统计学教案习题直线相关与回归.docx

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统计学教案习题直线相关与回归

第一十章直线相关与回归

一、教学大纲要求

（一）掌握内容

⒈　直线相关与回归的基本概念。

⒉　相关系数与回归系数的意义及计算。

⒊　相关系数与回归系数相互的区别与联系。

（二）熟悉内容

⒈　相关系数与回归系数的假设检验。

⒉　直线回归方程的应用。

⒊　秩相关与秩回归的意义。

（三）了解内容曲线直线化。

二、学内容精要

（一）直线回归

1.基本概念

直线回归（linearregression）建立一个描述应变量依自变量变化而变化的直线方程，并要求各点与该直线纵向距离的平方和为最小。

直线回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单回归（simpleregression）。

直线回归方程

中，a、b是决定直线的两个系数，见表10-1。

表10-1直线回归方程a、b两系数对比

a

b

含义

回归直线在Y轴上的截距（intercept）。

表示X为零时，Y的平均水平的估计值。

回归系数（regressioncoefficient），即直线的斜率。

表示X每变化一个单位时，Y的平均变化量的估计值。

系数>0

a>0表示直线与纵轴的交点在原点的上方

b>0，表示直线从左下方走向右上方，即Y随X增大而增大

系数<0

a<0表示直线与纵轴的交点在原点的下方

b<0，表示直线从左上方走向右下方，即Y随X增大而减小

系数=0

a=0表示回归直线通过原点

b=0，表示直线与X轴平行，即Y不随X的变化而变化

计算公式

2.样本回归系数b的假设检验

（1）方差分析；

（2）t检验。

3.直线回归方程的应用

（1）描述两变量的依存关系；

（2）用回归方程进行预测；

（3）用回归方程进行统计控制；（4）用直线回归应注意的问题。

（二）直线相关

1.基本概念

直线相关（linearcorrelation）又称简单相关（simplecorrelation），用于双变量正态分布资料。

有正相关、负相关和零相关等关系。

直线相关的性质可由散点图直观的说明。

相关系数又称积差相关系数（coefficientofproduct-momentcorrelation），以符号r表示样

本相关系数，ρ表示总体相关系数。

它是说明具有直线关系的两个变量间，相关关系的密切程度与相关方向的指标。

2.计算公式

相关系数r没有单位，其值为－1≤r≤1。

其绝对值愈接近1，两个变量间的直线相关愈密切；愈接近0，相关愈不密切。

r值为正表示正相关，说明一变量随另一变量增减而增减，方向相同；r值为负表示负相关，说明一变量增加、另一变量减少，即方向相反；r的绝对值等于1为完全相关。

3.样本相关系数r的假设检验

（1）r界值表法；

（2）t检验法。

（三）直线回归与相关的区别与联系

1.区别

（1）资料要求：

直线回归要求因变量Y服从正态分布，X是可以精确测量和严格控制的变量，一般称为Ⅰ型回归；直线相关要求两个变量X、Y服从双变量正态分布。

这种资料若进行回归分析称为Ⅱ型回归。

（2）应用情况：

直线回归是说明两变量依存变化的数量关系；直线相关是说明两变量间的相关关系。

（3）意义：

b表示X每增（减）一个单位时，Y平均改变b个单位；r说明具有直线关系的两个变量间关系的密切程度与相关方向。

（4）计算：

b=lxy/lxx；r=lxy/

。

（5）取值范围：

—∞＜b＜+∞；－1≤r≤1。

（6）单位：

b有单位；r没有单位。

2.联系

（1）方向一致：

对一组数据若能同时计算b和r,它们的符号一致。

（2）假设检验等价：

对同一样本，r和b的假设检验得到的t值相等，即tb=tr。

（3）用回归解释相关：

决定系数

，回归平方和越接近总平方和，

则r2越接近1，说明引入相关的效果越好。

（四）秩相关

秩相关，又称等级相关（rankcorrelation），是用双变量等级数据作直线相关分析，适用于下列资料：

⒈　不服从双变量正态分布而不宜作积差相关分析；

⒉　总体分布型未知；

⒊　用等级表示的原始数据。

三、典型试题分析

1．回归系数的假设检验（）

A．只能用r的检验代替B．只能用t检验

C．只能用F检验D．三者均可

答案：

D[评析]本题考点：

回归系数假设检验方法的理解。

回归系数的假设检验常用的方法有：

①方差分析；②t检验。

对同一样本，r和b的假设检验等价，r和b的假设检验得到的t值相等，即tb=tr。

故回归系数的假设检验用三者均可。

2．已知r1=r2，那么（）

A．b1=b2B．tb1=tb2

C．tr1=tr2D．两样本决定系数相等

答案：

D[评析]本题考点：

直线相关系数与回归系数关系的理解。

因为相关系数r和回归系数b的计算公式不同，不能推导出b1=b2；r和b的假设检验等价，即tr1=tb1，tr2=tb2，而不是tb1=tb2，tr1=tr2；样本决定系数为r2，已知r1=r2，则两样本决定系数相等，即r12=r22。

3．|r|>r0.05（n-2）时，可认为两变量X与Y间（）

A．有一定关系B.有正相关关系

C．一定有直线关系D.有直线关系

答案：

D[评析]本题考点：

直线相关系数假设检验的理解。

因为直线相关系数r是样本的相关系数，它是相应总体相关系数ρ的估计值。

由于抽样误差的影响，必须进行显著性检验。

r的假设检验是检验两变量是否有直线相关关系。

|r|>r0.05（n-2）时，P<0.05，拒绝H0，接受H1，认为总体相关系数ρ≠0，因此可认为两变量X与Y间有直线关系。

4．相关系数检验的无效假设H0是（）

A．ρ=0B.ρ≠0

C．ρ>0D.ρ<0

答案：

A[评析]本题考点：

直线相关系数显著性检验中检验假设的理解。

因为r是样本相关系数，它是总体相关系数ρ的估计值。

要判两变量间是否有相关关系，就要检验r是否来自总体相关系数ρ为零的总体。

因为即使从ρ=0的总体作随机抽样，由于抽样误差的影响，所得r值也常不等于零。

5．同一双变量资料，进行直线相关与回归分析，有（）。

A．r>0，b<0B.r>0，b>0

C．r<0，b>0D.r与b的符号毫无关系

答案：

B[评析]本题考点：

直线相关与回归的区别与联系的理解。

因为对同一资料而言直线相关系数与回归系数的方向一致，若能同时计算b和r,它们的符号一致。

因此，同一双变量资料，进行直线相关与回归分析，有r>0，b>0。

四、习题

（一）单项选择题

1．下列（）式可出现负值。

A．∑（X—

）2B．∑Y2—（∑Y）2/n

C．∑（Y—

）2D．∑（X—

）（Y—

）

2．Y=14+4X是1~7岁儿童以年龄（岁）估计体重（市斤）的回归方程，若体重换成国际单位kg，则此方程（）。

A．截距改变B．回归系数改变

C．两者都改变D．两者都不改变

3．已知r=1，则一定有（）。

A．b=1B．a=1

C．SY.X=0D．SY.X=SY

4．用最小二乘法确定直线回归方程的原则是各观察点（）。

A．距直线的纵向距离相等

B．距直线的纵向距离的平方和最小

C．与直线的垂直距离相等

D．与直线的垂直距离的平方和最小

5．直线回归分析中，X的影响被扣除后，Y方面的变异可用指标（）表示。

A．

B.

C.

D.

6．直线回归系数假设检验，其自由度为（）。

A．nB．n－1

C．n－2D．2n－1

7．应变量Y的离均差平方和划分，可出现（）。

A．SS剩=SS回B．SS总=SS剩

C．SS总=SS回D．以上均可

8．下列计算SS剩的公式不正确的是（）。

A．

B．

C.

D．

9．直线相关系数可用（）计算。

A．

B．

C．

D．以上均可

10．当r=0时，

回归方程中有（）。

A．a必大于零B.a必等于

C．a必等于零D.a必等于

（二）名词解释

1.直线回归2.回归系数3.剩余平方和4.回归平方和5.直线相关

6.零相关7.相关系数8.决定系数9.曲线直线化10.秩相关

（三）是非题

1．剩余平方和SS剩1=SS剩2，则r1必然等于r2。

2．直线回归反映两变量间的依存关系，而直线相关反映两变量间的相互直线关系。

3．两变量关系越密切r值越大。

（四）简答题

1．用什么方法考察回归直线图示是否正确？

2．剩余标准差的意义和用途？

3．某资料n=100，X与Y的相关系数为r=0.1，可否认为X与Y有较密切的相关关系？

4．r与rs的应用条件有何不同？

5．应用直线回归和相关分析时应注意哪些问题？

6．举例说明如何用直线回归方程进行预测和控制？

7．直线回归分析时怎样确定因变量与自变量？

（五）计算题

1．10名20岁男青年身高与前臂长的数据见表10-2。

⑴计算相关系数并对ρ=0进行假设检验；

⑵计算总体ρ的95%可信区间。

表10-210名20岁男青年身高与前臂长

身高（cm）

170

173

160

155

173

188

178

183

180

165

前臂长（cm）

45

42

44

41

47

50

47

46

49

43

2．某单位研究代乳粉营养价值时，用大白鼠作实验，得到大白鼠进食量和增加体重的数据见表10-3。

⑴此资料有无可疑的异常点？

⑵求直线回归方程并对回归系数作假设检验。

⑶试估计进食量为900g时，大白鼠的体重平均增加多少，计算其95%的可信区间，并说明其含义。

⑷求进食量为900g时，个体Y值的95%容许区间，并解释其意义。

表10-3八只大白鼠的进食量和体重增加量

鼠号

1

2

3

4

5

6

7

8

进食量（g）

800

780

720

867

690

787

934

750

增量（g）

185

158

130

180

134

167

186

133

3．某省卫生防疫站对八个城市进行肺癌死亡回顾调查，并对大气中苯并（a）芘进行监测，结果如下，试检验两者有无相关？

表10-4八个城市的肺癌标化死亡率和大气中苯并（a）芘浓度

城市编号

1

2

3

4

5

6

7

8

肺癌标化死亡率（1/10万）

5.60

18.50

16.23

11.40

13.80

8.13

18.00

12.10

苯并（a）芘（μg/100m3）

0.05

1.17

1.05

0.10

0.75

0.50

0.65

1.20

4．就下表资料分析血小板和出血症的关系。

表10-512例病人的血小板浓度和出血症的关系

病例号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

血小板数（109/L）

120

130

160

310

420

540

740

1060

1260

1230

1440

2000

出血症状

++

+++

±

－

+

+

－

－

－

－

++

－

五、习题答题要点

（一）单项选择题

1.D2.C3.C4.B5.C6.C7.D8.B9.D10.D

（二）名词解释

1．直线回归（linearregression）建立一个描述应变量依自变量变化而变化的直线方程，并要求各点与该直线纵向距离的平方和为最小。

直线回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单回归（simpleregression）。

2．回归系数（regressioncoefficient）即直线的斜率（slope），在直线回归方程中用b表示，b的统计意义为X每增（减）一个单位时，Y平均改变b个单位。

3．剩余平方和（residualsumofsquares），SS剩即

，它反映X对Y的线性影响之外的一切因素对Y的变异的作用，也就是在总平方和中无法用X解释的部分。

在散点图中，各实测点离回归直线越近，

也就越小，说明直线回归的估计误差越小。

4．回归平方和（regressionsumofsquares），SS回即

，它反映由于X与Y的直线关系而使Y的总变异所减小的部分，也就是在总平方和中可以用X解释的部分。

回归平方和越大，说明回归效果越好。

5．直线相关（linearcorrelation）又称简单相关（simplecorrelation），用于双变量正态分布资料。

有正相关、负相关和零相关等关系。

直线相关的性质可由散点图直观的说明。

6．零相关（zerrocorrelation）是指两变量间没有直线相关关系。

11．相关系数又称积差相关系数（coefficientofproduct-momentcorrelation），以符号r表示样本相关系数，ρ表示总体相关系数。

它是说明具有直线关系的两个变量间，相关关系的密切程度与相关方向的指标。

12．决定系数（coefficientofdetermination）即r的平方，

，说明当SS总固定不变时，回归平方和的大小决定了r平方的大小。

回归平方和越接近总平方和，则r平方值越接近1。

13．曲线直线化（rectification）是曲线拟合的重要手段之一。

对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，用直线回归分析方法来分析。

14.秩相关又称等级相关（rankcorrelation），是用双变量等级数据作直线相关分析，适用于下列资料：

⑴不服从双变量正态分布而不宜作积差相关分析；⑵总体分布型未知；⑶用等级表示的原始数据。

（三）是非题

1．错。

两样本剩余平方和SS剩1=SS剩2，但两样本总平方和SS总及回归平方和SS回不一定相等，故两样本相关系数r1与r2不一定相等。

2．正确。

3．错。

相关系数r有正负之分，其值为－1≤r≤1，在总体相关系数不为零，即两变量确有直线关系前提下，r绝对值愈接近1，两个变量间的直线相关愈密切；愈接近0，相关愈不密切。

（四）简答题

1．用以下三种方法判定：

⑴直线必须通过点（

）。

⑵若纵坐标、横坐标无折断号时，将此线左端延长与纵轴相交，交点的纵坐标必等于截距a。

⑶直线是否在自变量X的实测范围内。

2．剩余标准差用sY.X表示：

其意义是指当X对Y的影响被扣除后，Y方面仍有变异。

这部分变异与X无关，纯属抽样变异。

故sY.X是用来反映Y的剩余变异的，即不考虑X以后Y本身的随机变异。

剩余标准差可用于：

⑴估计回归系数b的标准误，

，进行回归系数的区间估计和假设检验。

⑵估计总体中当X为某一定值时，估计值

的标准误。

并可计算

的可信区间，sY.X可作为预报精度的指标。

⑶估计总体中当X为某一定值时，个体Y值的标准差。

，并计算个体Y值的容许区间。

3．n=100，r=0.1时，对相关系数进行t检验，按检验水准α=0.05，拒绝H0（ρ=0），接受H1（ρ≠0），认为两变量有相关关系，但决定系数r2=0.12=0.01，表示回归平方和在总平方和中仅占1%，说明两变量间相关关系实际意义不大。

4．积差相关系数r用于描述双变量正态分布资料的相关关系。

等级相关系数rs适用于下列资料：

⑴不服从双变量正态分布而不宜作积差相关分析的资料；

⑵总体分布型未知的资料；

⑶原始资料是用等级表示的资料。

5．注意以下五个问题

⑴作回归分析和相关分析时要有实际意义，不能把毫无关联的两种现象作回归、相关分析，必须对两种现象间的内在联系有所认识。

⑵在进行回归分析和相关分析之前，应绘制散点图。

但观察点的分布有直线趋势时，才适宜作回归、相关分析。

如果散点图呈明显曲线趋势，应使之直线化再行分析。

散点图还能提示资料有无可疑异常点。

⑶直线回归方程的应用范围一般以自变量的取值范围为限。

若无充分理由证明超过自变量取值范围外还是直线，应避免外延。

⑷双变量的小样本经t检验只能推断两变量间有无直线关系，而不能推断相关的紧密程度，要推断相关的紧密程度，样本含量必须很大。

⑸相关或回归关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，有相关或回归关系不能证明事物间确有内在联系。

6．用直线回归方程进行预测和控制的步骤

⑴根据研究目的确定预报因子（X）和预报量（Y），由X估计Y值，收集资料。

⑵建立预报方程

，并进行回归系数假设检验。

若P小于临界值，则回归方程成立。

⑶根据回归方程在X实测范围内对Y进行预测，并计算X为某定值时，个体Y值波动范围（容许区间）。

例如，1~7岁儿童，X为年龄，Y为体重，可根据年龄预测（估计）体重。

统计控制是利用回归方程进行逆估计，如要求因变量Y值在一定范围内波动，可以通过控制自变量X的取值来实现。

步骤同前。

例如，针刺哑门穴，进针深度Y与颈围X间存在直线关系，可根据X取值达到控制Y的目的。

7．Ⅰ型回归中，X为精密测量和严格控制的变量，Y为正态变量。

Ⅱ型回归中，X、Y均为服从正态分布的随机变量，可计算两个回归方程。

何者为X，何者为Y，根据研究目的确定。

例如，测得某一人群的身高和体重两变量，若目的只是由身高估计体重，则确定X为身高，Y为体重。

（五）计算题

1．由原始数据及散点图的初步分析（图10-1），估计本资料有直线趋势。

（1）计算相关系数

与ρ=0进行假设检验。

H0：

ρ=0，即身高与前臂长间无直线相关关系

H1：

ρ≠0，即身高与前臂长间有直线相关关系

α=0.05

，查t界值表，得0.002

⑵算总体ρ的95%可信区间。

对r作z变换：

或，z=tanh—10.8227=1.1651

z的95%可信区间：

按r=tanhz对z作反变换，得20岁男青年身高与与前臂长总体相关系数的95%可信区间为（0.4005，0.9567）。

2．由原始数据及散点图初步分析（图10-2），估本资料有直线趋势，故作下列计算。

∑X=6328，∑X2=5048814，

∑Y=1273，∑Y2=206619，

，∑XY=1018263

图10-2大白鼠的进食量与增加体重散点图

（1）回归系数假设检验：

H0：

β＝0，即进食量与增重之间无直线关系

H1：

β≠0，即进食量与增重之间有直线关系α＝0.05

1方差分析，见表10-6。

表10-6方差分析表

变异来源

SS

υ

MS

F

总变异

4052.875

7

回归

2954.905

1

2954.905

16.147

剩余

1097.970

6

182.995

计算得F=16.147，查F界值表，得P<0.01，按α＝0.05水准，拒绝H0，接受H1，可认为大白鼠的进食量与增加体重间有直线关系。

2t检验：

H0：

β＝0，即进食量与增重之间无直线关系

H1：

β≠0，即进食量与增重之间有直线关系α＝0.05

按υ=6，查t界值表，得0.01>P>0.05，按α＝0.05水准，拒绝H0，接受H1，结论同上。

本题

故可用直线回归方程

来描述大白鼠的进食量与增加体重的关系。

异常点即对应于残差（Y－

）绝对值特大的观测数据见表10-7。

表10-7残差的计算

序号

X

Y

Y－

1

800

185

161.474

23.526

2

780

158

156.254

1.746

3

720

130

140.594

－10.594

4

867

180

178.961

1.039

5

690

134

132.764

1.236

6

787

167

158.081

8.919

7

934

186

196.448

－10.448

8

750

133

148.424

－15.424

由散点图及残差分析，第一号点（X=800，Y=185）为可疑的异常点。

⑵根据以上的计算结果，进一步求其总体回归系数的95%可信区间。

绘制回归直线并图示回归系数95%可信区间。

总体回归系数β的95%可信区间：

（b－t0.05（n－2）Sb，b＋t0.05（n－2）Sb）

=（0.261－2.447×13.5107∕

，0.261＋2.447×13.5107∕

）

=（0.1022，0.4198）

取X1=690，代入回归方程

=－47.326+0.261X，得Y1=132.76；X2=934，Y2=196.45。

在图上确定（690，132.76）和（934，196.45）两个点，以直线连接即得回归直线的图形见图10-2。

按回归系数的95%可信区间下限和上限分别代入

，得

=78.285，

=－172.937。

回归系数的95%可信区间上、下限对应的两条直线，即图10-2中两条回归直线，回归方程为：

=78.285+0.1022X，

=－172.937+0.4198X

⑶估计进食量为900g时，大白鼠的体重平均增加多少，计算其95%的可信区间，并说明其含义。

当X=900时，

的95%可信区间：

（

－t0.05（6）

，

＋t0.05（6）

）

=（187.574－2.447×8.5446，187.574＋2.447×8.5446）=（166.67，208.48）

即总体中，进食量为900g时，大白鼠的体重平均增加187.574g，其95%的可信区间为166.67~208.48g。

其含义为：

当进食量为900g时，相应的平均增重服从一个正态分布（此正态分布的样本均数估计值为187.574g），如果从此正态分布中重复抽样100次，这100个可信区间中理论上将有95个区间包含真正的总体均数（虽然这个总体均数真值是未知的）。

⑷求进食量为900g时，个体Y值的95%容许区间，并解释其意义。

当X=900时，

=－47.326+0.261X=187.574，个体Y值的95%容许区间：

（

－t0.05（6）SY，

＋t0.05（6）SY）

=（187.574－2.447×16.0002，187.574＋2.447×16.0002）=（148.42，226.73）

即估计总体中，进食量为900g时，有95%的大白鼠增加体重在148.42~226.73g范围内。

3．本题资料不服从双变量正态分布，宜计算等级相关系数。

计算过程见表10-8

表10-8八个城市的肺癌标化死亡率和大气中苯并（a）芘的相关分析

肺癌标化死亡率（1/10万）

苯并（a）芘

城市编号

⑴

X

⑵

等级

⑶

Y

⑷

等级

⑸

d

⑹=⑶－⑸

d2

⑺

1

5.60

1

0.05

1

0

0

2

18.50

8

1.17

7

1

1

3

16.23

6

1.05

6

0

0

4

11.40

3