最新版人教版七年级数学下册第九章不等式与不等式组 教案教学设计.docx
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最新版人教版七年级数学下册第九章不等式与不等式组教案教学设计
第九章不等式与不等式组
9.1不等式
9.1.1不等式及其解集
【教学目标】
【知识与技能】
了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生白发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上
【过程与方法】
经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想；
【情感态度与价值观】
通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识；
【教学重点】
正确理解不等式及不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上．
【教学难点】
正确理解不等式解集的意义。
【新课导入】
一、情境导入
有一群猴子，一天结伴去摘桃子．分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下59个；如果每只猴子分5个，那么最后一只猴子分得的桃子不够5个．你知道有几只猴子，几个桃子吗？
【教学过程】
二、合作探究
探究点一：
不等式的概念
下列各式中：
①－3＜0；②4x＋3y＞0；③x＝3；④x2＋xy＋y2；⑤x≠5；⑥x＋2＞y＋3.不等式的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．1个
解析：
③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．不等式有①②⑤⑥，共4个．故选B.
方法总结：
本题考查不等式的判定，一般用不等号表示不相等关系的式子是不等式．解答此类题的关键是要识别常见不等号：
＞，＜，≤，≥，≠.如果式子中没有这些不等号，就不是不等式．
探究点二：
列简单不等式
根据下列数量关系，列出不等式：
（1）x与2的和是负数；
（2）m与1的相反数的和是非负数；
（3）a与－2的差不大于它的3倍；
（4）a，b两数的平方和不小于它们的积的两倍．
解析：
（1）负数即小于0；
（2）非负数即大于或等于0；（3）不大于就是小于或等于；（4）不小于就是大于或等于．
解：
（1）x＋2<0；
（2）m－1≥0；
（3）a＋2≤3a；
（4）a2＋b2≥2ab.
探究点三：
不等式的解与解集
【类型一】对不等式解的理解
下列不是不等式5x－3<6的一个解的是（ ）
A．1B．2C．－1D．－2
解析：
分别把四个选项中的值代入不等式，能使不等式成立的数分别为5×1－3＝2<6，5×（－1）－3＝－8<6，5×（－2）－3＝－13<6，而5×2－3＝7>6不能使不等式成立，故选B.
方法总结：
判断某个数值是否为不等式的解的方法：
可直接将数值代入不等式的左右两边看不等式是否成立．如果成立，则是不等式的解；反之，则不是．
【类型二】对不等式解集的理解
下列说法中，正确的是（ ）
A．x＝2是不等式x＋3<4的解
B．x＝3是不等式3x<7的解
C．不等式3x<7的解集是x＝2
D．x＝3是不等式3x>8的解
解析：
A不正确，因为当x＝2时，x＋3<4不成立；B不正确，因为不等式3x<7的解集是x<
，当x＝3时，不等式3x<7不成立；C不正确，因为不等式3x<7有无数多个解，而x＝2只是其中一个解，因此只能说x＝2是3x<7的解，而不能说不等式3x<7的解集是x＝2；D正确，因为当x＝3时，不等式3x>8成立．故选D.
方法总结：
不等式的解可以有无数个，一般是某个范围内的所有数．未知数取解集中任何一个值时，不等式都成立；未知数取解集外任何一个值时，不等式都不成立．
【教学反思】
本节课通过实际问题引入不等式，并用不等式表示数量关系．要注意常用的关键词的含义：
负数、非负数、正数、大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过等，这些关键词中如果含有“不”“非”等文字，一般应包括“＝”，这也是学生容易出错的地方
9.1.2不等式的性质
【教学目标】
【知识与技能】
1．掌握不等式的两条基本性质，并能熟练的应用不等式的性质进行不等式的变形；
2．理解不等式的基本性质与等式的基本性质之间的区别.
【过程与方法】
在积极参与探索、发现的过程中，体会不等式的两条基本性质的作用和意义，培养学生探索数学问题的能力；
【情感态度与价值观】
1．通过学生的自主讨论培养学生的观察力和归纳的能力；
2．通过学生的讨论使学生进一步体会集体的作用，培养其集体合作的精神【教学重点】
掌握不等式的两条基本性质，尤其是不等式的基本性质2；
【教学难点】
正确应用不等式的两条基本性质进行不等式的变形.
【新课导入】
一、情境导入
小刚的爸爸今年32岁，小刚今年9岁，小刚说：
“再过24年，我就比爸爸年龄大了．”小刚的说法对吗？
为什么？
【教学过程】
探究点一：
不等式的性质
【类型一】比较代数式的大小
已知－x＜－y，用“＜”或“＞”填空：
（1）－2x________－2y；
（2）2x________2y；
（3）
x________
y.
解析：
（1）根据不等式的性质2，不等式两边同乘以2，不等号方向不变，故填＜；
（2）根据不等式的性质3，不等式两边同乘以－2，不等号方向改变，故填＞；（3）根据不等式的性质3，不等式两边同乘以－
，不等号方向改变，故填＞.
方法总结：
利用不等式的性质2、3把不等式进行变形时，首先必须弄清两边同时乘（或除以）的数的符号，如果这个数是正数，不等号的方向不变；如果是负数，不等号的方向改变．
【类型二】判断变形是否正确
根据不等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．由a>b得ac2>bc2
B．由ac2>bc2得a>b
C．由－
a>2得a<2
D．由2x＋1＞x得x＜－1
解析：
A中a>b，c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；B中不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的符号不改变，故B正确；C中不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，右边也应乘以－2，故C错误；D中不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，故D错误．故选B.
方法总结：
本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【类型三】根据不等式的变形确定字母的取值范围
如果不等式（a＋1）x＜a＋1可变形为x＞1，那么a必须满足________．
解析：
根据不等式的性质可判断a＋1为负数，即a＋1＜0，可得a＜－1.
方法总结：
只有当不等式的两边都乘（或除以）一个负数时，不等号的方向才改变．
探究点二：
利用不等式的性质解简单的不等式
利用不等式的性质解下列不等式：
（1）2x－2<0；
（2）3x－9<6x；
（3）
x－2＞
x－5.
解析：
根据不等式的性质，把含未知数的项放到不等式的左边，常数项放到不等式的右边，然后把系数化为1.
解：
（1）根据不等式的性质1，两边都加上2得2x<2.根据不等式的性质2，两边除以2得x<1；
（2）根据不等式的性质1，两边都加上9－6x得－3x<9.根据不等式的性质3，两边都除以－3得x＞－3；
（3）根据不等式的性质1，两边都加上2－
x得－x>－3.根据不等式的性质3，两边都除以－1得x<3.
方法总结：
运用不等式的性质进行变形时，可以先在不等式两边同时加上一个适当的代数式，使含未知数的项在不等式的左边，常数项在不等式的右边，然后把未知数的系数化为1.要注意的是：
如果两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；如果两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【教学反思】
在学习不等式的性质时，可与等式的性质进行类比学习．在课堂中，让学生大胆质疑，同时通过易错例题加深学生对不等式的性质3的理解和认识．通过学习，还需要学生能独立把不等式的三条性质用数学符号表示出来
9.2一元一次不等式
课时1一元一次不等式及其解法
【教学目标】
【知识与技能】
1、通过自主与合作学习，会解简单一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。
【过程与方法】
经历用类比方法探究解一元一次不等
式的过程，通过去分母的方法解一元一次不等式，了解数学中的化归思想，感知不等式与方程的内在联系。
【情感态度与价值观】
培养利用类比思想、化归思想学习数学的能力，学习中渗透数形结合的思想。
【教学重点】
一元一次不等式的
解法。
【教学难点】
一元一次不等式的
解法。
【新课导入】
一、情境导入
1．什么叫一元一次方程？
2．解一元一次方程的一般步骤是什么？
要注意什么？
3．如果把一元一次方程中的等号改为不等号，怎样求解？
【教学过程】
二、合作探究
探究点一：
一元一次不等式的概念
【类型一】一元一次不等式的识别
下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．5x－2＞0B．－3＜2＋
C．6x－3y≤－2D．y2＋1＞2
解析：
选项A是一元一次不等式，选项B中含未知数的项不是整式，选项C中含有两个未知数，选项D中未知数的次数是2，故选项B，C，D都不是一元一次不等式．故选A.
方法总结：
如果一个不等式是一元一次不等式，必须满足三个条件：
①含有一个未知数；②未知数的最高次数为1；③不等式的两边都是关于未知数的整式．
【类型二】根据一元一次不等式的概念确定字母的取值范围
已知－
x2a－1＋5＞0是关于x的一元一次不等式，则a的值是________．
解析：
由－
x2a－1＋5＞0是关于x的一元一次不等式得2a－1＝1，则a＝1.故答案为1.
探究点二：
解一元一次不等式
【类型一】解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集
解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
（1）2x－3＜
；
（2）
－
≤1.
解析：
先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可．
解：
（1）去分母，得3（2x－3）＜x＋1，
去括号，得6x－9＜x＋1，
移项，合并同类项，得5x＜10，
系数化为1，得x＜2.
不等式的解集在数轴上表示如下：
（2）去分母，得2（2x－1）－（9x＋2）≤6，
去括号，得4x－2－9x－2≤6，
移项，得4x－9x≤6＋2＋2，
合并同类项，得－5x≤10，
系数化为1，得x≥－2.
不等式的解集在数轴上表示如下：
方法总结：
在数轴上表示不等式的解集时，一要把点找准确，二要找准方向，三要区别实心圆点与空心圆圈．
【类型二】根据不等式的解集求待定系数
已知不等式x＋8＞4x＋m（m是常数）的解集是x＜3，求m的值．
解析：
先解不等式x＋8＞4x＋m，再列方程求解．
解：
因为x＋8＞4x＋m，所以x－4x＞m－8，所以－3x＞m－8，所以x＜－
（m－8）．
因为其解集为x＜3，
所以－
（m－8）＝3，解得m＝－1.
方法总结：
已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集的唯一性列方程求字母的值．解题过程体现了方程思想．
【类型三】求不等式的特殊解
y为何值时，代数式
的值不大于代数式
－
的值？
并求出满足条件的最大整数．
解析：
根据题意列出不等式
≤
－
，再求出解集，然后找出符合条件的最大整数．
解：
依题意，得
≤
－
，
去分母，得4（5y＋4）≤21－8（1－y），
去括号，得20y＋16≤21－8＋8y，
移项，得20y－8y≤21－8－16，
合并同类项，得12y≤－3，
把y的系数化为1，得y≤－
.
y≤－
在数轴上表示如下：
由图可知，满足条件的最大整数是－1.
方法总结：
求不等式的特殊解，先要准确求出不等式的解集，然后确定特殊解．在确定特殊解时，一定要注意是否包括端点的值，一般可以结合数轴，形象直观，一目了然．
【类型四】一元一次不等式与二元一次方程组的综合
已知关于x、y的方程组
的解满足不等式x＋y＜3，求实数a的取值范围．
解析：
先解方程组，求得x、y的值，再根据x＋y＜3解不等式即可．
解：
解方程组得
∵x＋y＜3，∴2a＋1＋2a－2＜3，
∴4a＜4，∴a＜1.
方法总结：
已知方程组，可先求出方程组的解，再把方程组的解代入不等式，求出字母系数的取值范围．
【教学反思】
本节课通过类比一元一次方程的解法得到一元一次不等式的解法，让学生感受到解一元一次不等式与解一元一次方程只是在两边都除以未知数的系数这一步时有所不同．如果这个系数是正数，不等号的方向不变；如果这个系数是负数，不等号的方向改变．这也是这节课学生容易出错的地方．教学时要大胆放手，不要怕学生出错，要通过学生犯的错误引起学生注意，理解产生错误的原因，以便在以后的学习中避免出错
课时2一元一次不等式的应用
【教学目标】
【知识与技能】
会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决实际问题。
【过程与方法】
经历用类比方法探究解一元一次不等
式的过程，通过去分母的方法解一元一次不等式，了解数学中的化归思想，感知不等式与方程的内在联系。
【情感态度与价值观】
培养利用类比思想、化归思想学习数学的能力，学习中渗透数形结合的思想。
【教学重点】
1．会在实际问题中寻找数量关系；
2．会列一元一次不等式解决实际问题．（重点、难点）
【教学难点】
1．会在实际问题中寻找数量关系；
2．会列一元一次不等式解决实际问题．（重点、难点）
【新课导入】
一、情境导入
如果你要分别购买40元、80元、140元、160元的商品，应该去哪家商店更优惠？
【教学过程】
二、合作探究
探究点：
一元一次不等式的应用
【类型一】商品销售问题
某商品的进价是120元，标价为180元，但销量较小．为了促销，商场决定打折销售，为了保证利润率不低于20%，那么最多可以打几折出售此商品？
解析：
由题意可知，利润率为20%时，获得的利润为120×20%＝24（元）．若打x折，该商品获得的利润＝该商品的标价×
－进价，即该商品获得的利润＝180×
－120，列出不等式，解得x的值即可．
解：
设可以打x折出售此商品，由题意得
180×
－120≥120×20%，
解得x≥8.
答：
最多可以打8折出售此商品．
方法总结：
商品销售问题的基本关系是：
售价－进价＝利润．读懂题意列出不等关系式求解是解题关键．
【类型二】竞赛积分问题
某次知识竞赛共有25道题，答对一道得4分，答错或不答都扣2分．小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？
解析：
设小明答对x道题，则答错或不答的题数为（25－x）道，根据得分要超过80分，列出不等关系式求解即可．
解：
设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为（25－x）道．根据他的得分要超过80分，得
4x－2（25－x）＞80，
解得x＞21
.
因为x应是整数而且不能超过25，所以小明至少要答对22道题．
答：
小明至少要答对22道题．
方法总结：
竞赛积分问题的基本关系是：
得分－扣分＝最后得分．本题涉及不等式的整数解，取整数解时要注意关键词：
“至多”“至少”等．
【类型三】安全问题
在一次爆破中，用一条1m长的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度为0.5cm/s，引爆员点着导火索后，至少以每秒多少米的速度才能跑到600m以外（包括600m）的安全区域？
解析：
本题首先依题意可得出不等关系即引爆员所跑路程大于等于600米，然后列出不等式为
x≥600，解出不等式即可．
解：
设以每秒xm的速度能跑到600m以外（包括600m）的安全区域.0.5cm/s＝0.005m/s，
依题意可得
x≥600，
解得x≥3.
答：
引爆员点着导火索后，至少以每秒3m的速度才能跑到600m以外（包括600m）的安全区域．
方法总结：
题中的“至少”是建立不等式的关键词，也是列不等式的依据．
【类型四】分段计费问题
小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：
若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元．小明家每月用水量至少是多少？
解析：
当每月用水5立方米时，花费5×1.8＝9（元），则可知小明家每月用水超过5立方米．设每月用水x立方米，则超出（x－5）立方米，根据题意超出部分每立方米收费2元，列一元一次不等式求解即可．
解：
设小明家每月用水x立方米．
∵5×1.8＝9＜15，
∴小明家每月用水超过5立方米．
则超出（x－5）立方米，按每立方米2元收费，
列出不等式为5×1.8＋（x－5）×2≥15，
解得x≥8.
答：
小明家每月用水量至少是8立方米．
方法总结：
分段计费问题中的费用一般包括两个部分：
基本部分的费用和超出部分的费用，根据费用之间的关系建立不等式求解即可．
【类型五】调配问题
有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种甲种蔬菜？
解析：
设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜的为（10－x）人．则种甲种蔬菜3x亩，乙种蔬菜2（10－x）亩．再列出不等式求解即可．
解：
设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜的为（10－x）人．
根据题意得0.5×3x＋0.8×2（10－x）≥15.6，
解得x≤4.
答：
最多只能安排4人种甲种蔬菜．
方法总结：
调配问题中，各项工作的人数之和等于总人数．
【类型六】方案决策问题
为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表．经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．
A型
B型
价格（万元/台）
12
10
处理污水量（吨/月）
240
200
年消耗费（万元/台）
1
1
（1）该企业有几种购买方案？
（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案？
解析：
（1）设购买污水处理设备A型x台，则B型为（10－x）台，列出不等式求解即可，x的值取整数；
（2）根据题表信息列出不等式求解，再根据x的值选出最佳方案．
解：
（1）设购买污水处理设备A型x台，则B型为（10－x）台．由题意得
12x＋10（10－x）≤105，解得x≤2.5.
∵x取非负整数，∴x可取0，1，2.
有三种购买方案：
购A型0台，B型10台；A型1台，B型9台；A型2台，B型8台；
（2）由题意得240x＋200（10－x）≥2040，解得x≥1，
所以x为1或2.
当x＝1时，购买资金为12×1＋10×9＝102（万元）；
当x＝2时，购买资金为12×2＋10×8＝104（万元）．
为了节约资金，应选购A型1台，B型9台．
方法总结：
此题将现实生活中的事件与数学思想联系起来，属于最优化问题，在确定最优方案时，应把几种情况进行比较，找出最大或最小．
【教学反思】
本节课通过实例引入，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与，讲练结合，引导学生找不等关系列不等式．在教学过程中，可通过类比列一元一次方程解决实际问题的应用题来学习，让学生认识到列方程与列不等式的区别与联系
9.3一元一次不等式组
课时1一元一次不等式组及其解法
【教学目标】
【知识与技能】
了解一元一次不等式组的概念
【过程与方法】
理解一元一次不等式组解集的意义
【情感态度与价值观】
掌握一元一次不等式组的解法
【教学重点】
一元一次不等式组的解
法
【教学难点】
一元一次不等式组的解集的表示
【新课导入】
一、情境导入
你能列出上面的不等式并将其解集在数轴上表示出来吗？
【教学过程】
二、合作探究
探究点一：
在数轴上表示不等式组的解集
不等式组
的解集在数轴上表示为（ ）
解析：
把不等式组中每个不等式的解集在数轴上表示出来，它们的公共部分是1≤x＜3.故选C.
方法总结：
利用数轴确定不等式组的解集，如果不等式组由两个不等式组成，其公共部分在数轴上方应当是有两根横线穿过．
探究点二：
解一元一次不等式组
解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1）
（2）
解析：
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求它们的公共部分．
解：
（1）
解不等式①，得x≥2，解不等式②，得x＞2.
所以这个不等式组的解集为x＞2.
将不等式组的解集在数轴上表示如下：
（2）
解不等式①，得x＞1，解不等式②，得x≤4.
所以这个不等式组的解集是1＜x≤4.
将不等式组的解集在数轴上表示如下：
方法总结：
解一元一次不等式组的一般步骤：
先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来，然后利用数轴确定这几个不等式解集的公共部分．也可利用口诀确定不等式组的解集：
大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找．
探究点三：
求不等式组的特殊解
求不等式组
的整数解．
解析：
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的整数值即可．
解：
解不等式①，得x≤2，解不等式②，得x＞－3.
故此不等式组的解集为－3＜x≤2，x的整数解为－2，－1，0，1，2.
方法总结：
求不等式组的特殊解时，先解每一个不等式，求出不等式组的解集，然后根据题目要求确定特殊解．确定特殊解时也可以借助数轴．
探究点四：
根据不等式组的解集求字母的取值范围
若不等式组
无解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥－1B．a＜－1
C．a≤1D．a≤－1
解析：
解第一个不等式得x≥－a，解第二个不等式得x＜1.因为不等式组无解，所以－a≥1，解得a≤－1.故选D.
方法总结：
根据不等式组的解集求字母的取值范围，可按以下步骤进行：
①解每一个不等式，把解集用数字或字母表示；②根据已知条件即不等式组的解集情况，列出新的不等式．这时一定要注意是否包括边界点，可以进行检验，看有无边界点是否满足题意；③解这个不等式，求出字母的取值范围．
【教学反思】
解一元一次不等式组是建立在解一元一次不等式的基础之上，解不等式组时，先解每一个不等式，再确定各个不等式的解集的公共部分．教学中可以把利用数轴与利用口诀确定不等式组的解集结合起来，互相验证
课时2一元一次不等式组的应用
【教学目标】
【知识与技能】
会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式组解决实际问题。
【过程与方法】
经历用类比方法探究解一元一次不等
式的过程，通过去分母的方法解一元一次不等式，了解数学中的化归思想，感知不等式与方程的内在联系。
【情感态度与价值观】
培养利用类比思想、化归思想学习数学的能力，学习中渗透数形结合的思想。
【教学重点】
1．会在实际问题中寻找数量关系；
2．会列一元一次不等式组解决实际问题．（重点、难点）
【教学难点】
1．会在实际问题中寻找数量关系；
2．会列一元一次不等式组解决实际问题．（重点、难点）
【新课导入】
一、情境导入
小明、小红和东东三人在公园玩跷跷板，当小明和小红坐在跷跷板的两端时，小明这一端着地．三人一起玩跷跷板时，小红与东东坐在一端，小明被跷起．已经知道小红和东东的体重分别为30kg和32kg，同学们，你们能算出小明的体重大约是多少吗？
【教学过程】
二、合作探究
探究点：
一元一次不等式组的应用
【类型一】分配问题
某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡
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