人教版九年级数学上213《实际问题与一元二次方程1》名师教案.docx
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人教版九年级数学上213《实际问题与一元二次方程1》名师教案
21.3实际问题与一元二次方程
21.3.1倍数问题及增长率问题
教学目标:
1.核心素养：
联系实际，经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，培养学生化实际问题为数学问题的能力，及分析、解决问题的能力，培养学生数学建模的能力。
2.学习目标：
使学生学会根据具体问题（用一定速度传播，数字问题，增长率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解；进一步培养学生转化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力；能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性.
教学重点：
建立数学模型，找等量关系，列方程
教学难点：
找等量关系，列方程
教学过程：
一、课前设计
预习任务
1.列方程解应用题的一般步骤：
①审；②设；③找；④列；⑤解；⑥检验；⑦答.
2.
n表示变化的次数
预习自测
1.一个三位数的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，这个三位数可以表示为___________.
【知识点】字母表示数
【解题过程】∵三位数的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，
∴这个三位数表示为100c+10b+a
【思路点拨】各个数位上的数字乘以其对应的基数之和即可表示数.
【答案】100c+10b+a
2.某班班长通知同学春游事宜，由班长通知若干同学后，再由已知晓事宜的同学通知其他人，已知经过两轮通知，全班49人恰好都得到通知.问：
平均每个同学一次能通知______人.
【知识点】倍数问题
【解题过程】设平均每个同学一次通知x人，则第一轮通知了x人，第一轮结束时共有（1+x）人知晓；第二轮通知了x（1+x）人，共有1+x+x（1+x）人知晓.故有1+x+x（1+x）=49，x1=6，x2=-8（舍）.故，平均每个同学一次能通知6人.
【思路点拨】原有人数+本轮通知人数=总人数
【答案】6人.
3.若某公司2015年的销售利润为10万元，年增长率为10%，则2016年的销售利润是,若维持此增长率不变，2017年的销售利润为万元.
【知识点】增长率问题
【解题过程】2016年的利润是10×（1+10%）=11（万元）；
2017年的利润是10×（1+10%）×（1+10%）=12.1（万元）
【思路点拨】
【答案】11万元；12.1万元.
4．某地严格控制森林砍伐面积，若一月份的砍伐面积为10000m2，以后每月减少20%，则三月份的砍伐面积为m2．
【知识点】增长率问题
【解题过程】二月砍伐面积为10000×（1－20%）=8000（m2）；
三月砍伐面积为10000×（1－20%）×（1－20%）=6400（m2）.
【思路点拨】
【答案】6400m2.
二、课堂设计
1.知识回顾
（1）列方程解应用题的一般步骤：
审，设，找，列，解，检验，答.
（2）列方程解决应用问题的关键在于找到等量关系，从而建立方程求解.
（3）现有量－原有量=增长量，
2.问题探究
探究一倍数问题★
活动1疾病传染问题
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
师问：
设每轮传染中一个人传染了x个人.
（1）开始有一个人患了流感，那么第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，第一轮传染后共有_____个人患了流感；
（2）第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有_____个人患有流感.
（3）等量关系是：
生答：
（1）（x+1）；
（2）[1+x+x（1+x）]；（3）患病总人数=121人.
思考：
如何列方程求解
生答：
列方程：
1+x+x（1+x）=121
解方程，得：
x1=10，x2=－12（不合题意，舍去）
故，平均一个人传染10个人.
教师点拨：
原有感染人数+新增感染人数=总感染人数.
【设计意图】
本题以流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的问题，特别需要注意的是，弄清问题背景，特别注意分析清楚题意.题中没有特别说明，那么最早的患者没有痊愈，仍在继续传染别人.
活动2写信问题
一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，这样共有42条消息，问：
这个微信群里共有多少人？
师问：
（1）设有x个好友，每人发条消息；
（2）则发消息共有条.
（3）等量关系是：
___________.
生答：
（1）（x－1）条；
（2）x（x－1）条；（3）共有42条消息.
师问：
如何列方程求解
生答：
依题意得x（x－1）=42；解得x1=7，x2=－6（不合题意，舍去）
答：
微信群里共7个人
教师点拨：
每个好友都有一次发给微信群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；人数×每人发出消息数=总数.
【设计意图】考虑写信类似问题时，要考虑到每个人都会给其他人写信，这样，人数×每人写信数=总数.
探究二数字问题★
活动1奇偶数相关问题
两个连续奇数的平方和为130，求这两个奇数．
师问：
（1）设较小的奇数为________，则较大的奇数为;
（2）等量关系是：
__________.
生答：
（1）x，x+2；
（2）两个连续奇数的平方和为130.
师问：
如何列方程求解
生答：
解：
设这两个连续奇数为x，x+2，根据题意得
x2+（x+2）2=130．解得：
x1=－9（不合题意，舍去），x2=7
答：
两个连续奇数为7,9.
教师点拨：
根据连续奇数相差2得到较大的奇数，根据两个数的积是130列出方程求解即可．要注意是否符合实际情况.
【设计意图】会用字母表示符合条件的数，从而找到等量关系.
活动2多位数相关问题
已知某两位数，个位数字与十位数字之和为12，个位数字与十位数字之积为32，求这个两位数.
师问：
（1）设个位数字为x，则十位数字为
（2）等量关系是：
___________.
生答：
（1）12－x；
（2）个位数字与十位数字之积为32.
师问：
如何列方程求解
生答：
解：
设个位数字为x，则十位数字为12－x，由题意得
x（12－x）=32；解得x1=8，x2=4.
答：
48或84.
教师点拨：
根据个位数字与十位数字之积为32，列出方程解答即可.
【设计意图】会用字母表示多位数，并根据等量关系求解.
探究三增长率问题★▲
活动1增长问题
某校办工厂今年元月份生产桌椅1000套，2月份因春节放假，减产10%，3月份，4月份产量逐月上升，4月份产量达到1296套，求3，4月份的平均增长率．
师问：
（1）设3,4月平均增长率为x，
则2月份产量是________;三月份的产量是;四月份的产量是.
（2）等量关系是：
_____________
生答：
（1）1000（1－10%）；1000（1－10%）（1+x）;1000（1－10%）（1+x）2
（2）4月份产量达到1296套.
师问：
如何列方程求解
生答：
解：
设三、四月份产量的平均增长率是x．根据题意得
1000（1－10%）（1+x）2=1296．
解得：
x1=0.2=20%，x2=－2.2（不合题意，舍去）
答：
平均增长率是20%.
教师点拨：
设三、四月份产量的平均增长率是x．根据题意依次找出二月份，三月份，四月份的产量，根据四月份产量达到1296套，可列方程．
【设计意图】学会根据具体问题（增长率）中的等量关系列方程.
活动2减少问题
受某种因素影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降，由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？
师问：
（1）设平均每次下调的百分率是x，
则第一次降价后的价格为，第二次降价后的价格是.
（2）等量关系是：
______________.
生答：
（1）16（1－x），16（1－x）（1－x）；
（2）下降两次后的价格是9元.
师问：
如何列方程求解
生答：
解：
列出的方程是16（1－x）2=9，解得x1=25%，x2=175%（不合题意，舍去）
答：
平均每次下降的百分率是25%.
教师点拨：
若每次下调的百分率为x，找出下降两次后的价格，把相应数值代入即可列方程．
【设计意图】学会根据具体问题（减少率）中的等量关系列方程.
探究四倍数及增长率问题训练★▲
活动1基础型例题
例1.一次会议上，每两个参加会议的人都互相握手一次，有人统计一共是握了66次手，则这次会议到会人数是 人．
【知识点】一元二次方程的应用
【解题过程】解：
设参加会议有x人，
依题意得：
x（x﹣1）=66，
整理得：
x2﹣x﹣132=0
解得x1=12，x2=﹣11，（舍去）．
答：
参加这次会议的有12人．
【思路点拨】设参加会议有x人，每个人都与其他（x﹣1）人握手，共握手次数为
x（x﹣1），根据题意列方程．
【答案】12人.
练习：
一次排球友谊赛，参赛队中每两队都要赛1场，若此次友谊赛共66场，则本次参赛球队有（ ）
A．14队B．13队C．12队D．11队
【知识点】一元二次方程的应用.
【解题过程】解：
设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
x（x﹣1）÷2=66，
解得x=12或﹣11（舍去）．
故应12个球队参加比赛．
【思路点拨】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数=
．即可列方程求解．
【答案】C．
【设计意图】进一步巩固对此类问题的掌握.
活动2提高型例题
例.已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是 ．
【知识点】一元二次方程的应用.
【解题过程】解：
设其中一个奇数为x，则较大的奇数为（x+2），
由题意得，x（x+2）=15，
解得，x=3或x=﹣5，
【答案】这两个数为3和5或﹣3和﹣5．
【思路点拨】设出两个连续的奇数，根据两个连续奇数的积是15这一等量关系，列出方程解答即可．
练习：
相邻的两自然数，它们的平方和比这两数中较小者的2倍大51，则这两自然数分别为 ．
【知识点】一元二次方程的应用.
【思路点拨】设较小的正整数为n，大的就为n+1，等量关系为两数的平方和比较小数的2倍大51．
【解题过程】解：
设较小的正整数为n．
n2+（n+1）2=2n+51
n=5或n=﹣5（舍去）
【答案】5，6
【设计意图】进一步巩固对数字问题的掌握.
活动3探究型例题
例.近年来随着国际石油价格的上涨，我国加快了对新能源汽车产业的扶持力度．2010年国家启动了节能汽车推广工作，2010年新能源汽车产量达到15万辆，预计2012年新能源汽车的累计产量能达到105万辆．
（1）求这两年的新能源汽车产量的平均增长率为多少？
（2）通过计算估计2013年新能源汽车的产量能否突破100万辆？
【知识点】一元二次方程的应用.
【解题过程】解：
（1）设这两年的新能源汽车产量的平均增长率为x，由题意得
15+15（1+x）+15（1+x）2=105，
解得x=1，x=﹣4（不符题意，舍去）．
故这两年的新能源汽车产量的平均增长率为100%；
（2）2012年新能源汽车的产量为：
15（1+x）2=60（万辆），
2013年新能源汽车的产量为：
60（1+x）=120（万辆）＞100（万辆）
所以2013年新能源汽车的产量能突破100万辆．
【思路点拨】
（1）2010年的产量+2011年的产量+2012年的产量=105万辆，把相关数值代入求得合适的解即可；
（2）2013年的年销售量=2012年的年销量×（1+增长率），算出结果后与100万比较即可．
【答案】
（1）这两年的新能源汽车产量的平均增长率为100%；
（2）2013年新能源汽车的产量能突破100万辆．
练习：
为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：
本），该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；
（2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人，如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？
【知识点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【解题过程】解：
（1）设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x，根据题意得
7500（1+x）2=10800，
即（1+x）2=1.44，
解得：
x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）
答：
该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%；
（2）10800（1+0.2）=12960（本）
10800÷1350=8（本）
12960÷1440=9（本）
（9﹣8）÷8×100%=12.5%．
故a的值至少是12.5．
【思路点拨】
（1）经过两次增长，求年平均增长率的问题，应该明确原来的基数，增长后的结果．设这两年的年平均增长率为x，则经过两次增长以后图书馆有书7500（1+x）2本，即可列方程求解；
（2）先求出2017年图书借阅总量的最小值，再求出2016年的人均借阅量，2017年的人均借阅量，进一步求得a的值至少是多少．
【答案】
（1）平均增长率为20%；
（2）12.5
【设计意图】考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，增长率问题的数量关系的运用，解答时根据增长率问题的数量关系建立方程是关键．
3.课堂总结
知识梳理
（1）列方程解应用题的一般步骤：
审，设，找，列，解，检验，答.
（2）疾病传染问题，数字问题，增长率问题的基本等量关系
疾病传染问题：
原有量+新增量=总量；
数字问题：
根据题意设出符合条件的数，进而根据等量关系列方程；
增长率问题：
n表示变化的次数
重难点归纳
（1）列方程解决实际问题关键在于找准等量关系.
（2）根据实际情况，检验结果是否符合实际.
三、课后作业
基础型自主突破
1.政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格．某种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，如果平均每次降价的百分率为x，则根据题意所列方程为 ．
【知识点】一元二次方程的应用.
【解题过程】解：
设平均每次降价的百分率为x，根据题意得出：
60（1－x）2=48.6
【思路点拨】关系式为：
药品原价×（1－降低的百分比）2=下调后的价格，即可得出答案．
【答案】60（1－x）2=48.6
2.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，所列方程是 ．
【知识点】一元二次方程的应用.
【解题过程】解：
设每次降价的百分率为x，
由题意得，560（1－x）2=315．
【思路点拨】设每次降价的百分率为x，根据题意可得，560×（1－降价的百分率）2=315，据此列方程即可．
【答案】560（1－x）2=315．
3．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染 台电脑．
【知识点】一元二次方程的应用.
【解题过程】解：
设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意列方程得
（x+1）2=144
解得x1=11，x2=－13（不符合题意，舍去）
【思路点拨】此题可设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则第一轮共感染x+1台，第二轮共感染x（x+1）+x+1=（x+1）（x+1）台，根据题意列方程解答即可．
【答案】每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑．
4.元旦来临，全班每一个同学都将自己制作的贺年卡向其他同学各送一张以表示纪念，如果全班有x名学生，则送了_________张贺年卡.（用含x的代数式表示）
【知识点】一元二次方程的应用.
【解题过程】解：
∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x－1）张；
又∵全班每一个同学都将自己制作的贺年卡向其他同学各送一张，
∴总共送的张数应该是x（x－1）．
【思路点拨】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x－1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x－1）张，即可列式求解．
【答案】x（x－1）张
5.某工程生产一种产品，第一季度共生产了364个，其中1月份生产了100个，若2、3月份的平均月增长率为x，则可列方程为 ．
【知识点】一元二次方程的应用.
【解题过程】解：
依题意得二、三月份共生产的机器100（1+x）+100（1+x）2，
则方程为100+100（1+x）+100（1+x）2=364．
【思路点拨】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设二、三月份的生产平均增长率为x，那么首先可以用x表示二、三月份共生产的机器100（1+x）+100（1+x）2，然后可得出的方程为100+100（1+x）+100（1+x）2=364．
【答案】100+100（1+x）+100（1+x）2=364．
6.直角三角形的三边长是3个连续偶数，这个三角形的三边长是____________.
【知识点】一元二次方程的应用.
【解题过程】解：
设最短边为2x，则另外两边的长为2x+2，2x+4，
根据题意得：
（2x）2+（2x+2）2=（2x+4）2；
化为一般形式为：
x2－2x－3=0．解得x1=3，x2=－1（不合题意，舍去）
故直角三角形的三边为6,8,10.
【思路点拨】根据一边长表示出另外两边的长，然后利用勾股定理列出方程即可；
【答案】6,8,10
能力型师生共研
7.一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（ ）
A．25B．36C．25或36D．－25或－36
【知识点】一元二次方程的应用.
【解题过程】解：
设这个两位数的个位数字为x，那么十位数字应该是x－3，
由题意得10（x－3）+x=x2，
解得x1=5，x2=6；
那么这个两位数就应该是25或36．
【思路点拨】可设这个数的个位数为x，那么十位数字应该是x－3，由一个两位数等于它的个位数的平方，列出一元二次方程求解．
【答案】C
8.据统计，2008年全国公务员参考人数为64万，2010年为92.7万，2012年为96万，试求从2008年到2012年每两年的平均增长率，并估计按此增长率2014年参考人数会不会达到115万？
（
）
【知识点】一元二次方程的应用.
【解题过程】解：
设从2008年到2012年每两年的平均增长率为x，由题意得
64×（1+x）2=96，
解得x1≈0.2，x2≈－2.2（不符题意，舍去）．
96×（1+0.2）=115.2（万），
∵115.2万＞115万，
∴按此增长率2014年参考人数会达到115万．
【思路点拨】
（1）2008年全国公务员参考人数×（1+增长率）2=2012年全国公务员参考人数，把相关数值代入求得合适的解即可；
（2）2014年参考人数=2012年参考人数×（1+增长率），算出结果后与115万比较即可．
【答案】会
探究型多维突破
9.随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2014年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2016年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．
（1）求2014年底至2016年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2018年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2017年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．
【知识点】一元二次方程的应用.
【解题过程】解：
（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x
根据题意，得150（1+x）2=216
解得x1=0.2=20%，x2=－2.2（不合题意，舍去）．
（2）设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2017年底全市的汽车拥有量为216×90%+y万辆，2018年底全市的汽车拥有量为（216×90%+y）×90%+y万辆．
根据题意得（216×90%+y）×90%+y≤231.96，解得y≤30；
【思路点拨】
（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据2014年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2016年底，全市的汽车拥有量已达216万辆可列方程求解．
（2）设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2017年底全市的汽车拥有量为216×90%+y万辆，2018年底全市的汽车拥有量为（216×90%+y）×90%+y万辆根据要求到2018年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆可列不等式求解．
【答案】该市汽车拥有量的年平均增长率为20%；该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆．
10.国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.8折销售；
②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．
请问哪种方案更优惠？
【知识点】一元二次方程的应用.
【解题过程】解：
（1）设平均每次下调的百分率为x．
5000×（1－x）2=4050．
（1－x）2=0.81，
∴1－x=±0.9，
∴x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．
（2）方案一的两年总费用为：
100×4050×
+2×12×1.5×100=400500元；
方案二的总费用为：
100×4050－2×12×1.5×100=401400元；
∴方案一优惠．
【思路点拨】
（1）关系式为：
原价×（1－降低率）2=现在的价格，把相关数值代入后求得合适的解即可；
（2）①费用为：
总房价×
×平米数；
②求出两种方案的费用并进行比较即可．
【答案】平均每次下调的百分率为10%；方案一优惠.
自助餐
1.一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x满足（ ）
A．16（1+2x）=25B．25（1－2x）=16C．16（1+x）2=25D．25（1－x）2=16
【知识点】一元二次方程的应用.
【解题过程】解：
第一次降价后的价格为：
25×（1－x）；
第二次降价后的价格为：
25×（1－x）2；
∵两次降价后的价格为16元，
∴25（1－x）2=16．
【思路点拨】等量关系为：
原价×（1－降价的百分率）2=现价，把相关数值代入即可．
【答案】D．
2.要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．
x（x+1）=15B．
x（x－1）=15
C．x（x+1）=15D．x（x－1）=15
【知识点】一元二次方程的应用.
【解题过程】解：
每支球队都需要与其他球队赛（x－1
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