最新高中数学参数方程大题带答案精选.docx

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最新高中数学参数方程大题带答案精选

参数方程极坐标系

解答题

Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．

Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．

坐标系和参数方程．

解答：

当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为

当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．

点评：

本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．

考点：

参数方程化成普通方程．

专题：

分析：

解答：

坐标系和参数方程．

（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；

（2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解．

解：

（1）∵直线l的极坐标方程为：

，

ρ（sinθ﹣cosθ）

2）根据曲线C的参数方程为：

α为参数）．

得

22

（x﹣2）+y=4，

它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：

d=，d=，

∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=．

点评：

本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．

1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

最小值．

所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；

把直线C3：

t为参数）化为普通方程得：

x﹣2y﹣7=0，

，（其中sinα=，cosα=）

设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）所以M到直线的距离d=

从而当cosθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．

点评：

此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，简求值，是一道综合题．

4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为

上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．

考点：

参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：

坐标系和参数方程．

可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．

∴圆心到直线l的距离

点P直线AB距离的最大值为

．．

点评：

本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．

考点：

椭圆的参数方程；椭圆的应用．

专题：

计算题；压轴题．

分析：

由题意椭圆的参数方程为

圆和直线先化为一般方程坐标

为参数），直线的极坐标方程为．将椭

，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．

解答：

解：

将化为普通方程为（4分）

到直线的距离

6分）

所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．（10分）

点评：

此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．

圆心到直线的距离d=

θ为参数），

），

2）可设圆的参数方程为：

则设M（，

则x+y==sin（

由于θ∈R，则x+y的最大值为1．

点评：

本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

线C的极坐标方程为．

（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；

（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：

（t为参数）距离的最小值．

∴曲线C的直角坐标方程为．

设，则线段PQ的中点．

那么点M到直线l的距离

∴点M到直线l的最小距离为．

点本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的评：

单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．

考点：

简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．专题：

直线与圆．

（φ为参数）．消去参数可得：

（x﹣1）+y=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．

（II）由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：

θ=．可得普通方程：

直线l，

射线OM．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．

（φ为参数）．消去参数可得：

（x﹣1）2+y2=1．

把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：

ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．

II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：

θ=．

联立

，解得

（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．

（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

考点：

简单曲线的极坐标方程．专题：

坐标系和参数方程．分析：

（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．

（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．

（2）求得椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为

的坐标．

，可得d的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P

解答：

解：

（1）由曲线C1：

，可得

，两式两边平方相加得：

，

即曲线C1的普通方程为：

．

由曲线C2：

得：

，

即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x+y﹣8=0，

即曲线C2的直角坐标方程为：

x+y﹣8=0．

（2）由

（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为

，

，

∴当时，d的最小值为，此时点P的坐标为

点评：

本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．

Ⅰ）求圆心

Ⅱ）由直线

C的直角坐标；

考点：

简单曲线的极坐标方程．专题：

计算题．

分析：

l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

I）先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用

ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直角坐标．（II）欲求切线长的最小值，转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线

上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．解答：

解：

（I）∵，∴，

∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是（10分）

点评：

本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．

线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．

（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．

，代入x2+y2﹣4y=12，

22

得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：

（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，

（2）直线l的普通方程为：

y=ax，根据题意，得

解得实数a的取值范围为：

[0，]．

点评：

本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．

12．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．

（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；

b的值．

考点：

点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题：

压轴题；直线与圆．

分析：

22

x+（y﹣2）=4，x+y﹣4=0，

）．

2），（1，3），

II）把直线l的参数方程为

（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；

（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．

解答：

解：

（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为

得

∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，

，

解得a=﹣1，b=2．

点评：

本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．

13．在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ

（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．

解答：

解：

（I）直线l的参数方程为

（t为参数）．

2曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ．

把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．（t为参数）代入圆的方程可得：

t2+4（sinα+cosα）t+4=0．

∵曲线C与直线相交于不同的两点M、N，

2

∴△=16（sinα+cosα）﹣16>0，∴sinαcosα>0，又α∈[0，π），

∴．

又t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=，

，

∴|PM|+|PN|的取值范围是．

点评：

本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题．

系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；

（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

考点：

点的极坐标和直角坐标的互化．专题：

坐标系和参数方程．分析：

y=x，

2ρ=6cosθ，即ρ=6ρcosθ222=6x即（x﹣3）+y=9

Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，

r=3所以弦长AB==．

∴弦AB的长度．

基本方法，属于基础题．

简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．

计算题．

（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基

本关系，

消去θ可得曲线C的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．

（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值，

最后列出关于r的方程即可求出r值．

得C：

圆心（﹣

∴圆心C的极坐标（1，）．

2）在圆C：

的圆心到直线l的距离为：

∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，

∴当r=2﹣时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．

点评：

本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．

17．选修4﹣4：

坐标系与参数方程2222

在直角坐标xOy中，圆C1：

x2+y2=4，圆C2：

（x﹣2）2+y2=4．

（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点

坐标（用极坐标表示）；

（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．

考点：

简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．

圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，

得：

ρ=2，，

故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．

故圆C1，C2的公共弦的参数方程为

或圆C1，C2的公共弦的参数方程为

从而于是圆C1，C2的公共弦的参数方程为

点评：

本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考查计算能力．