12.在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，·＝3，·＝2，则|＋2|的最小值为 .
13.在平面直角坐标系xOy中，圆O：
x2＋y2＝1，圆C：
（x－4）2＋y2＝4.若存在过点P（m，0）的直线l，直线l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围是 .
14.已知函数f（x）＝（2x＋a）（|x－a|＋|x＋2a|）（a<0）.若f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋…＋f（672）＝0，则满足f（x）＝2019的x的值为 .
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点.已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.求证：
（1）MN∥平面PBC；
（2）MD⊥平面PAB.
16.（本小题满分14分）
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，acosB＝bcosA，cosA＝.
（1）求角B的值；
（2）若a＝，求△ABC的面积.
17.（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1（a>b>0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B.
（1）已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；
（2）已知△ABF的外接圆的圆心在直线y＝－x上，求椭圆的离心率e的值.
18.（本小题满分16分）
如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为2m和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，∠COD＝.
（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；
（2）现欲以点B为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示.设BC与地面水平线l所成的角为θ.记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值.
19.（本小题满分16分）
已知函数f（x）＝＋lnx（a∈R）.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若函数f（x）有两个不相同的零点x1，x2.
①求实数a的取值范围；
②证明：
x1f′（x1）＋x2f′（x2）>2lna＋2.
20.（本小题满分16分）
已知等差数列{an}满足a4＝4，前8项和S8＝36.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足（bka2n＋1－2k）＋2an＝3（2n－1）（n∈N*）.
①证明：
{bn}为等比数列；
②求集合.
2019届高三年级第一次模拟考试
数学附加题
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-2：
矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵M＝，N＝，且（MN）－1＝，求矩阵M.
[选修4-4：
坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin＝.求：
（1）直线l的直角坐标方程；
（2）直线l被曲线C截得的线段长.
C.[选修4-5：
不等式选讲]（本小题满分10分）
已知实数a，b，c满足a2＋b2＋c2≤1，求证：
＋＋≥
.
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.（本小题满分10分）
“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等.显然2位“回文数”共9个：
11，22，33，…，99.现从9个不同的2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同的2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y.
（1）求X为“回文数”的概率；
（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E（ξ）.
23.（本小题满分10分）
设集合B是集合An＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n}，n∈N*的子集.记集合B中所有元素的和为S（规定：
集合B为空集时，S＝0）.若S为3的整数倍，则称B为An的“和谐子集”.求：
（1）集合A1的“和谐子集”的个数；
（2）集合An的“和谐子集”的个数.
2019届高三年级第一次模拟考试（南通）
数学参考答案
1.{0，1，3} 2. 3.3 4.7 5. 6.54
7.－6 8.2 9.4 10.3 11.2 12.2
13. 14.337
15.
（1）在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，
所以MN∥AD.（2分）
又底面ABCD是矩形，
所以BC∥AD.
所以MN∥BC.（4分）
又BC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，
所以MN∥平面PBC.（6分）
（2）因为底面ABCD是矩形，
所以AB⊥AD.
又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，
所以AB⊥侧面PAD.（8分）
又MD⊂侧面PAD，
所以AB⊥MD.（10分）
因为DA＝DP，又M为AP的中点，
从而MD⊥PA.（12分）
又PA，AB在平面PAB内，PA∩AB＝A，
所以MD⊥平面PAB.（14分）
16.
（1）在△ABC中，因为cosA＝，0所以sinA＝＝.（2分）
因为acosB＝bcosA，
由正弦定理＝，得sinAcosB＝sinBcosA.
所以cosB＝sinB.（4分）
若cosB＝0，则sinB＝0，与sin2B＋cos2B＝1矛盾，故cosB≠0.
于是tanB＝＝1.
又因为0所以B＝.（7分）
（2）因为a＝，sinA＝，
由
（1）及正弦定理＝，得＝，
所以b＝.（9分）
又sinC＝sin（π－A－B）
＝sin（A＋B）
＝sinAcosB＋cosAsinB
＝×＋×
＝.（12分）
所以△ABC的面积为S＝absinC＝×××＝.（14分）
17.
（1）因为椭圆＋＝1（a>b>0）的离心率为，
所以＝，则a＝2c.
因为线段AF中点的横坐标为，
所以＝.
所以c＝，则a2＝8，b2＝a2－c2＝6.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.（4分）
（2）因为点A（a，0），点F（－c，0），
所以线段AF的中垂线方程为x＝.
又因为△ABF的外接圆的圆心C在直线y＝－x上，
所以点C.（6分）
因为点A（a，0），点B（0，b），
所以线段AB的中垂线方程为：
y－＝.
由点C在线段AB的中垂线上，得－－＝，
整理得，b（a－c）＋b2＝ac，（10分）
即（b－c）（a＋b）＝0.
因为a＋b>0，所以b＝c.（12分）
所以椭圆的离心率e＝＝＝.（14分）
18.
（1）如图1，过点O作与地面垂直的直线交AB，CD于点O1，O2，交劣弧CD于点P，O1P的长即为拱门最高点到地面的距离.
在Rt△O2OC中，∠O2OC＝，CO2＝，
所以OO2＝1，圆的半径R＝OC＝2.
所以O1P＝R＋OO1＝R＋O1O2－OO2＝5.
故拱门最高点到地面的距离为5m.（4分）
（2）在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P.
当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和；
当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离.
由
（1）知，在Rt△OO1B中，OB＝＝2.
以B为坐标原点，地面所在的直线为x轴，建立如图2所示的坐标系.
①当点P在劣弧CD上时，<θ≤.
由∠OBx＝θ＋，OB＝2，
由三角函数定义，
得点O，
则h＝2＋2sin.（8分）
所以当θ＋＝即θ＝时，h取得最大值2＋2.（10分）
②如图3，当点P在线段AD上时，0≤θ≤.
设∠CBD＝φ，在Rt△BCD中，
DB＝＝2，
sinφ＝＝，cosφ＝＝.
由∠DBx＝θ＋φ，得点D（2cos（θ＋φ），2sin（θ＋φ））.
所以h＝2sin（θ＋φ）＝4sinθ＋2cosθ.（14分）
又当0<θ<时，h′＝4cosθ－2sinθ>4cos－2sin＝>0.
所以h＝4sinθ＋2cosθ在上递增.
所以当θ＝时，h取得最大值5.
因为2＋2>5，所以h的最大值为2＋2.
故h＝
艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（2＋2）m.（16分）
19.
（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f′（x）＝.
①当a≤0时，f′（x）>0成立，
所以函数f（x）在（0，＋∞）为增函数；（2分）
②当a>0时，
（ⅰ）当x>a时，f′（x）>0，所以函数f（x）在（a，＋∞）上为增函数；
（ⅱ）当0（2）①由
（1）知，当a≤0时，函数f（x）至多一个零点，不合题意；
当a>0时，f（x）的最小值为f（a），
依题意知f（a）＝1＋lna<0，解得0一方面，由于1>a，f
（1）＝a>0，函数f（x）在（a，＋∞）为增函数，且函数f（x）的图象在（a，1）上不间断.
所以函数f（x）在（a，＋∞）上有唯一的一个零点.
另一方面，因为0f（a2）＝＋lna2＝＋2lna，令g（a）＝＋2lna，
当0所以f（a2）＝g（a）＝＋2lna>g＝e－2>0.
又f（a）<0，函数f（x）在（0，a）为减函数，且函数f（x）的图象在（a2，a）上不间断，
所以函数f（x）在（0，a）有唯一的一个零点.
综上，实数a的取值范围是.（10分）
②设p＝x1f′（x1）＋x2f′（x2）＝1－＋1－＝2－.
又则p＝2＋ln（x1x2）.（12分）
下面证明x1x2>a2.
不妨设x1要证x1x2>a2，即证x1>.
因为x1，∈（0，a），函数f（x）在（0，a）上为减函数，
所以只要证f>f（x1）.
又f（x1）＝f（x2）＝0，即证f>f（x2）.（14分）
设函数F（x）＝f－f（x）＝－－2lnx＋2lna（x>a）.
所以F′（x）＝>0，
所以函数F（x）在（a，＋∞）上为增函数.
所以F（x2）>F（a）＝0，
所以f>f（x2）成立.
从而x1x2>a2成立.
所以p＝2＋ln（x1x2）>2lna＋2，即x1f′（x1）＋x2f′（x2）>2lna＋2成立.（16分）
20.
（1）设等差数列{an}的公差为d.
因为等差数列{an}满足a4＝4，前8项和S8＝36，
所以解得
所以数列{an}的通项公式为an＝n.（3分）
（2）①设数列{bn}的前n项和为Bn.
由③－④得
3（2n－1）－3（2n－1－1）＝（b1a2n－1＋b2a2n－3＋…＋bn－1a3＋bna1＋2n）－（b1a2n－3＋b2a2n－5＋…＋bn－1a1＋2n－2）＝[b1（a2n－3＋2）＋b2（a2n－5＋2）＋…＋bn－1（a1＋2）＋bna1＋2n]－（b1a2n－3＋b2a2n－5＋…＋bn－1a1＋2n－2）＝2（b1＋b2＋…＋bn－1）＋bn＋2＝2（Bn－bn）＋bn＋2.
所以3·2n－1＝2Bn－bn＋2（n≥2，n∈N*），
又3（21－1）＝b1a1＋2，所以b1＝1，满足上式.
所以2Bn－bn＋2＝3·2n－1（n∈N*），⑤
（6分）
当n≥2时，2Bn－1－bn－1＋2＝3·2n－2，⑥
由⑤－⑥得，bn＋bn－1＝3·2n－2.（8分）
bn－2n－1＝－（bn－1－2n－2）＝…＝（－1）n－1（b1－20）＝0，
所以bn＝2n－1，＝2，
所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.（10分）
②由＝，得＝，即2p－m＝.
记cn＝，由①得，cn＝＝，
所以＝≤1，所以cn≥cn＋1（当且仅当n＝1时等号成立）.
由＝，得cm＝3cp>cp，
所以m设t＝p－m（m，p，t∈N*），
由2p－m＝，得m＝.
当t＝1时，m＝－3，不合题意；
当t＝2时，m＝6，此时p＝8符合题意；
当t＝3时，m＝，不合题意；
当t＝4时，m＝<1，不合题意.
下面证明当t≥4，t∈N*时，m＝<1.
不妨设f（x）＝2x－3x－3（x≥4），
则f′（x）＝2xln2－3>0，
所以函数f（x）在[4，＋∞）上是单调增函数，
所以f（x）≥f（4）＝1>0，
所以当t≥4，t∈N*时，m＝<1，不合题意.
综上，所求集合{（m，p）|＝，m，p∈N*}＝{（6，8）}.（16分）
21.A.由题意知（MN）－1＝，
则MN＝.（4分）
因为N＝，则N－1＝.（6分）
所以矩阵M＝＝.（10分）
B.
（1）直线l的极坐标方程可化为ρ（sinθcos－cosθsin）＝，即ρsinθ－ρcosθ＝2.
又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.（4分）
（2）曲线C（t为参数）的普通方程为x2＝y.
由得x2－x－2＝0，
所以直线l与曲线C的交点A（－1，1），B（2，4）.（8分）
所以直线l被曲线C截得的线段长为AB＝＝3.（10分）
C.由柯西不等式，得
[（a2＋1）＋（b2＋1）＋（c2＋1）]（＋＋）≥（＋＋）2＝9，（5分）
所以＋＋≥≥＝.（10分）
22.
（1）记“X是‘回文数’”为事件A.
9个不同的2位“回文数”乘以4的值依次为44，88，132，176，220，264，308，352，396，其中“回文数”有44，88.
所以事件A的概率P（A）＝.（3分）
（2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2.
由
（1）得P（A）＝.（5分）
设“Y是‘回文数’”为事件B，则事件A，B相互独立.
根据已知条件得，P（B）＝＝.
P（ξ＝0）＝P（A）P（B）＝（1－）×（1－）＝；
P（ξ＝1）＝P（A）P（B）＋P（A）P（B）＝（1－）×＋×＝；
P（ξ＝2）＝P（A）P（B）＝×＝（8分）
所以，随机变量ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
P
所以随机变量ξ的数学期望为E（ξ）＝0×＋1×＋2×＝.（10分）
23.
（1）集合A1＝{1，2，3}的子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，
其中所有元素和为3的整数倍的集合有∅，{3}，{1，2}，{1，2，3}，
所以A1的“和谐子集”的个数等于4.（3分）
（2）记An的“和谐子集”的个数等于an，即An有an个所有元素和为3的整数倍的子集；
另记An有bn个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有cn个所有元素和为3的整数倍余2的子集.
由
（1）知，a1＝4，b1＝2，c1＝2.
集合An＋1＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n，3n＋1，3n＋2，3（n＋1）}的“和谐子集”有以下四类（考察新增元素3n＋1，3n＋2，3（n＋1））：
第一类：
集合An＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n}的“和谐子集”，共an个；
第二类：
仅含一个元素3（n＋1）的“和谐子集”，共an个；
同时含两个元素3n＋1，3n＋2的“和谐子集”，共an个；
同时含三个元素3n＋1，3n＋2，3（n＋1）的“和谐子集”，共an个；
第三类：
仅含一个元素3n＋1的“和谐子集”，共cn个；
同时含两个元素3n＋1，3（n＋1）的“和谐子集”，共cn个；
第四类：
仅含一个元素3n＋2的“和谐子集”，共bn个；
同时含有两个元素3n＋2，3（n＋1）的“和谐子集”，共bn个，
所以集合An＋1的“和谐子集”共有an＋1＝4an＋2bn＋2cn个.
同理得bn＋1＝4bn＋2cn＋2an，cn＋1＝4cn＋2an＋2bn.（7分）
所以an＋1－bn＋1＝2（an－bn），a1－b1＝2，
所以数列{an－bn}是以2为首项，2为公比的等比数列.
所以an－bn＝2n.同理得an－cn＝2n.
又an＋bn＋cn＝23n，所以an＝×2n＋
×23n（n∈N*）.（10分）
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