期权定价中的蒙特卡洛模拟方法.docx
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期权定价中的蒙特卡洛模拟方法
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期权定价中的蒙特卡洛模拟方法
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期权定价中的蒙特卡洛模拟方法
期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。
而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。
蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。
蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。
§1.预备知识
◆两个重要的定理：
柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）强大数定律和莱维一林德贝格（Levy-Lindeberg）中心极限定理。
大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的一系列极限定律。
在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的Kolmogorov强大数定律：
设为独立同分布的随机变量序列，若
则有
显然，若是由同一总体中得到的抽样，那么由此大数定律可知样本均值当n很大时以概率1收敛于总体均值。
中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际问题。
设为独立同分布的随机变量序列，若
则有
其等价形式为。
◆Black-Scholes期权定价模型
模型的假设条件：
1、标的证券的价格遵循几何布朗运动
其中，标的资产的价格是时间的函数，为标的资产的瞬时期望收益率，为标的资产的波动率，是维纳过程。
2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。
3、不考虑交易费用或税收等交易成本。
4、在衍生证券的存续期内不支付红利。
5、市场上不存在无风险的套利机会。
6、无风险利率为一个固定的常数。
下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套利定价原理建立期权定价模型。
首先，为了得到期权的微分形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式。
伊藤Ito公式：
设，是二元可微函数，若随机过程满足如下的随机微分方程
则有
根据伊藤公式，当标的资产的运动规律服从假设条件中的几何布朗运动时，期权的价值的微分形式为
现在构造无风险资产组合，即有，经整理后得到
这个表达式就是表示期权价格变化的Black-Scholes偏微分方程。
它同时适合欧式看涨期权、欧式看跌期权、美式看涨期权和美式看跌期权，只是它们的终值条件和边界条件不同，其价值也不相同。
欧式看涨期权的终边值条件分别为
，
通过求解带有终边值条件的偏微分方程，得出欧式看涨期权的的解析解：
其中，，，，为期权的执行日期，为期权的执行价格。
欧式看跌期权的终边值条件分别为
，
此外，美式看涨期权的终值条件为，美式看跌期权的终值条件为。
然而，美式期权的价值没有解析解，我们一般可通过数值方法（蒙特卡洛模拟、有限差分法等）求得其近似解。
◆风险中性期权定价模型
如果期权的标的资产价格服从几何布朗运动
即标的资产的瞬时期望收益率取为无风险利率。
同理，根据伊藤公式可以得到
对数正态分布的概率密度函数：
设，，则的密度函数为
根据上述公式，得到标的资产的密度函数如下
在风险中性概率测度下，欧式看涨期权定价为：
接下来，求解以上风险中性期望。
首先，对上式的右边第一个广义积分分别作变量替换
和，可以得到
再对等式的右边的第二个无穷积分，令
，可求得
将以上的计算结果代入期望等式中，得到欧式看涨期权的价格公式为：
其中，，。
可以看出，对于欧式看涨期权的风险中性定价方法的结果与基于资产复制的偏微分方程定价方法的结果是一致的。
基于风险中性的期权定价原理在于：
任何资产在风险中性概率测度下，对于持有者来说都是风险偏好中性的，便可用风险中性概率求取期权的期望回报再将其进行无风险折现便是初始时刻的期权价值。
蒙特卡洛模拟方法就是一种基于风险中性原理的期权数值定价方法。
§2.蒙特卡洛模拟方法及其效率
假设所求量是随机变量的数学期望，那么近似确定的蒙特卡洛方法是对进行n次重复抽样，产生独立同分布的随机变量序列，并计算样本均值
。
那么根据Kolmogorov强大数定律有
。
因此，当n充分大时，可用作为所求量的估计值。
由中心极限定理可得到估计的误差。
设随机变量的方差，对于标准正态分布的上分位数，有
这表明，置信水平对应的渐近置信区间是
。
实际上，由此可确定蒙特卡洛方法的概率化误差边界，其误差为，误差收敛速度是。
不难看出，蒙特卡洛方法的误差是由和决定的。
在对同一个进行抽样的前提下，若想将精度提高一位数字，要么固定，将n增大100倍；要么固定n将减小10倍。
若两个随机变量的数学期望，，那么无论从或中抽样均可得到的蒙特卡洛估计值。
比较其误差，设获得的一个抽样所需的机时为，那么在时间T内生成的抽样数，若使，则需使。
因而，若要提高蒙特卡罗方法的效率，不能单纯考虑增加模拟的次数n或是减小方差，应当在减小方差的同时兼顾抽取一个样本所耗费的机时，使方差与机时t的乘积尽量的小。
§3.蒙特卡洛模拟方法为期权定价的实现步骤
期权定价的蒙特卡洛方法的理论依据是风险中性定价原理：
在风险中性测度下，期权价格能够表示为其到期回报的贴现的期望值，即，其中的表示风险中性期望，r为无风险利率，T为期权的到期执行时刻，是关于标的资产价格路径的预期收益。
由此可知，计算期权价格即就是计算一个期望值，蒙特卡洛方法便是用于估计期望值，因此可以得到期权定价的蒙特卡洛方法。
一般地，期权定价的蒙特卡洛模拟方法包含以下几步（以欧式看涨期权为例）:
（l）在风险中性测度下模拟标的资产的价格路径
将时间区间分成n个子区间，标的资产价格过程的离散形式是
，
（2）计算在这条路径下期权的到期回报，并根据无风险利率求得回报的贴现
（3）重复前两步，得到大量期权回报贴现值的抽样样本
（4）求样本均值，得到期权价格的蒙特卡洛模拟值
另外，我们还可以得到蒙特卡洛模拟值与真值的概率化误差边界，这也是蒙特卡洛方法为期权定价的优势之一。
由于，m条路径的收益均值为，m条路径的方差为，则可得95%的置信区间为。
例1：
假设无红利的股票A，初始价格为￥6，价格过程服从几何布朗运动，年预期收益率为10%，收益率的波动率为每年25%，时间步长为0.01年（1年为100时间步），给定数据，，以及＝100，用蒙特卡洛方法模拟资产的价格路径如下：
（1）
（2）
图
（1）蒙特卡洛方法模拟股票A价格路径，图
（2）蒙特卡洛方法模拟股票B价格路径。
若无红利的股票B、C、D，其价格均为￥6，股票B的期望收益率为0.1，波动率为0.6；股票C的期望收益率为0.5，波动率为0.25；股票D的期望收益率为0.5，波动率为0.6，分别用蒙特卡洛方法模拟该三种股票在一年内的价格路径如下：
（3）
（4）
图（3）蒙特卡洛方法模拟股票C价格路径，图（4）蒙特卡洛方法模拟股票D价格路径。
从图中可以看出，股票C和股票D的价格上升速度较快，而股票B和股票D的价格波动比较大。
这是与股票C和股票D价格的期望收益率较高，股票B和股票D价格的波动率较高相对应的。
欧式看涨期权，通过Black-Scholes公式计算得的精确值为，蒙特卡洛模拟的价格为，其蒙特卡洛模拟图如下：
（5）
上述同样的条件，路径由100逐渐增加到1000000条，对应地分别得到的期权价值的模拟值和置信区间，结果如下表所示：
各种路径下蒙特卡洛方法模拟的95%置信区间
§4.蒙特卡洛模拟方法为我国权证定价
权证是一种合同，权证投资者在约定时间内有权按约定价格向发行人购入或者出售合同规定的标的证券。
权证发行人可以是标的证券的发行人或其之外的第三方。
权证主要具有价格发现和风险管理的功能，它是一种有效的风险管理和资源配置工具。
现选取我国认股权证中的五粮YGC1、马钢CWB1、伊利CWB1为例，以2006年的价格作为样本区间模拟认股权证的价值，并将这些权证的蒙特卡洛模拟价值和由wind数据库给出的理论值进行比较。
本例采用一年期短期利率2.52%作为无风险利率，用这些权证的正股股票价格序列来计算波动率。
现实中用等时间间隔观测股票价格序列，股票投资的连续复利收益率，（），则的样本标准差。
如果用日数据计算波动率，则年度波动率按下式计算：
年度波动率＝日波动率*（每年的交易日数）1/2
将时间区间取为2006年12月1日－2006年12月29日，则由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes模型的精确值和市场价格比较的结果如下：
蒙特卡洛方法对五粮YGC1认股权证的模拟（）
蒙特卡洛方法对马钢CWB1认股权证的模拟（）
蒙特卡洛方法对伊利CWB1认股权证的模拟（）
从表可看出，由蒙特卡洛方法模拟的认购权证价格的模拟值比由Black-Scholes公式计算的理论值更接近实际值。
为了更直观的比较，由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes模型的精确值和市场价格比较的结果如下图。
其中SJ代表实际值，MC代表蒙特卡洛方法求得的模拟值，BS代表由Black-Scholes公式计算出的理论值。
五粮YGC1价格模拟比较图
马钢CWB1价格模拟比较图
伊利CWB1价格模拟比较图
从图中明显看出，五粮YGC1和伊利CWB1的模拟结果比较好，蒙特卡洛模拟值和Black-Scholes模型的理论值均与实际值吻合；而马钢CWB1的实证结果不理想，但是三种结果的走势图有共同的趋势。
从比较分析中发现蒙特卡洛方法模拟的价格比Black-Scholes模型更接近实际价格。
对于这些认股权证价格的模拟结果的好坏，受诸多因素影响，主要与选取的波动率和中国权证市场的发展特点有关等等。
◆隐含波动率及其数值计算方法
隐含波动率是一个在市场上无法观察到的波动率，是通过Black-Scholes期权定价公式计算出来的波动率。
由于我们无法给出它的解析解，因此，只能借助于数值计算给出近似解。
下面介绍牛顿迭代法计算隐含波动率。
牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域上近似求解方程根的方法。
步骤1.将函数在点附近展开成泰勒级数
步骤2.取泰勒级数的前两项作为
假设，求解方程，并令其解为，得，这样得到迭代公式，经过n次迭代后，可以求出的近似解。
根据牛顿迭代法，隐含波动率的计算步骤如下：
1.假设其他变量保持不变，认为函数
是隐含波动率的一元函数，其中的是市场上观察到的期权价格。
2.求函数的导数
3.由迭代公式计算波动率，直至
（是期望达到的精度）。
此外，为了计算隐含波动率，经济学家和理财专家曾做过种种努力试图寻找一个计算波动率的公式。
如Brenner和Subrahmanyam于1988年，Chance于1993年分别提出计算隐含波动率的公式，虽然这些公式对于持有平价期权的波动率的计算还算准确，但是基础资产的价格一旦偏离期权的执行价格的现值，其准确性就会丧失。
1996年，Corrado和Miller在前人研究的基础上建立了如下公式，大大提高了隐含波动率的计算的准确性：
§5.服从跳扩散过程的无形资产期权定价问题及其蒙特卡洛模拟分析
◆服从跳扩散过程的期权定价方法
正常的波动用几何布朗运动（Brown）来描述—由供需不平衡、利率变动或整个经济的波动等因素引起的。
不正常的波动用泊松过程（Poisson）来描述—由未预料到的重要信息的出现引起的。
这些信息在不连续的时间点出现，而且出现的时间点不确定，是否会出现也不确定。
带跳跃项的伊藤Ito公式：
设，是二元可微函数，若随机过程服从随机微分方程
其中，是标准维纳过程，表示不可预测的跳跃，且。
则带跳跃项的伊藤Ito公式为
其中，。
上式是对跳跃项作如下假定得出的：
1、在两个跳跃之间保持不变，而在跳跃时间是离散和随机的；
2、有种跳跃类型，跳跃尺度为，跳跃尺度为的概率为，跳跃的发生强度依赖于的最终观测值，跳跃类型和尺度都是独立随机的。
则在时间区间内，增量为
这里表示的是至时间发生的跳跃大小的总和，表示跳跃发生的概率，为跳跃的期望值，则是不可预测的。
漂移参数可看作两个漂移的和
这里表示中连续运动的维纳过程部分，第二项为纯跳跃部分。
将Poisson过程引入到期权定价模型中，得到标的资产价格价格的跳扩散方程如下
其中，，标的资产价格的变化比率为，，且与相互独立。
令，根据带跳跃项的伊藤公式可得其微分形式为
整理上式，得到标的资产价格公式为
在标的资产价格遵循跳扩散过程的假设下，根据上述带跳伊藤公式可得期权价值的微分形式如下
构造期权与标的资产的无套利资产组合，其微分形式为
则该无套利资产组合微分形式的期望如下式
由于资产组合为无风险组合，因此有如下等式成立
两式联立并化简得到标的资产价格遵从跳扩散过程的定价公式如下：
若没有发生跳跃事件，则，将其代入上式所得结果与Black-Scholes微分方程完全一致。
当期权分别为欧式看涨、欧式看跌、美式看涨和美式看跌期权时，其边界条件和终值条件与本章第一节的终边值条件相同。
Merton假设标的资产价格跳跃高度服从，从而推导出欧式看涨期权的定价公式为：
其中，，。
另外，Harworth假设跳跃高度服从对数正态分布，则欧式看涨期权的解析解为
其中，，，
。
例2.标的资产价格遵从跳扩散过程如下
用蒙特卡洛模拟的资产价格路径如下图所示：
◆无形资产——专利池的期权定价模问题
专利池的市场价值V依赖于企业使用专利池技术前后生产产品所获得的收益S和成本C及时间t，这三个变量均可用跳扩散模型：
通过构造由V和它所依赖的两个变量S、C组成的资产组合，利用带跳的伊藤引理获得V与S、C所遵循的带跳的随机微分方程，并根据实际情况在一些假设条件下给出该方程的终边值条件，最终获得V的求解公式。
构造无风险资产组合
一方面的微分的期望为：
另一方面，
新产品发明专利池的市场价值V所遵循的方程为
期权的价格公式：
20世纪90年代初,由高分子工程材料的某高校、研究所、设计院和高新技术企业等经过两年的开发研究，研制出新型建材——铝塑复合管全套生产工艺，该技术已获多项国家发明专利，且己具备成套设备生产供应能力。
当时，该技术在国内只此一项，属新产品发明专利池技术。
且其专利技术使用寿命长达50年以上，受专利保护20年。
但该技术在国外存在多家供方，不同供方在核心技术内容、原理、流程上基本一致，同时也不排除在一段时间后出现其他更好技术的可能性，一方面时间越长，这种可能性越大。
另一方面该技术使用寿命越长，这种可能性越小（l=l（t））。
并且,其他同类技术的出现使该专利池技术的收益下降,下降幅度为LnY。
因为设备的经济使用寿命是20年,根据市场需求,计划建成一条年生产100吨的生产线,其20年的成本,包括设备的直接制造成本和运营期间的管理费、工资等。
若在期初计划投资1000万,以后20年每年的生产量不变,生产成本按每年的通货胀率10%递增。
假设在初期预计该项技术20年总收益为4000万,其收益率为25%,方差为20%。
新产品发明专利池的市场价值V=8050
●在一次付清许可费用情况下的价格模型：
新产品发明专利池的价格P所遵循的方程为：
在一次付清许可费用情况下的新产品发明专利池的价格为：
在一次付清许可费用情况下新产品发明专利池的价格P=5450。
●在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情况下的价格模型
新产品发明专利池技术产生的收益S遵循模型
引进新产品发明专利池技术后的成本C遵循模型
构造无风险资产组合
一方面的微分的期望为
新产品发明专利池的价格P所遵循的方程为：
另一方面，的微分及其期望为:
新产品发明专利池的价格P所遵循的方程为：
期权的价格公式：
在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情况下新产品发明专利池的价格P=855。
§6.最小二乘蒙特卡洛模拟与美式期权定价
运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法为美式期权定价的基本原理与蒙特卡洛模拟方法基本相同，并且用最小二乘回归同时还可解决各样本时点上继续持有期权价值的确定和各样本路径的最优停时的确定。
其基本思路是：
在期权的有效期内，将其标的资产价格过程离散化，随机模拟出标的资产价格的多条样本路径，从而得到每个时刻资产价格的截面数据。
选取以某时刻资产价格为变量的一组基函数作为解释变量，下一时刻期权价值的贴现值作为被解释变量，进行最小二乘法回归求得该时刻期权的持有价值，并与该时刻期权的内在价值作比较，若后者较大，则应该立即执行期权，否则，就应继续持有期权。
最小二乘蒙特卡洛模拟方法定价的基本实现步骤：
首先，随机生成标的资产价格的多条样本路径；然后，从到期时刻逆向求解，比较期权的内在价值与持有价值，确定出各时刻期权价值和每条样本路径的最优停时；最后，将所有样本的的期权价值求取按无风险利率贴现的算数平均值便是模拟的期权价值。
下面，我们运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法对单个标的资产的美式看跌期权进行定价，其算法实现步骤如下：
第一步：
随机生成标的资产价格过程的多条样本路径
现设一单个标的资产美式看跌期权的持有到期日为，期权的执行时刻为，，标的资产价格为，期权的执行价格为。
在风险中性条件下，该期权的初始时刻价值为：
其中，为标的资产价格的路径，是在最优执行时刻的期权价值。
上式定义的便是将要运用最小二乘蒙特卡洛方法进行模拟的期权价值。
将期权的存续区间均分为个子区间，则每个子区间的长度为，标的资产价格过程的离散形式：
其中，，随机变量服从标准正态分布。
因此，利用生成随机数模拟得到标的资产价格的一条样本路径，重复执行次模拟，我们可得到资产价格的总样本。
第二步：
计算各个样本的最优停时及各时刻的期权价值
对于美式看跌期权，在期权的有效时刻，样本路径上的内在价值为，持有价值为。
由于美式期权在有效期的任何时候都可行权，所以必须比较该时刻期权的内在价值与持有价值的大小，以确定该时刻的期权价值以及是否执行期权，即
由期权的持有价值表达式可知它依赖于下一步期权决策的价值，需通过逆向求解这个期望价值，这正是普通的蒙特卡洛模拟法为美式期权定价的难点所在。
最小二乘蒙特卡洛模拟方法通过建立一个当前时刻标的资产价格与下一时刻期权价值贴现值的线性回归计量模型：
上述模型以所有样本路径在时刻的价格和作为解释变量，对应的下一时刻期权价值的现值作为被解释变量。
采用普通最小二乘法进行回归，求得回归系数的估计值和样本回归方程；再将各个资产价格样本代入到回归方程分别可以得到其期权的持有价值估计值，
根据计量经济学的理论，这个估计值就是在标的资产价格下的期权持有价值的无偏估计值。
另外，本例中选取基函数作为解释变量，根据实际情况中也可以选取其他形式的基函数：
。
作为解释变量。
现在，我们从到期日开始倒推计算求解每条样本路径上的最优停时和每个样本点的期权价值。
在到期日，执行看跌期权的价值为。
接着，判断在时刻是否行权。
若期权处于实值状态，即，则与继续持有期权的价值相比较，若内在价值大于持有价值，则应立即执行期权；否则，继续持有期权。
考虑在该时刻期权处于实值的样本子集，近似期权持有价值的回归方程为：
其中，，是时刻所有期权处于实值状态的标的资产价格样本集。
在时刻的资产价格信息下，比较内在价值与继续持有期权的价值就可做出是否执行期权的决策。
同理，我们可倒推继续求得时刻的期权持有价值。
对于每条样本路径，期权或是在最优停时执行，或是永不执行。
具体设计程序时，令初值，在时刻，如果继续持有期权，则不变；如果执行期权，则，依此类推。
每个样本上就只有一个最优停时，每次更新，最后便求得每条样本路径上的最优停时。
第三步：
对各条样本路径上的期权价值按无风险利率贴现并求其均值
经过次模拟后，得到条标的资产价格的样本路径，以及每条样本路径上的最优停时和在该时刻的期权价值：
由于每条样本路径上的最优执行时间不同，期权价值的贴现因子也不同，所以应分别进行贴现求均值，最终得到初始时刻期权价值的最小二乘蒙特卡洛模拟值：
例3：
已知股票价格为50，美式看跌期权执行价为50到期日为5个月，股票年收益率的标准差为0.4，无风险利率为10%，用最小二乘蒙特卡洛模拟其价格。
编制最小二乘蒙特卡洛模拟的MATLAB程序如下：
functionprice=AmericanOptLSM（S0,K,r,T,sigma,N,M）
dt=T/N;
R=exp（（r-sigma^2/2）*dt+sigma*sqrt（dt）*randn（N,M））;
S=cumprod（[S0*ones（1,M）;R]）;
ExTime=N*ones（M,1）;
CF=zeros（size（S））;
CF（end,:
）=max（K-S（end,:
）,0）;
forii=N:
-1:
2
Idx=find（S（ii,:
）X=S（ii,Idx）';X1=X/S0;
Y=CF（ii+1,Idx）'*exp（-r*dt）;
R=[ones（size（X1））（1-X1）1/2*（2-4*X1+X1.^2）];
a=R\Y;
C=R*a;
Jdx=max（K-X,0）>C;
nIdx=setdiff（（1:
M）,Idx（Jdx））;
CF（ii,Idx（Jdx））=max（K-X（Jdx）',0）;
ExTime（Idx（Jdx））=ii;
CF（ii,nIdx）=exp（-r*dt）*CF（ii+1,nIdx）;
end
Price=mean（CF（2,:
））*exp（-r*dt）
%%%%%绘制标的股票价格模拟图%%%%%
x1=[0:
N];y1=S';y2=mean（S'）;
subplot（2,1,1）
plot（x1,y1）
subplot（2,1,2）
plot（x1,y2）
xlabel（'期权存续期间'）
ylabel（'股价的模拟路径'）
%%%%%绘制期权价值模拟图%%%%%
figure;
x2=[1:
N];y3=CF（2:
end,:
）';
fori=1:
M
y4（i）=y3（i,ExTime（i））;
end
plot（x2,y3,ExTime,y4,'*'）
xlabel（'期权的最优停止时间'）
ylabel（'期权价值的模拟路径'）
模拟的美式看跌期权的价格路径如下图所示：
模拟的期权价值路径及其最优停时如下图：
本例中的美式看跌期权价格为：
price=AmericanOptLSM（50,50,0.1,5/12,0.4,50,100000）
Price=4.2654
§7.改进蒙特卡洛方法计算效率的常用几种方差减少技术
方差减少技术的共性是利用模型特点，调整或修正模拟的输出变量，从而降低估计值的方差。
在采用方差减少技术时，要具体问题具体分析，针对不同期权类型的特点应用相关的方差减少技术，从而取得效率的最大改进。
◆对偶变量（Antitheticvariates）技术
对偶变量技术是最简单和最常用的方差减少技术。
以标准欧式看涨期权为例，其标准蒙特卡洛估计值为
标的股票的股价终值抽样为
由概率论的知识可知也是标准正态分布中相互独立的抽样值，那么用代替得到的也是股票价格终值的抽样，从而由的平均值也能得到期权价格的无偏估计量。
因此，由对偶变量技术得到的期权价格蒙特卡洛估计值为。
对偶变量技术的有效性：
由于，所以
；并且，令，对于标准欧式看涨期权，是单调递增函数。
由不等式，可知，从而，对偶
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