最新平行四边形知识点总结及对应例题优秀名师资料.docx
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最新平行四边形知识点总结及对应例题优秀名师资料
平行四边形知识点总结及对应例题
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结
定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平行四边形的性质:
（1）:
平行四边形对边相等（即:
AB=CD,AD=BC）;
（2）:
平行四边形对边平行（即:
AB//CD,AD//BC）;
（3）:
平行四边形对角相等（即:
?
A=?
C,?
B=?
D）;
（4）:
平行四边形对角线互相平分（即:
OA=OC，OB=OD）;
判定方法:
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）;
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形;
5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
考点1特殊的平行四边形的性质与判定
1（矩形的定义、性质与判定
（1）矩形的定义:
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（2）矩形的性质:
矩形的对角线_________;矩形的四个角都是________角。
矩形具有________的一切性质。
矩形是轴对称图形，对称轴有_____________条，矩形也是中心对称图形，对称中心为_____________的交点。
矩形被对角线分成了____________个等腰三角形。
（3）矩形的判定
有一个是直角的平行四边形是矩形;有三个角是_____________的四边形是矩形;对角线_____的平行四边形是矩形。
温馨提示:
矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形;在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再请一个角为直角或对角线相等。
很多同学容易忽视这个问题。
2（菱形的定义、性质与判定
（1）菱形的定义:
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）菱形的性质
菱形的_______都相等;菱形的对角线互相_______，并且每一条对角线______一组对角;菱形也具有平行四边形的一切性质。
菱形即是轴对称图形，对称轴有____条。
（3）菱形的面积
1
1菱形的面积=底×高，菱形的面积=ab，其中a，b分别为菱形两条对角线的长。
菱形被对角线分成了4个全等的2
直角三角形。
（4）菱形的判定:
______________都相等的四边形是菱形;对角线____________的平行四边形是菱形;有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
温馨提示:
在利用菱形的判定时，也要注意所要证明的四边形是不是平行四边形，而你用的判定定理需不需要证明它是平行四边形，有对角线时，通常考虑利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明，否则一般不利用此定理。
3（正方形的性质及判定方法
（1）正方形的性质:
正方形的四个角都是_____________，四条边都_____________;
正方形的两条对角线____________，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角;正方形即是轴对称图形也是中心对称图形。
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（2）正方形的判定方法:
有一组邻边相等的____是正方形;对角线互相____的矩形是正方形;有一个角是直角的菱形是正方形;对角线________的菱形是正方形。
温馨提示:
无论是正方形的性质还是正方形的判定，它的中心思想就是正方形即是矩形，又是菱形，如果都从这个出发，则一切的性质与判定就都有了。
但要注意在利用对角线判定正方形时，“平分”这个前提，因为只有对角线平分了，此四边形才是平行四边形了，然后再证明是矩形又是菱形。
一（正确理解定义
（1）定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形（
平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法（
（2）表示方法:
用“”表示平行四边形，例如:
平行四边形ABCD记作ABCD，读作“平行四边形ABCD”（
2（熟练掌握性质
平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的（
（1）角:
平行四边形的邻角互补，对角相等;
（2）边:
平行四边形两组对边分别平行且相等;
（3）对角线:
平行四边形的对角线互相平分;
（4）面积:
?
;?
平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形（S=,，底高ah
3（平行四边形的判别方法
?
定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形?
方法1:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
?
方法2:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形?
方法3:
对角线互相平分的四边形是平行四边形
?
方法4:
一组平行且相等的四边形是平行四边形
二、（几种特殊四边形的有关概念
（1）矩形:
有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握:
?
平行四边形;?
一个角是直角，两者缺一不可（
（2）菱形:
有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握:
?
平行四边形;?
一组邻边相等，两者缺一不可（
（3）正方形:
有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形（
（4）梯形:
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握:
?
一组对边平行;?
一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题（
（5）等腰梯形:
是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形（
2（几种特殊四边形的有关性质
2
（1）矩形:
?
边:
对边平行且相等;?
角:
对角相等、邻角互补;
?
对角线:
对角线互相平分且相等;?
对称性:
轴对称图形（对边中点连线所在直线,2条）（
（2）菱形:
?
边:
四条边都相等;?
角:
对角相等、邻角互补;
?
对角线:
对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角;?
对称性:
轴对称图形（对角线所在直线,2条）（
（3）正方形:
?
边:
四条边都相等;?
角:
四角相等;
0?
对角线:
对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为45;?
对称性:
轴对称图形（4条）（（4）等腰梯形:
?
边:
上下底平行但不相等，两腰相等;?
角:
同一底边上的两个角相等;对角互补
?
对角线:
对角线相等;?
对称性:
轴对称图形（上下底中点所在直线）（3（几种特殊四边形的判定方法
（1）矩形的判定:
满足下列条件之一的四边形是矩形
?
有一个角是直角的平行四边形;?
对角线相等的平行四边形;?
四个角都相等
（2）菱形的判定:
满足下列条件之一的四边形是矩形
?
有一组邻边相等的平行四边形;?
对角线互相垂直的平行四边形;?
四条边都相等（（3）正方形的判定:
满足下列条件之一的四边形是正方形（
?
有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形
?
有一组邻边相等的矩形;?
对角线互相垂直的矩形（
?
有一个角是直角的菱形?
对角线相等的菱形;
（4）等腰梯形的判定:
满足下列条件之一的梯形是等腰梯形
?
同一底两个底角相等的梯形;?
对角线相等的梯形（
4（几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析
（1）识别矩形的常用方法
?
先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角（?
先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等（?
说明四边形ABCD的三个角是直角（
（2）识别菱形的常用方法
?
先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等（?
先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直（
?
说明四边形ABCD的四条相等（
（3）识别正方形的常用方法
?
先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等（?
先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等（
?
先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等（
?
先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角（
（4）识别等腰梯形的常用方法
?
先说明四边形ABCD为梯形，再说明两腰相等（
?
先说明四边形ABCD为梯形，再说明同一底上的两个内角相等（
?
先说明四边形ABCD为梯形，再说明对角线相等（
5（几种特殊四边形的面积问题
?
设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab（
1ab?
设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah;若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形=（2
122aa?
设正方形ABCD的一边长为a，则S正方形=;若正方形的对角线的长为a，则S正方形=（2
1（）abh，?
设梯形ABCD的上底为a，下底为b，高为h，则S梯形=（2
平行四边形矩形菱形正方形
3
图形
1（对边1（对边1（对边1（对边
且;且;且四条边都;且四条边都;
2（对角;2（对角2（对角;2（对角
邻角;且四个角都是3（对角线且四个角都是;性质
3（对角线;且每3（对角线
;3（对角线条对角线且每条对角
;;线;
面积
例1:
如图，菱形ABCD中，?
B,60?
，AB,2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，
则?
AEF的周长为（）
233343A（B（C（D（3
ABCD，AEF，,150例2:
如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（）EF
A（110?
B（115?
C（120?
D（130?
一、选择题（每题3分，共30分）
1（（09年河北）如图，在菱形ABCD中，AB=5，?
BCD=120?
，则对角线AC等于（）
A
A（20B（15C（10D（5
DB
C2（（09年广西南宁）如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚
D线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）
2222AC10cm20cm40cm80cmA（B（C（D（
B3（（09年宁波市）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（）
4
A（?
AOM和?
AON都是等边三角形B（四边形MBON和四边形MODN都是菱形C（四边形AMON与四边形ABCD是位似图形D（四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形
ADCFDCDAMN
BDOPEO
CBABAE
FBC第5题图第4题图第3题图
4.（09年杭州）如图，在菱形ABCD中，?
A=110?
，E，F分别是边AB和BC的中点，EP?
CD于点P，则?
FPC=（）A（35?
B（45?
C（50?
D（55?
5.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF（若AB,3，则BC的长为（）
A（1B（2C（D（32
7（正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）
17A（8B（82C（2D（10
第9题图
9（如图，?
ABCD的周长是28?
，?
ABC的周长是22?
，则AC的长为（）
A（6?
B（12?
C（4?
D（8?
211（（09年甘肃庆阳）如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE?
AB，DE=6，则这个菱形的面积=cm（
第13题图第11题
图13（（09白银市）如图，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是（
三、解答题（共60分）
21（（本题6分）（’09肇庆）如图，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，
D，,,ACDBD306?
，（
（1）求证:
?
ABD是正三角形;ACO
（2）求AC的长（结果可保留根号）（
B
5
EAB
M
FCD第22题图
22.（09年宜宾）已知:
如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.
（1）求证:
AM=DM;
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长（
?
ABCABAC,BCDD24（如图:
已知在中，，为边的中点，过点作
ADEABDFAC?
，?
EF，，垂足分别为.
?
?
?
BEDCFD
（1）求证:
;
FE，,A90?
DFAE）若，求证:
四边形是正方形.（2
BCD
第24题图
C，ABMBADBMB27（（本题10分）如图，为直角，点为线段的中点，点是射线上的一个动点（不与点重合），
CEEFCE,ADBEAD,EEBDFBFFD,连结，作，垂足为，连结，过点作，交于（求证:
;
A
E
C
MBFD
28（（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，?
ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B
AD点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60?
得到BN，连接EN、AM、CM.
?
求证:
?
AMB?
?
ENB;
应用题N
?
?
当M点在何处时，AM，CM的值最小;E
M?
当M点在何处时，AM，BM，CM的值最小，并说明理由;
BC3，1?
当AM，BM，CM的最小值为时，求正方形的边长.
186.25—7.1期末总复习及考试6
经过同一直线上的三点不能作圆.
7
【答案】解:
?
?
?
ABE是等边三角形，
?
BA,BE，?
ABE,60?
.
?
?
MBN,60?
，AD
?
?
MBN,?
ABN,?
ABE,?
ABN.即?
BMA,?
NBE.
即;又?
MB,NB，?
?
AMB?
?
ENB（SAS）.
E?
?
当M点落在BD的中点时，AM，CM的值最小.N
④函数的增减性：
M?
如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
BCFAM，BM，CM的值最小.„„„„„„9分
cosα理由如下:
连接MN.由?
知，?
AMB?
?
ENB，?
AM,EN.
（4）面积公式:
（hc为C边上的高）;?
?
MBN,60?
，MB,NB，?
?
BMN是等边三角形.?
BM,MN.?
AM，BM，CM,EN，MN，CM.根据“两点之间线段最短”，得EN，MN，CM,EC最短
（2）三角形的外心:
三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.?
当M点位于BD与CE的交点处时，AM，BM，CM的值最小，即等于EC的长.?
过E点作EF?
BC交CB的延长线于F，?
?
EBF,90?
60?
30?
.
|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；x3设正方形的边长为x，则BF,x，EF,.22
在Rt?
EFC中，
2x32222222?
EF，FC,EC，?
（），（x，x）,.解得，x,（舍去负值）.?
正方形的边长为.，，3，122
8
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