高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案附答案.docx

高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案附答案.docx

《高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案附答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案附答案.docx（6页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案附答案

高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案（附答案）

学案22　简单的三角恒等变换

导学目标：

1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．

自主梳理

1．二倍角的正弦、余弦、正切公式

（1）sin2α＝________________；

（2）cos2α＝______________＝________________－1＝1－________________；

（3）tan2α＝________________________（α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2）．

2．公式的逆向变换及有关变形

（1）sinαcosα＝____________________⇒cosα＝sin2α2sinα；

（2）降幂公式：

sin2α＝________________，cos2α＝________________；

升幂公式：

1＋cosα＝________________，1－cosα＝_____________；

变形：

1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝________________________.

自我检测

1．（2010陕西）函数f（x）＝2sinxcosx是（　　）

A．最小正周期为2π的奇函数

B．最小正周期为2π的偶函数

C．最小正周期为π的奇函数

D．最小正周期为π的偶函数

2．函数f（x）＝cos2x－2sinx的最小值和最大值分别为（　　）

A．－3,1B．－2,2

C．－3，32D．－2，32

3．函数f（x）＝sinxcosx的最小值是（　　）

A．－1B．－12C.12D．1

4．（2011清远月考）已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sinAsinB（　　）

A．有最大值12，最小值0

B．有最小值12，无最大值

C．既无最大值也无最小值

D．有最大值12，无最小值

探究点一　三角函数式的化简

例1　求函数y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．

变式迁移1　（2011泰安模拟）已知函数f（x）＝4cos4x－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x.

（1）求f－11π12的值；

（2）当x∈0，π4时，求g（x）＝12f（x）＋sin2x的最大值和最小值．

探究点二　三角函数式的求值

例2　已知sin（π4＋2α）sin（π4－2α）＝14，α∈（π4，π2），求2sin2α＋tanα－1tanα－1的值．

变式迁移2　

（1）已知α是第一象限角，且cosα＝513，求sinα＋π4cos2α＋4π的值．

（2）已知cos（α＋π4）＝35，π2≤α3π2，求cos（2α＋π4）的值．

探究点三　三角恒等式的证明

例3　（2011苏北四市模拟）已知sin（2α＋β）＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f（x）．

（1）求证：

tan（α＋β）＝2tanα；

（2）求f（x）的解析表达式；

（3）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f（x）的值域．

变式迁移3　求证：

sin2xsinx＋cosx－1sinx－cosx＋1

＝1＋cosxsinx.

转化与化归思想的应用

例　（12分）（2010江西）已知函数f（x）＝

1＋1tanxsin2x＋msinx＋π4sinx－π4.

（1）当m＝0时，求f（x）在区间π8，3π4上的取值范围；

（2）当tanα＝2时，f（α）＝35，求m的值．

【答题模板】

解　

（1）当m＝0时，f（x）＝1＋cosxsinxsin2x

＝sin2x＋sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x2

＝122sin2x－π4＋1，[3分]

由已知x∈π8，3π4，得2x－π4∈0，5π4，[4分]

所以sin2x－π4∈－22，1，[5分]

从而得f（x）的值域为0，1＋22.[6分]

（2）f（x）＝sin2x＋sinxcosx－m2cos2x

＝1－cos2x2＋12sin2x－m2cos2x

＝12[sin2x－（1＋m）cos2x]＋12，[8分]

由tanα＝2，得sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α＝45，2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－35.[10分]

所以35＝1245＋351＋m＋12，[11分]

解得m＝－2.[12分]

【突破思维障碍】

三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：

（1）能求出数值的要求出数值；

（2）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；（3）分式中的分母尽量不含根式等．

1．求值中主要有三类求值问题：

（1）“给角求值”：

一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．

（2）“给值求值”：

给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．

（3）“给值求角”：

实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．

2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：

（1）在化简求值和证明时常用如下方法：

切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．

（2）常用的拆角、拼角技巧如：

2α＝（α＋β）＋（α－β），α＝（α＋β）－β，α＝（α－β）＋β，α＋β2＝α－β2＋β－α2，α2是α4的二倍角等．

（3）化繁为简：

变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．

消除差异：

消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．

（满分：

75分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1．（2011平顶山月考）已知0απ，3sin2α＝sinα，则cos（α－π）等于（　　）

A.13B．－13C.16D．－16

2．已知tan（α＋β）＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4等于（　　）

A.1318B.1322C.322D．（2011石家庄模拟）已知cos2α＝12（其中α∈－π4，0），则sinα的值为（　　）

A.12B．－12C.32D．－32

4．若f（x）＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则fπ12的值为（　　）

A．－433B．8

C．43D．－．（2010福建厦门外国语学校高三第二次月考）在△ABC中，若cos2B＋3cos（A＋C）＋2＝0，则sinB的值是（　　）

A.12B.22C.32D．1

题号12答案

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．（2010全国Ⅰ）已知α为第二象限的角，且sinα＝35，则tan2α＝________.

7．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．

8．若cos2αsinα－π4＝－22，则cosα＋sinα的值为________．

三、解答题（共38分）

9．（12分）化简：

（1）cos20°cos40°cos60°cos80°；

（2）3－4cos2α＋cos4α3＋4cos2α＋cos4α0．（12分）（2011南京模拟）设函数f（x）＝3sinxcosx－cosxsinπ2＋x－12.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）当∈0，π2时，求函数f（x）的最大值和最小值．．（14分）（2010北京）已知函数f（x）＝2cos2x＋sin2x－4cosx.

（1）求f（π3）的值；

（2）求f（x）的最大值和最小值．

答案自主梳理

1．

（1）2sinαcosα　

（2）cos2α－sin2α　2cos2α　2sin2α

（3）2tanα1－tan2α　2.

（1）12sin2α　

（2）1－cos2α2　1＋cos2α2　2cos2α2　2sin2α2　（sinα±cosα）2

自我检测

1．C　2.C　3.B　4.D

课堂活动区

例1　解题导引　化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．

解　y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x

＝7－2sin2x＋4cos2x（1－cos2x）

＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x

＝7－2sin2x＋sin22x＝（1－sin2x）2＋6，

由于函数z＝（u－1）2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝（－1－1）2＋6＝10，最小值为zmin＝（1－1）2＋6＝6，

故当sin2x＝－1时，y取得最大值10，

当sin2x＝1时，y取得最小值6.

变式迁移1　解　

（1）f（x）

＝1＋cos2x2－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x

＝cos22xsinπ4＋xcosπ4＋x

＝2cos22xsinπ2＋2x＝2cos22xcos2x＝2cos2x，

∴f－11π12＝2cos－11π6＝2cosπ6＝3.

（2）g（x）＝cos2x＋sin2x

＝2sin2x＋π4.

∵x∈0，π4，∴2x＋π4∈π4，3π4，

∴当x＝π8时，g（x）max＝2，

当x＝0时，g（x）min＝1.

例2　解题导引　

（1）这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；

（2）如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．

解　由sin（π4＋2α）sin（π4－2α）

＝sin（π4＋2α）cos（π4＋2α）

＝12sin（π2＋4α）＝12cos4α＝14，

∴cos4α＝12，又α∈（π4，π2），故α＝5π12，

∴2sin2α＋tanα－1tanα－1

＝－cos2α＋sin2α－cos2αsinαcosα

＝－cos2α＋－2cos2αsin2α

＝－cos5π6－2cos5π6sin5π6＝532.

变式迁移2　解　

（1）∵α是第一象限角，cosα＝513，

∴sinα＝12∴sinα＋π4cos2α＋4π＝22sinα＋cosαcos2α

＝22sinα＋cosαcos2α－sin2α

＝22cosα－sinα＝22513－1213＝－132

（2）cos（2α＋π4）＝cos2αcosπ4－sin2αsinπ4

＝22（cos2α－sin2α），

∵π2≤α32π，

∴3π4≤α＋π474π.

又cos（α＋π4）＝350，

故可知32πα＋π474π，

∴sin（α＋π4）＝－45，

从而cos2α＝sin（2α＋π2）

＝2sin（α＋π4）cos（α＋π4）

＝2×（－45）×35＝－2422α＝－cos（2α＋π2）

＝1－2cos2（α＋π4）

＝1－2×（35）2＝725.

∴cos（2α＋π4）＝22（cos2α－sin2α）＝22×（－2425－725）

＝－31250.

例3　解题导引　本题的关键是第

（1）小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第

（2）小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第（3）小题则利用基本不等式求解即可．

（1）证明　由sin（2α＋β）＝3sinβ，得sin[（α＋β）＋α]

＝3sin[（α＋β）－α]，

即sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα＝3sin（α＋β）cosα－3cos（α＋β）sinα，

∴sin（α＋β）cosα＝2cos（α＋β）sinα，

∴tan（α＋β）＝2tanα.

（2）解　由

（1）得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2tanα，即x＋y1－xy＝2x，

∴y＝x1＋2x2，即f（x）＝x1＋2x2.

（3）解　∵角α是一个三角形的最小内角，

∴0α≤π3，0x≤3，

设g（x）＝2x＋1x，则g（x）＝2x＋1x≥22（当且仅当x＝22时取“＝”）．

故函数f（x）的值域为（0，24]．

变式迁移3　证明　因为左边＝

2sinxcosx[sinx＋cosx－1][sinx－cosx－1]

＝2sinxcosxsin2x－cosx－12

＝2sinxcosxsin2x－cos2x＋2cosx－1

＝2sinxcosx－2cos2x＋2cosx＝sinx1－cosx

＝sinx1＋cosx1－cosx1＋cosx

＝sinx1＋cosxsin2x＝1＋cosxsinx＝右边．

所以原等式成立．

课后练习区

1．D　[∵0απ，3sin2α＝sinα，

∴6sinαcosα＝sinα，又∵sinα≠0，∴cosα＝16，（α－π）＝cos（π－α）＝－cosα＝－16.]

2．C　[因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，

所以α＋π4＝（α＋β）－β－π4.

所以tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4

＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝322.]

3．B　[∵12＝cos2α＝1－2sin2α，

∴sin2α＝14.又∵α∈－π4，0，

∴sinα＝－12.]

4．B　[f（x）＝2tanx＋1－2sin2x212sinx＝2tanx＋2cosxsinx

＝2sinxcosx＝4sin2x

∴fπ12＝4sinπ6＝8.]

5．C　[由cos2B＋3cos（A＋C）＋2＝0化简变形，得2cos2B－3cosB＋1＝0，

∴cosB＝12或cosB＝1（舍）．

∴sinB＝32.]

6．－247

解析　因为α为第二象限的角，又sinα＝35，

所以cosα＝－45，tanα＝sinαcosα＝－34，

所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－2．1－2

解析　∵y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x

＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，

∴当sin（2x＋π4）＝－1时，函数取得最小值1－22

解析　∵cos2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22sinα－cosα

＝－2（sinα＋cosα）＝－22，

∴cosα＋sinα＝12.

9．解　

（1）∵sin2α＝2sinαcosα，

∴cosα＝sin2α2sinα，…………………………………………………………………………（2分）

∴原式＝sin40°2sin20°sin80°2sin40°12sin160°2sin80°

＝sin180°－20°16sin20°＝116.……………………………………………………………………（6分）

（2）原式＝3－4cos2α＋2cos22α－13＋4cos2α＋2cos22α－1………………………………………………………（9分）

＝1－cos2α21＋cos2α2＝2sin2α22cos2α2＝tan4α.………………………………………………………（12分）

10．解　f（x）＝3sinxcosx－cosxsinπ2＋x－12

＝32sin2x－12cos2x－1

＝sin2x－π6－1.…………………………………………………………………………（4分）

（1）T＝2π2＝π，故f（x）的最小正周期为π.…………………………………………………（6分）

（2）因为0≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤5π6.

所以当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f（x）有最大值0，

……………………………………………………………………………………………（10分）

当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f（x）有最小值－32.

……………………………………………………………………………………………（12分）

11．解　

（1）f（π3）＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3

＝－1＋34－2＝－94.………………………………………………………………………（4分）

（2）f（x）＝2（2cos2x－1）＋（1－cos2x）－4cosx

＝3cos2x－4cosx－1

＝3（cosx－23）2－73，x∈R.………………………………………………………………（10分）

因为cosx∈[－1,1]，

所以，当cosx＝－1时，f（x）取得最大值6；

当cosx＝23时，f（x）取得最小值－73.…………………………………………………（14分）