初等数论课程教学大纲新.docx

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初等数论课程教学大纲新

《初等数论》课程教学大纲

一、课程的性质与地位

　　“初等数论”课程是宿迁高等师范学校数学学科专业必修的一门课程。

数

学专业的学生学习初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便

于理解和学习与其相关的一些课程。

数论是研究整数性质的一门很古老的数学

分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余

式、连分数、素数（即整数）分布以及数论函数等内容，统称初等数论

（elementary number theory）。

初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《 几何原本》中就已出现。

欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，

即所谓欧几里得算法。

我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书

中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第 26 题，我国称之

为“孙子定理”。

近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的

工作。

1801 年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。

高斯还提出：

“数

学是科学之王，数论是数学之王”。

可见高斯对数论的高度评价。

由于自 20 世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一

步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论

等新分支。

而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、

计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。

二、课程教学目标

初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数

数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。

本课程的目的是简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概

念、方法和技巧。

数论是以严格和简洁著称，内容既丰富又深刻。

通过这门课的学习，使学

生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、数论函数及简单连分数的基本

知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学

问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。

三、教学基本内容及要求

第一章数的整除性

（一）教学目的与要求

　　1、理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，理解质因数分解

定理，熟练掌握用裴蜀恒等式求最大公因子、最小公倍数的方法。

　　2、理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用

筛法求素数。

3、了解抽屉原理的简单与一般形式、会用抽屉原理构造一些具有特殊性

质整数。

（二）教学内容

1、整除性、公因数、公倍数

　　两个整数整除的概念、剩余定理；最大公因子的概念、性质及求最大公因

子的方法；最小公倍数的概念、性质及最小公倍数的求法。

2、素数与整数的素因子分解

　　素数与合数的概念、素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数的求法

（筛法）。

3、抽屉原理

　　抽屉原理的简单与一般形式、抽屉原理在构造具有特殊性质整数方面的应

用。

　　重点：

整除、公因子、素数的概念及性质，裴蜀恒等式，求最大公因子的

方法，整数的素数分解定理。

难点：

整数的素数分解定理的理解与运用函数[x]、{x}的概念及其应用。

（三）教学形式与方法

本章主要采用课堂讲授、讨论相结合的教学方式

（四）作业布置

1．设四个自然数只和为 1989，求证：

它们的立方和不是偶数。

2．试证明：

不存在 2 个自然数，它们的和与差的乘积等于 1990。

3．设 a1, a2 L , an 是一组数，他们中的每一个都取+1 或-1，而

a1a2a3a4 + a2a3a3a4 +L + ana1a2a3 = 0

证明：

n 必须是 4 的倍数。

4．设 n 〉0,α ≥ 2, 证明：

 nα 能够表示成 n 个连续的奇数的和。

5、搜索中小学关于此类问题的题目，理解与体会方法的运用。

6、查寻奇数，偶数在中小学问题中的运用，拓展思维，灵活运用。

7、求

（1）（5767，4453）

（2）（3141，1592）

8、求[144，480]

9、求证：

若 （a, b） = 1，则

（1） （a ± b, ab） = 1

（2） （a + b, a - b） = 1 或 （a + b, a - b） = 2

10、求出能使 36x + 83y = 1成立的两个整数 x, y 。

11、二数之和是 432，它们的最大公约数是 36，求此二数。

12、对于任意的整数 n〉1，证明：

总可以找到 n 个连续的合数

13、求 72 与 480 的最大公约数与最小公倍数。

14、

（1）迪泼瓦尔曾断言：

对所有 n≥1，6n+1 和 6n-1 中至少有一个是质数、

举例说明他的断言错了。

（2）证明：

有无穷多个 n 使 6n-1 和 6n+1 同时为合数。

15、设 P 是合数 n 是最小素因数，证明：

若 P＞ n  ，则

1

3

n

p

是素数

16、容易验证 90、91、92、93、94、95、96 是 7 个相邻的合数。

试写出 9 个相邻的合数。

17、检验 539 是否为质数

18、证明：

在 n＞2 时，n 与 n！

之间一定有一个质数

分析：

由于（n！

-1.n！

）=1，则 1 到 n 中的所有质数均不能整除 n！

-

1，那么必存在质数 p，p＞n，且 p＜n！

第二章同余理论

（一）教学目的与要求

　　1、理解整数同余的概念及同余的基本性质，熟练运用同余的基本性质，

会利用同余简单验证整数乘积运算的结果。

　　2、理解剩余类、完全剩余系的概念，熟练掌握判断剩余系的方法。

　　3、了解 Fermat 小定理，熟练运用之。

　　4、理解中国剩余定理，掌握中国剩余定理的简单应用，掌握求解简单同余

式方程组的方法。

（二）教学内容

　　1、同余的概念及性质

　　整数同余的概念、同余的基本性质，利用同余简单验证整数乘积运算的结

果。

　　2、剩余类、完全剩余系

　　剩余类、完全剩余系的概念，判断剩余系的方法。

　　3、费马小定理

　　费马小定理及其应用，求余数的方法。

　　4、中国剩余定理

　　中国剩余定理，中国剩余定理的应用，求解同余式方程组。

　　重点：

剩余系的判定，欧拉函数的定义及性质，中国剩余定理，同余性质

的运用。

　　难点：

剩余系的判定，中国剩余定理，费马小定理应用。

（三）教学形式与方法

本章主要采用课堂讲授、讨论相结合的教学方式

（四）作业布置

1、若 k≡1（mod4），问 6k+5 与 0.1.2.3 中哪一个 mod4 同余？

2、在 3145×92653=291□93685 中，积有一位数字遗漏，而其它数字是正确

的，遗漏数字是什么？

3、求10   +10+L  +10

} 10

1010010L 0

被 7 除的余数。

4、证明：

15 不能整除 n2 + n + 2 。

5、 314159 除以 7，余数是多少？

6、证明：

若 a 和 b 均不被质数 n+1 整除，则 an - bn 被 n+1 整除。

7、证明：

645 是伪质数。

8、证明：

若 a 和 b 均不被质数 n+1 整除，则 an - bn 被 n+1 整除。

9、对于一切 a 满足 n | （an - a） 的合数 n，称为绝对伪质数，最小的绝对伪质数

为 561，验证：

341 不能整除 （11341 -11） ，从而 341 不是一个绝对伪质数。

⎧ x ≡ 1（mod 7）

⎪

⎪8x ≡ 4（mod 9）

11、试用同余方程的解法，求解不定方程

37x + 49 y = 1

第三章数论函数

（一）教学目的与要求

1、理解欧拉函数的定义及性质。

2、了解欧拉定理，掌握循环小数的判定方法

（二）教学内容

1、函数[x]、{x}、欧拉函数及其应用

函数[x]与{x}及欧拉函数的概念、性质

2、τ （n）,σ （n） 及其运用

τ （n）,σ （n） 的含义，τ （n）,σ （n） 公式的推导。

3、欧拉定理及其应用

　欧拉定理，循环小数的判定条件。

重点：

τ （n）,σ （n） 公式的运用，欧拉定理

难点：

欧拉定理的运用

（三）教学形式与方法

本章主要采用课堂讲授、讨论相结合的教学方式

（四）作业布置

1、设 n 是正整数，证明

⎡ n ⎤ ⎡ n +1⎤⎡ n2 ⎤

⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ⎥⎣ 4 ⎦

2、设 a, b 是任意实数，那么有

[a]- [b]= [a - b]或 [a]- [b]= [a - b]+1

3、求使 101⨯102 ⨯L ⨯1000

7k

为整数的最大自然数 k 。

4、证明：

方程

[x]+ [2x]+ [4x]+ [8x]+ [16x]+ [32x]= 12345

没有实数解。

5、若 n 是 2 的幂，则σ （n） 是奇数；

6、 n 为什么数时，τ （n） =8？

7、证明：

 ∑

d|n

1

d

=

σ （n）

n

8、若 n 是偶完全数， n > 6 ，证明：

 n ≡ 1（mod 9） ；

9、σ k （n） = ∑ d k , 其中 k 为正整数，试给出σ k （n） 的计算公式。

d|n

10、证明：

如果 n 的末位数字为 7，那么 n 一定有一个倍数，它的数字全不为

0。

11、计算 ϕ （420）

第四章不定方程

（一）教学目的与要求

　　1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件，

熟练掌握利用辗转相除法求二元一次不定方程的方法。

2、知道不定方程 x2 + y2 = z2 的整数解的形式。

（二）教学内容

　　1、二元一次不定方程

　　二元一次不定方程的形式，二元一次不定方程解的形式，二元一次不定方

程有整数解的条件，利用辗转相除法求二元一次不定方程的解。

　　2、不定方程

　　不定方程 x2 + y2 = z2 的整数解的形式，Fermat 大定理的简单介绍。

　　重点：

二元一次不定方程解的形式，二元一次不定方程有整数解的条件，

利用辗转相除法求二元一次不定方程的解。

难点：

不定方程 x2 + y2 = z2 的整数解的形式，

（三）教学形式与方法

本章主要采用课堂讲授、讨论相结合的教学方式

（四）作业布置

1、 解不定方程

9x + 24 y - 5z = 1000

2、求不定方程的正整数解

（1） 5x + 7 y = 41

（2） 7x + 3y = 123

3、把 100 个苹果分成两堆，使得一堆的个数能被 7 整除，另一堆的个数能被

11 整除

4、求不定方程 x 2 + y 2 = z 2 满足 z = 65 ，而且 y f x f 0 的全部解为 （x, y, z） 。

第五章连分数

（一）教学目的与要求

1、掌握连分数、有限、无限连分数的概念，理解它们之间的关系；

2、掌握连分数、渐近分数及其之间的递推关系式，理解有限、无限连分

数与有理数、无理数之间的关系。

（二）教学内容

1、连分数、渐近分数及其之间的递推关系

连分数、渐近分数的含义，它们之间的递推关系式

2、有限、无限连分数，它们与有理数、无理数之间的关系

有限、无限连分数的概念，它们与有理数、无理数之间的关系

重点：

连分数、渐近分数及其之间的递推关系；有限、无限连分数与有

理数、无理数之间的关系。

难点：

连分数、渐近分数及其之间的递推关系

（三）教学形式与方法

本章主要采用课堂讲授、讨论相结合的教学方式

（四）作业布置

四、教学学时分配

现将教学计划规定的学时数分配到课程的各章节。

（见教学学时分配表）

教学学时分配表

教学内容（章学时

节）

讲授

讨论

实践

实验

备注

第一章 数的

整除性

10

6

第二章    同余

理论

8

2

第三章 数论

函数

10

2

第四章    不定

方程

4

第五章 连分

数

4

3

3

五、教学环节要求与安排

1、自学

　　自学是学生获得知识的重要方式，自学能力的培养也是师范教育的重点之

一，本课程的教学要注意对学生自学能力的培养。

学生可以通过自学，掌握必

要的知识，也为今后继续学习做好铺垫。

2、课堂教学

　　课堂教学要服从于教学大纲、文字教材，采用讲解、讨论、答疑等方式，

通过解题思路分析，基本方法训练，培养学生基本运算的能力和分析、解决问

题的能力。

3、作业

　　独立完成作业是学生学好本课程的一项重要的、必不可少的工作。

作业内

容以教材中的习题为主，通过这些习题的练习，逐步加深对课程中各种概念的

理解，熟悉各种基本解题方法，达到基本掌握本课程主要内容的目的。

六、考核办法

考试题目要全面，符合大纲要求，同时要做到体现重点，题量适度，难度

适中，题量和难度的梯度应按照教学的三个不同层次安排。

不出难题，怪题。

未作具体教学要求的内容不作考试要求。

考核结果按三三四制，即平时成绩占

总分的百分之三十，期中考试成绩占总分的百分之三十，期末考试成绩占总分

的百分之三十。

七、教材选用

单墫主编 ∙ 初等数论 ∙ 南京：

南京大学出版社，2006

八、教学参考书

闵嗣鹤严士健 ∙ 初等数论 ∙ 北京：

高等教育出版社，1982

九、相关说明书