高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案附答案.docx

1、高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案附答案高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案（附答案）学案22简单的三角恒等变换 导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换 自主梳理 1二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2_； (2)cos 2_11_； (3)tan 2_ (k24且k2) 2公式的逆向变换及有关变形 (1)sin cos _⇒cos sin 22sin ； (2)降幂公式：sin2_，cos2_； 升幂公式：1cos _，1cos _； 变形：1sin 2sin2cos22sin co

2、s _. 自我检测 1(2010陕西)函数f(x)2sin xcos x是 () A最小正周期为2的奇函数 B最小正周期为2的偶函数 C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数 2函数f(x)cos 2x2sin x的最小值和最大值分别为 () A3,1B2,2 C3，32D2，32 3函数f(x)sin xcos x的最小值是 () A1B12C.12D1 4(2011清远月考)已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sin Asin B () A有最大值12，最小值0 B有最小值12，无最大值 C既无最大值也无最小值 D有最大值12，无最小值 探究点一三角函数式的化简 例1 求函数y74s

3、in xcos x4cos2x4cos4x的最大值和最小值 变式迁移1(2011泰安模拟)已知函数f(x)4cos4x2cos 2x1sin4xsin4x. (1)求f1112的值； (2)当x0，4时，求g(x)12f(x)sin 2x的最大值和最小值 探究点二三角函数式的求值 例2 已知sin(42)sin(42)14，(4，2)，求2sin2tan 1tan 1的值 变式迁移2(1)已知是第一象限角，且cos 513，求sin4cos24的值 (2)已知cos(4)35，232，求cos(24)的值 探究点三三角恒等式的证明

4、 例3 (2011苏北四市模拟)已知sin(2)3sin ，设tan x，tan y，记yf(x) (1)求证：tan()2tan ； (2)求f(x)的解析表达式； (3)若角是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域 变式迁移3求证：sin 2xsin xcos x1sin xcos x1 1cos xsin x. 转化与化归思想的应用 例 (12分)(2010江西)已知函数f(x) 11tan xsin2xmsinx4sinx4. (1)当m0时，求f(x)在区间8，34上的取值范围； (2)当tan 2时，f()35，

5、求m的值 【答题模板】 解(1)当m0时，f(x)1cos xsin xsin2x sin2xsin xcos x1cos 2xsin 2x2 122sin2x41，3分 由已知x8，34，得2x40，54，4分 所以sin2x422，1，5分 从而得f(x)的值域为0，122.6分 (2)f(x)sin2xsin xcos xm2cos 2x 1cos 2x212sin 2xm2cos 2x 12sin 2x(1m)cos 2x12，8分 由tan 2，得sin 22sin cos sin2cos22tan 1tan245，2cos2sin2cos2sin21tan21tan235.10分

6、所以351245351m12，11分 解得m2.12分 【突破思维障碍】 三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等 1求值中主要有三类求值问题： (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特

7、殊角的三角函数而得解 (2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系 (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角 2三角恒等变换的常用方法、技巧和原则： (1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等 (2)常用的拆角、拼角技巧如：2()()，()，()，222，2是4的二倍角等 (3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式

8、，化无理式为有理式 消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异 (满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1(2011平顶山月考)已知0，3sin 2sin ，则cos()等于 () A.13B13C.16D16 2已知tan()25，tan414，那么tan4等于 () A.1318B.1322C.322D(2011石家庄模拟)已知cos 212 (其中4，0)，则sin 的值为 () A.12B12C.32D32 4若f(x)2tan x2sin2x21sin x2cos x2，则f12的值为 () A433B8 C43D(2

9、010福建厦门外国语学校高三第二次月考)在ABC中，若cos 2B3cos(AC)20，则sin B的值是 () A.12B.22C.32D1 题号12答案 二、填空题(每小题4分，共12分) 6(2010全国)已知为第二象限的角，且sin 35，则tan 2_. 7函数y2cos2xsin 2x的最小值是_ 8若cos 2sin422，则cos sin 的值为_ 三、解答题(共38分) 9(12分)化简：(1)cos 20cos 40cos 60cos 80； (2)34cos 2cos 434cos 2cos 40(12分)(2011南京模拟)设函数f(x)3sin xcos xcos x

10、sin2x12. (1)求f(x)的最小正周期； (2)当0，2时，求函数f(x)的最大值和最小值(14分)(2010北京)已知函数f(x)2cos 2xsin2x4cos x. (1)求f(3)的值； (2)求f(x)的最大值和最小值 答案 自主梳理 1(1)2sin cos (2)cos2sin22cos22sin2 (3)2tan 1tan22.(1)12sin 2(2)1cos 221cos 222cos222sin22(sin cos )2 自我检测 1C2.C3.B4.D 课堂活动区 例1 解题导引化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值

11、本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键 解y74sin xcos x4cos2x4cos4x 72sin 2x4cos2x(1cos2x) 72sin 2x4cos2xsin2x 72sin 2xsin22x(1sin 2x)26， 由于函数z(u1)26在1,1中的最大值为zmax(11)2610，最小值为zmin(11)266， 故当sin 2x1时，y取得最大值10， 当sin 2x1时，y取得最小值6. 变式迁移1解(1)f(x) 1cos 2x22cos 2x1sin4xsin4x cos22xsin4x

12、cos4x 2cos22xsin22x2cos22xcos 2x2cos 2x， f11122cos1162cos 63. (2)g(x)cos 2xsin 2x 2sin2x4. x0，4，2x44，34， 当x8时，g(x)max2， 当x0时，g(x)min1. 例2 解题导引(1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确； (2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数 解由sin(42)sin(42) sin(42)cos(42) 12sin(24)12cos 414， cos 412，又(4，2)，故512， 2sin2tan 1tan

13、1 cos 2sin2cos2sin cos cos 22cos 2sin 2 cos562cos56sin56532. 变式迁移2解(1)是第一象限角，cos 513， sin 12sin4cos2422sin cos cos 2 22sin cos cos2sin2 22cos sin 225131213132(2)cos(24)cos 2cos4sin 2sin4 22(cos 2sin 2)， 232， 34474. 又cos(4)350， 故可知32474，

14、 sin(4)45， 从而cos 2sin(22) 2sin(4)cos(4) 2(45)352422cos(22) 12cos2(4) 12(35)2725. cos(24)22(cos 2sin 2)22(2425725) 31250. 例3 解题导引本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系第(3)小题则

15、利用基本不等式求解即可 (1)证明由sin(2)3sin ，得sin() 3sin()， 即sin()cos cos()sin 3sin()cos 3cos()sin ， sin()cos 2cos()sin ， tan()2tan . (2)解由(1)得tan tan 1tan tan 2tan ，即xy1xy2x， yx12x2，即f(x)x12x2. (3)解角是一个三角形的最小内角， 03，0x3， 设g(x)2x1x，则g(x)2x1x22(当且仅当x22时取“”) 故函数f(x)的值域为(0，24 变式迁移3证明因为左边 2sin xcos xsin xcos x1

16、sin xcos x1 2sin xcos xsin2xcos x12 2sin xcos xsin2xcos2x2cos x1 2sin xcos x2cos2x2cos xsin x1cos x sin x1cos x1cos x1cos x sin x1cos xsin2x1cos xsin x右边 所以原等式成立 课后练习区 1D0，3sin 2sin ， 6sin cos sin

17、 ，又sin 0，cos 16，()cos()cos 16. 2C因为44， 所以4()4. 所以tan4tan4 tantan41tantan4322. 3B12cos 212sin2， sin214.又4，0， sin 12. 4Bf(x)2tan x12sin2x212sin x2tan x2cos xsin x 2sin xcos x4sin 2x f124sin 68. 5C由cos 2B3cos(AC)20化简变形，得2cos2B3cos B10， cos B12或cos B1(舍) s

18、in B32. 6247 解析因为为第二象限的角，又sin 35， 所以cos 45，tan sin cos 34， 所以tan 22tan 1tan2212 解析y2cos2xsin 2xsin 2x1cos 2x sin 2xcos 2x12sin2x41， 当sin(2x4)1时，函数取得最小值122 解析cos 2sin4cos2sin222sin cos  2(sin cos )22， cos sin 12. 9解(1)sin 22sin cos ， cos sin 22sin ，(2分) 原式sin 402sin 20sin 802sin 4012s

19、in 1602sin 80 sin1802016sin 20116.(6分) (2)原式34cos 22cos22134cos 22cos221(9分) 1cos 221cos 222sin222cos22tan4.(12分) 10解f(x)3sin xcos xcos xsin2x12 32sin 2x12cos 2x1 sin2x61.(4分) (1)T22，故f(x)的最小正周期为.(6分) (2)因为0x2，所以62x656. 所以当2x62，即x3时，f(x)有最大值0， (10分) 当2x66，即x0时，f(x)有最小值32. (12分) 11解(1)f(3)2cos23sin234cos3 134294.(4分) (2)f(x)2(2cos2x1)(1cos2x)4cos x 3cos2x4cos x1 3(cos x23)273，xR.(10分) 因为cos x1,1， 所以，当cos x1时，f(x)取得最大值6； 当cos x23时，f(x)取得最小值73.(14分)