与圆有关的角的综合.docx

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与圆有关的角的综合

《与圆有关的角的综合　》教学设计

学习目标

1、熟练掌握弧、弦、圆心角、圆周角直接按的关系及圆心角、圆周角定理及相关推论；

2、理解并能灵活运用弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系进行角的转换和计算。

一、导学探究

知识概述

一、圆心角：

1、　　　　　　　　　　的角叫圆心角.

2、圆心角定理：

在　　　　　　　　中，相等的圆心角所对的　　　相等，所对的　　　　也相等；

3、圆心角定理推论：

在同圆或等圆中，两个　　　、两条　　、两条　　、两条弦的　　　中有一组量相等，其余各组量都相等。

二、圆周角

1、顶点在　　，两条边　　　　　　的角叫做圆周角．

2、圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的　　　　．

3、圆周角定理的推论：

推论1：

同弧或等弧所对的圆周角　　　　；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧　　　　．

推论2：

　　　（或　　）所对的圆周角等于90°；90°的圆周角所对的弦是　　　．

4、圆内接四边形的性质定理：

圆内接四边形的对角　　　．

推论：

圆内接四边形的任何一个外角等于它的　　　　．

二、精讲多动

一、加深理解

1、对圆周角的理解

①如图，∠AOB与∠ACB是

对的圆心角与圆周角，故有：

∠ACB＝　　∠AOB，反之∠AOB＝　　∠ACB．

②定理的作用是勾通圆心角，圆周角之间的数量关系．

2、对圆周角定理的两个推论的理解

（1）推论1：

①是圆中证角相等最常用的方法之一．

②若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，一般情况不相等（如图中的∠1与∠2）．

③推论1中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”，离开这个前提条件，

结论不成立（如图中的

）．

④联系圆心角定理推论可得：

在同圆或等圆中，

（2）推论2应用广泛，一般地，如果题目中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角；如果需要直角或证明垂直时，也往往作出直径即可解决问题，推论也是证明弦是直径常用的办法．

3、对圆的内接四边形定理的理解

（1）“内对角”是圆内接四边形的专用名词，是指与四边形的一个外角相邻的内角的对角．

（2）定理的另一个含义是对角和相等（都为180°）．

（3）定理是证明与圆有关的两角相等或互补关系的重要依据．

（4）使用定理时，要注意观察图形，不要弄错四边形的外角和它的内对角的位置．

二、解题方法技巧点拨

1、圆心角和圆周角之间的换算

例1、已知：

如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于P，且∠APD＝60°，∠COB＝30°，求∠ABD的度数．

例2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，以AB为直径的半圆交AC于D，交BC于E．求

所对圆心角的度数．

点评：

（1）辅助线AE，构造了“直径上的圆周角是直角”的基本图形，因此在关于直径的问题中，常添辅助线使之构成直角三角形．即有直径，得直角.

（2）本题还有副产品BE＝EC，你注意了吗？

该副产品有时很有用．

仿解：

如图，BC为半圆O的直径，点F是弧BC上一动点（点F不与B、C重合），A是弧BF上的中点，设∠FBC＝α,∠ACB＝β.

⑴当α＝50°时，求β的度数。

⑵猜想α与β之间的关系，并给与证明。

2、圆内角、圆外角、圆周角之间的运算题

圆内角：

角的顶点在圆内的角叫做圆内角．

　　圆外角：

角的顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角．

例3、如图，圆的弦AB、CD延长线交于P点，AD、BC交于Q点，∠P＝28°，

∠AQC＝92°，求∠ABC的度数．

分析：

圆内角和圆外角都是通过圆周角建立联系，故圆内角∠AQC与圆外角∠P可通过圆周角∠ABC（∠ADC）与∠A（∠C）建立起联系。

点评：

⑴圆内角与圆外角都通过圆周角建立联系．

⑵同弧对的圆内角、圆外角、圆周角之间的大小关系是：

圆内角＞圆周角＞圆外角．

⑶圆内角等于它所对弦对的圆周角与它对顶角所对的弧对的周角之和．（如图，

∠AQC＝∠ABC＋∠A）．

⑷圆外角等于它所截两条弧所对的圆周角之差（如图，∠P＝∠ABC－∠A）．

3、与圆周角有关的证明

例4、如图，△ABC内接于⊙O，AE⊥BC于D，交⊙O于E，AF为⊙O的直径．

⑴求证：

∠BAF＝∠CAE．

（2）求证：

AB·AC＝AD·AF；

（3）若过O作ON⊥AB于N，则ON与CE之间有何数量关系？

例5、如图，AB是△ABC外接圆O的直径，D为⊙O上一点，且DE⊥CD交BC于E，

求证：

EB·CD＝DE·AC．

例6、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，

AF⊥BD于F，延长AF交BC于G．求证：

AB2＝BG·BC．

例7、已知：

⊙O1的圆心O1在⊙O2上，且两圆交于A、B两点，O1D为⊙O2的弦，交⊙O1于C，求证：

O1C2＝O1E·O1D．

点评：

在圆中有弧中点时，常用以下三种辅助线．

①过弧中点作半径；②连等弧对的圆心角和圆周角；③连等弧对的弦．

4、与圆的内接四边形的有关计算问题

例8、如图，已知AB是半圆O的直径，∠BAC＝40°，D是AC上任意一点，那么∠D的度数是________．

仿解：

如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D．

（1）请写出四个不同类型的正确结论；

（2）若BC＝8，ED＝2，求⊙O的半径．

（3）连CD，设∠BDC＝

，∠ABC＝

，探究

与

之间的关系式，并给给予适当的说明。

例9、已知：

四边形ABCD内接于⊙O，且∠BOD＝100°．求∠A的度数．（注意：

此题不止一种情形）

仿解：

已知⊙O中弦AB的长等于半径长，则弦AB所对的圆周角的度数为　　　　.

5、与圆的内接四边形有关的证明问题

例10、如图，已知：

AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，G是

上任意一点，AG、DC的延长线交于F．求证：

∠FGC＝∠AGD．

点评：

圆内接四边形的性质是沟通圆外角和圆内角的桥梁，此题的关键是添加辅助线，构造圆内接四边形．

变式：

①此题条件不变，问DG·CG是否与AG·FG相等．

②是否有AC2＝AG·AF成立？

6、巧妙构造四点共圆解题.

例11、在等腰△ABC中，AC＝BC，∠C＝1000，点P在△ABC的外部，并且PC＝BC，求∠APB的度数。

思路点拨：

由题中的条件AC＝BC＝PC，联想到圆的定义，画出以点C为圆心，AC为半径的圆，巧妙地构造出圆心角∠ACB＝1000，圆周角∠APB＝500问题，使此题得以突破与解决。

三、优选精练

★基础演练

窗体顶端

1、下列命题中，错误的是（　）

A．90°的圆角所对的弦一定是直径；　　B．相等的圆周角所对的弦长也相等；

C．圆周角等于其所对弧的度数的一半；　D．同弧所对的圆周角也相等

2、如图，已知直线BC切⊙O于点C，PD为⊙O的直径，BP的延长线与CD的延长线交于点A，∠A＝28°，∠B＝26°，则∠PDC＝　　　.

3、如图所示，P为等边三角形ABC外接圆上一点，则∠APB的度数是

4、如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B，分别过A、B作两条直线与⊙O1交于C、E，与⊙O2交于E、F，如∠ADF＝100°，那么∠ACE＝　　　　　.

第2题图　　　　　第3题图第4题图第5题图

5、如图，四边形OADC中，A、D、C三点在以O为圆心的圆周上，延长AO交⊙O于B点，已知∠BOC＝20°，那么∠ADC　　　　

6、（2009肇庆）9．如图4，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于　　　　　　　　

　　第6题图　　　　　　第7题图　　　　第8题图　　　　　第9题图

7、如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，作弦CD⊥AB，当C在半圆上移动时，∠OCD的平分线交圆周于一点E，此点（　）

A．是

的中点；B．是

的3等分点；C．距点B和C等远；D．距点A和C等远

8、如图，⊙O的内接四边形ABCD的对角线交于P,已知AB＝BC，求证：

△ABD∽△DPC。

9、如图，半圆的半径为2cm，点C、D三等分半圆，求阴影部分面积.

★★能力提升

10、（07年重庆）已知，如图：

AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝

。

给出以下五个结论：

∠EBC＝

；

BD＝DC；

AE＝2EC；劣弧

是劣弧

的2倍；⑤AE＝BC。

其中正确结论的序号是。

11、如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为.

12、（2008年海南）如图8,AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝30°，点P在线段OB上运动.设∠ACP＝x，则x的取值范围是.

13、（07年广西柳州、北海）如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连结ED、BE．

（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；

（2）如果BC＝6，AB＝5，求BE的长．

14、（2009南充市）如图8，半圆的直径AB＝10，点C在半圆上，BC=6．

（1）求弦AC的长；

（2）若P为AB的中点，PE⊥AB交AC于点E，求PE的长．

15、（2009黄冈市）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连结BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连结BF，与直线CD交于点G．求证：

16、（2009年衢州）如图，AD是⊙O的直径．

（1）　如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是　　　　　　，∠B2的度数是　　　　　　；

（2）　如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；

（3）　如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数（只需直接写出答案）．

17、（2008陕西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线．过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．

（1）求证：

AC＝AE；

（2）求△ACD外接圆的半径．

18、（2009成都）如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC＝BC，∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G．

（1）判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；

（2）求证：

AE＝BF；

（3）若

，求⊙O的面积。

19、（2010浙江金华）如图，AB是⊙O的直径，C是

的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．

（1）求证：

CF＝BF；

（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径与CE的长．

20、（2010湖北荆门）如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异C和动点P，已知BC：

CA＝4：

3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．

（1）求证：

AC·CD＝PC·BC；

（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；

（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？

并求出这个最大面积S。

★★★拓展延伸

21、如图，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，点O1在⊙O2上，⊙O2的弦O1C交AB、⊙O1于D、E。

求证：

（1）

；

（2）E为△ABC的内心。

22、如图，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，AC⊥BD于E，OF⊥AB于F，求证：

CD＝2OF.

23、如图，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC。

（1）求证：

FB＝FC；

（2）

；（3）若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6cm，求AD的长。

24、如图，直线AB经过⊙O的圆心，且与⊙O相交于A、B两点，点C在⊙O上，且

∠AOC＝30°，点P是直线AB上一个动点（不与点O重合），直线OC与⊙O相交于点Q，问：

是否存在点P，使QP＝QO？

如果存在，那么这样的点P共有几个？

并求出∠OCP的大小；如果不存在，请说明理由.

第24题图　　　　　　第24题备用图1　　　　　第24题备用图2