北师大版数学高二选修45学案 绝对值不等式.docx

北师大版数学高二选修45学案 绝对值不等式.docx

《北师大版数学高二选修45学案 绝对值不等式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版数学高二选修45学案 绝对值不等式.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

北师大版数学高二选修45学案绝对值不等式

§2　含有绝对值的不等式

2.1　绝对值不等式

1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明绝对值不等式的性质定理．（重点）

2．会利用绝对值不等式的性质定理证明简单的不等式．（难点）

[基础·初探]

教材整理1　绝对值的几何意义

阅读教材P6“思考交流”以上部分，完成下列问题．

1．|a|表示在数轴上实数a对应的点与原点O的距离．

2．|x－a|的几何意义是实数x对应的点与实数a对应的点之间的距离．

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）由|x＋2|＝0可得x＋2＝0即x＝－2.（　　）

（2）因为|a|>|b|，所以a>b.（　　）

（3）|a－b|的几何意义是数轴上实数a，b对应的两点之间的距离．（　　）

【答案】　

（1）√　

（2）×　（3）√

教材整理2　定理

阅读教材P6～P7，完成下列问题．

对任意实数a和b，有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

推论：

如果a，b，c是实数，那么|a－b|≤|a－c|＋|c－b|，当且仅当（a－c）（c－b）≥0时，等号成立．

填空（填“>，<，≥，≤”）：

（1）|a|－|b|________|a－b|；

（2）|a－b|________|a|＋|b|；

（3）若|a|<

，|b|<

，则|a＋b|________ε.

【解析】　

（1）由|a＋b|≤|a|＋|b|，得|a|＝|（a－b）＋b|≤|a－b|＋|b|，

∴|a|－|b|≤|a－b|，故应填≤.

（2）由|a＋b|≤|a|＋|b|，得|a－b|＝|a＋（－b）|≤|a|＋|－b|＝|a|＋|b|，

故应填≤.

（3）∵|a|<

，|b|<

，

∴|a＋b|≤|a|＋|b|<

＋

＝ε，故应填<.

【答案】　

（1）≤　

（2）≤　（3）<

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

绝对值不等式的性质定理的应用

　已知|a|≠|b|，m＝

，n＝

，则m，n之间的大小关系是________．

【精彩点拨】　易判定m，n与1的大小关系．

【自主解答】　因为|a|－|b|≤|a－b|，

所以

≤1，

即m≤1.

又因为|a＋b|≤|a|＋|b|，

所以

≥1，

即n≥1，所以m≤1≤n.

【答案】　m≤n

1．本题求解的关键在于|a|－|b|≤|a－b|与|a＋b|≤|a|＋|b|的理解和应用．

2．在定理中，以－b代b，得|a－b|≤|a|＋|b|；以a－b代替实数a，可得到|a|－|b|≤|a－b|.

[再练一题]

1．已知实数a，b，c满足|a－c|＜|b|，则下列不等式成立的是（　　）

【导学号：

94910004】

A．a＜b＋cB．|a|＞|b|－|c|

C．a＜c－bD．|a|＜|b|＋|c|

【解析】　∵|a－c|≥|a|－|c|且|a－c|＜|b|，

∴|a|－|c|≤|a－c|＜|b|，

∴|a|＜|b|＋|c|.

【答案】　D

利用定理证明绝对值不等式

　已知|x－a|<

，|y－b|<

，y∈（0，M），求证：

|xy－ab|<ε.

【精彩点拨】　本题考查定理在证明和差的绝对值构成的不等式中的应用，解答此题需要通过变形用上定理将|xy－ab|用|x－a|及|y－b|表示即可证明．

【自主解答】　因为y∈（0，M），所以|y|＝y

所以|xy－ab|＝|xy－ya＋ya－ab|

＝|y（x－a）＋a（y－b）|≤|y|·|x－a|＋|a|·|y－b|

＋|a|·

＝

＋

＝ε，

所以不等式成立．

利用定理证明含有和差的绝对值不等式或绝对值的和差的不等式的关键是将待证不等式中一端通过适当的添项和减项正用（或逆用）定理求证.

[再练一题]

2．已知|x|＜

，|y|＜

，求证：

|2x－3y|＜a.

【证明】　∵|x|＜

，|y|＜

，

∴|2x|＜

，|3y|＜

，

∴|2x－3y|≤|2x|＋|3y|＜

＋

＝a.

故原不等式成立．

[探究共研型]

运用绝对值不等式求最值与范围.

探究1　|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？

【提示】　|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.

探究2　不等式|x－3|<2的意义是什么？

函数f（x）＝|x－3|＋|x＋1|的函数值表示什么意义？

【提示】　根据绝对值的意义，不等式|x－3|<2的意义是数轴上到实数3对应的点的距离小于2的总的集合．函数f（x）＝|x－3|＋|x＋1|中函数值是指数轴上到实数3对应的点的距离和到实数－1对应的点的距离之和．

探究3　能从图象角度理解f（x）＝|x－1|＋|x＋2|只有最小值没有最大值吗？

【提示】　f（x）＝|x－1|＋|x＋2|＝

其图象如图，

由图可知，该函数只有最小值3，没有最大值．

　对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋|x＋2|≥m恒成立的m的取值范围．

【精彩点拨】　只需求|x＋1|＋|x＋2|的最小值不小于m即可，可利用绝对值的性质求解．

【自主解答】　对任意x∈R，|x＋1|＋|x＋2|≥|（x＋1）－（x＋2）|＝1，

∴|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1.

∴当m≤1时，|x＋1|＋|x＋2|≥m恒成立．

本题也可利用绝对值的几何意义或函数的性质求解.|x－m|表示数轴上表示实数x的点到表示实数m的点间的距离.对于含有两个绝对值以上的代数式，通常利用分段讨论的方法去掉绝对值转化为分段函数，进而利用分段函数的性质解决相应问题.

[再练一题]

3．设函数f（x）＝|x＋2|－|x－2|.

（1）解不等式f（x）≥2；

（2）若不等式|x＋2|－|x－2|<|m－2|恒成立，求参数m的取值范围．

【解】　f（x）＝

作出图象：

（1）由图象可知不等式f（x）≥2的解集为{x|x≥1}．

（2）由图象可知函数f（x）的最大值是4.

∴不等式|x＋2|－|x－2|<|m－2|恒成立只需|m－2|>4，

∴m>6或m<－2.

综上可知，m的取值范围是（－∞，－2）∪（6，＋∞）．

[构建·体系]

1．若|a＋b|＝|a|＋|b|成立，a，b∈R，则有（　　）

A．ab＜0　　　B．ab＞0

C．ab≥0D．以上都不对

【答案】　C

2．若a，b∈R，则使|a|＋|b|＞1成立的充分不必要条件是（　　）

A．|a|≥

且|b|≥

B．|a＋b|≥1

C．|a|≥1D．b＜－1

【解析】　当b＜－1时，|b|＞1，

∴|a|＋|b|＞1.

但|a|＋|b|＞1

b＜－1（如a＝2，b＝0），

∴“b＜－1”是|a|＋|b|＞1的充分不必要条件．

【答案】　D

3．已知四个命题：

①a＞b⇒|a|＞b；②a＞b⇒a2＞b2；③|a|＞b⇒a＞b；④a＞|b|⇒a＞b.其中正确的命题是________．

【解析】　当a＞b时，|a|≥a＞b，①正确；

又当a＞|b|时，有a＞|b|≥b，④正确．

【答案】　①④

4．|x＋1|＋|2－x|的最小值是________.

【导学号：

94910005】

【解析】　∵|x＋1|＋|2－x|≥|（x＋1）＋（2－x）|＝3，

当且仅当（x＋1）（2－x）≥0，

即－1≤x≤2时，取等号，

因此|x＋1|＋|2－x|的最小值为3.

【答案】　3

5．设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|＞m时，求证：

＜2.

【证明】　依题意m≥|a|，m≥|b|，m≥1，

又|x|＞m，

∴|x|＞|a|，|x|＞|b|，|x|＞1，

从而|x|2＞|b|.

因此

≤

＋

＝

＋

＜

＋

＝2.

故原不等式成立．

我还有这些不足：

（1）　

（2）　

我的课下提升方案：

（1）　

（2）　

学业分层测评

（二）

（建议用时：

45分钟）

[学业达标]

一、选择题

1．若|x－a|

A．|x－y|<2mB．|x－y|<2n

C．|x－y|

【解析】　|x－y|＝|（x－a）－（y－a）|≤|x－a|＋|y－a|＝m＋n，故选D.

【答案】　D

2．已知实数a，b满足ab＜0，那么有（　　）

A．|a－b|＜|a|＋|b|B．|a＋b|＞|a|－|b|

C．|a＋b|＜|a－b|D．|a－b|＜||a|－|b||

【解析】　∵ab＜0，∴|a－b|＞|a＋b|成立，

|a－b|＝|a|＋|b|，|a＋b|≥|a|－|b|也成立．

【答案】　C

3．不等式

≤1成立的条件是（　　）

A．ab≠0B．a2＋b2≠0

C．ab≥0D．ab≤0

【解析】　∵|a＋b|≤|a|＋|b|，当|a|＋|b|≠0时，

≤1（*）．因此（*）成立的条件是a≠0且b≠0，即a2＋b2≠0.

【答案】　B

4．已知a，b∈R，ab＞0，则下列不等式中不正确的是（　　）

A．|a＋b|≥a－bB．2

≤|a＋b|

C．|a＋b|＜|a|＋|b|D．|

＋

|≥2

【解析】　当ab＞0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，C错．

【答案】　C

5．以下三个命题：

①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；

②若|a－b|<1，则|a|<|b|＋1；

③若|x|<2，|y|>3，则

<

.

其中正确命题的个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

【解析】　对于①，

|a＋b|＝|（b－a）＋2a|≤|b－a|＋2|a|

＝|a－b|＋2|a|，

∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，故①正确；

对于②，1>|a－b|≥|a|－|b|，

∴|a|<|b|＋1，故②正确；

对于③，|y|>3，∴

<

，

又∵|x|<2，

∴

<

，∴

<

，故③正确．

故①②③均正确．故选D.

【答案】　D

二、填空题

6．设|a|＜1，|b|＜1（a，b∈R），则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是________.

【导学号：

94910006】

【解析】　当a＋b与a－b同号时，

|a＋b|＋|a－b|＝2|a|，

当a＋b与a－b异号时，|a＋b|＋|a－b|＝2|b|.

又|a|＜1，|b|＜1，

∴|a＋b|＋|a－b|＜2.

【答案】　|a＋b|＋|a－b|＜2

7．已知x，y，a∈R，且|x－y|

【解析】　|x－y|

∴|y|－|x|≤|y－x|

【答案】　|y|<|x|＋a

8．函数f（x）＝|x＋2|－|x－2|的最大值为______，最小值为________．

【解析】　||x＋2|－|x－2||≤|（x＋2）－（x－2）|＝4.

∴－4≤|x＋2|－|x－2|≤4.

∴ymax＝4，ymin＝－4.

【答案】　4　－4

三、解答题

9．已知f（x）＝|x－10|＋|x－20|（x∈R），求f（x）的最小值，并求当f（x）有最小值时，实数x的取值范围．

【解】　∵|x－10|＋|x－20|＝|x－10|＋|20－x|

≥|（x－10）＋（20－x）|＝10.

当且仅当（x－10）（20－x）≥0时取等号．

由（x－10）（20－x）≥0，得10≤x≤20.

因此f（x）的最小值为10，此时实数x的取值范围是[10,20]．

10．若f（x）＝x2－x＋c（c为常数），且|x－a|＜1，求证：

|f（x）－f（a）|＜2（|a|＋1）．

【证明】　|f（x）－f（a）|

＝|（x2－x＋c）－（a2－a＋c）|

＝|x2－x－a2＋a|＝|（x－a）（x＋a－1）|

＝|x－a|·|x＋a－1|＜|x＋a－1|

＝|（x－a）＋（2a－1）|≤|x－a|＋|2a－1|

≤|x－a|＋|2a|＋1＜1＋2|a|＋1

＝2（|a|＋1）．

故原不等式成立．

[能力提升]

1．“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”（x，y，a，m∈R）的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】　当|x－a|＜m，|y－a|＜m时，

∵|x－y|＝|（x－a）－（y－a）|

≤|x－a|＋|y－a|＜m＋m＝2m，

∴|x－a|＜m且|y－a|＜m是|x－y|＜2m的充分条件．

取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，则有

|x－y|＝2＜5＝2m，但|x－a|＝5，

不满足|x－a|＜m＝2.5，

故“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”的充分不必要条件．

【答案】　A

2．设a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4，则|a|＋|b|的最大值是（　　）

A．16B．17

C．18D．19

【解析】　|a＋b|＝|（a＋b＋1）－1|≤|a＋b＋1|＋|－1|≤1＋1＝2，

|a－b|＝|3（a＋b＋1）－2（a＋2b＋4）＋5|≤3|a＋b＋1|＋2|a＋2b＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16.

①当ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|≤2；

②当ab<0时，a（－b）>0，

|a|＋|b|＝|a|＋|－b|＝|a＋（－b）|＝|a－b|≤16.

总之，恒有|a|＋|b|≤16.

而a＝8，b＝－8时，满足|a＋b＋1|＝1，|a＋2b＋4|＝4，且|a|＋|b|＝16，因此|a|＋|b|的最大值为16.

【答案】　A

3．已知α，β是实数，给出三个论断：

①|α＋β|＝|α|＋|β|；

②|α＋β|＞5；

③|α|＞2

，|β|＞2

.

以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．

【解析】　当①，③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|＞4

＞5.

【答案】　①③⇒②

4．已知f（x）＝x2－x＋c定义在区间[0,1]上，x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2，证明：

（1）f（0）＝f

（1）；

（2）|f（x2）－f（x1）|＜|x1－x2|.

【证明】　

（1）f（0）＝c，f

（1）＝c，

故f（0）＝f

（1）．

（2）|f（x2）－f（x1）|＝|x

－x2＋c－x

＋x1－c|

＝|x2－x1||x2＋x1－1|.

∵0≤x1≤1,0≤x2≤1，

0＜x1＋x2＜2（x1≠x2），

∴－1＜x1＋x2－1＜1，

∴|x2＋x1－1|＜1，

∴|f（x2）－f（x1）|＜|x1－x2|.