域随之（）

A、扩大；B、缩小：

C、不变：

D、不能确宦.

7.设总体分布为NSo，，），其中旳已知，X1，…,X#为取自总体的简单样本.令

j・l.则，（）

A、0JI-1；B、切:

C、办-1:

D、.

&设正态总体从疔2）,若严未知，关于方差的检脸，使用（

AsU统irs：

B、t统计量；

C、7统汁量：

二、填空题

1.假设检验按照总体类型是否已知可以分

和,

2.假设检验按照拒绝域的形状可以分

和.

3.在假设检脸中存在着两错误：

第一类错误，即

和第二类错误，即,二者之间存在着关系.

4.总体X-NJ巧,当^2未知时，用样本检验原假设月0：

尸=如，町以采用服从—分

布的统计量:

当已知时，可以采用服从_分布的统计量.

5•总体X-gL）,当未知时，若检验原假设月0：

尸=如，则月0的拒绝域为_,若检验原假设月0:

以如，则肌的拒绝域为-

6.总体若检验原假设尽,：

口2=况：

©內，…,兀是一组样本观察值，“0.05,则耳）的拒绝域为.

7.设孟，血，…,X”是来自正态总体M地仃2）的简单随机样本，其中参数严和b2未知，记

:

检验

M，则检验叭屮=0使用的t统计量是

兀：

仃2=曲使用的*统计量是

三、il•算题

1.样本，X"…，*25来自总体"（口，9）,其中対为未知参数，对检验问题丹0,

取如下拒绝域

（"求C,使检验的显著性水平为;

:

牡-地卜可，其中"样本均值.

（2〉求3=4时犯第二类错误的概率，这里口lH从.

2.海达手表厂生产的女手表壳，在正常情况下，其直径（单位：

mm）

服从正态分布N（20,1）,在每天的生产过程中抽取5只表，测得直径分别为19,,19,20..问生产是否正常（«=0.05）（注意本题应该同时作均值和方差的检验，生产的精度和稳立性均正常）.

3.有10名失眠患者，服用甲、乙两种安眠药，延长的睡眠时间数据如下：

编号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

甲

乙

0

设服用安眠药增加的睡眠时间服从正态分布.

问：

两种安眠药的疗效有无显著性差异（提示：

这里是成对数据的检脸，取区=005）