全国卷3理科数学试题及参考答案WORD版.docx
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全国卷3理科数学试题及参考答案WORD版
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试题类型：
新课标Ⅲ
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共24题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。
第I卷
一.选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合
，则S
T=
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】易得
，
，选D
【考点】解一元二次不等式、交集
（2）若
，则
A.1B.
C.
D.
【答案】C
【解析】易知
，故
，
，选C
【考点】共轭复数、复数运算
（3）已知向量
，
=（
，
），则
A.30°B.45°C.60°D.120°
【答案】A
【解析】法一：
，
法二：
可以B点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知
【考点】向量夹角的坐标运算
（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为
，B点表示四月的平均最低气温约为
.下面叙述不正确的是
A.各月的平均最低气温都在
以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于
的月份有5个
【答案】D
【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于
的月份有七月、八月，六月为
左右，故最多3个
【考点】统计图的识别
（5）若
，则
A.
B.
C.1D.
【答案】A
【解析】
【考点】二倍角公式、弦切互化、同角三角函数公式
（6）已知
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
，故
【考点】指数运算、幂函数性质
（7）执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=
A.3B.4C.5D.6
【答案】B
【解析】列表如下
4
2
6
-2
4
2
6
-2
4
6
4
6
4
6
0
6
10
16
20
0
1
2
3
4
【考点】程序框图
（8）在
中，
，
边上的高等于
则
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】如图所示，可设
，则
，
，
，由余弦定理知，
【考点】解三角形
（9）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
A.
B.
C.90D.81
【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面平行四边形，故表面积为
【考点】三视图、多面体的表面积
（10）在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，如图所示，则由切线长定理可知，内接圆的半径为2，
又
，所以内接球的半径为
，即
的最大值为
【考点】内接球半径的求法
（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：
的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.
P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】易得
【考点】椭圆的性质、相似
（12）定义“规范01数列”{an}如下：
{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（ ）
A．18个B．16个C．14个D．12个
【答案】C
【解析】
【考点】数列、树状图
第
卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：
本大题共3小题，每小题5分
（13）设x，y满足约束条件
，则
的最大值为________.
【答案】
【解析】三条直线的交点分别为
，代入目标函数可得
，故最小值为
【考点】线性规划
（14）函数
的图像可由函数
的图像至少向右平移______个单位长度得到.
【答案】
【解析】
，故可前者的图像可由后者向右平移
个单位长度得到
【考点】三角恒等变换、图像平移
（15）已知f（x）为偶函数，当
时，
，则曲线
在点
处的切线方程是______
【答案】
【解析】法一：
，
，
，故切线方程为
法二：
当
时，
，
，故切线方程为
【考点】奇偶性、导数、切线方程
（16）已知直线
：
与圆
交于
两点，过
分别作
的垂线与
轴交于
两点，若
，则
__________.
【答案】3
【解析】如图所示，作
于
，作
于
，
，即
，
∴直线l的倾斜角为30°
【考点】直线和圆、弦长公式
三.解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知数列
的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．
（1）证明
是等比数列，并求其通项公式；
（2）若
，求λ．
【答案】
（1）；
（2）
【解析】
解：
（1）
当
时，
即
，
即
即
，
∴
是等比数列，公比
，
当n=1时，
，
即
（2）若
则
【考点】等比数列的证明、由
求通项、等比数列的性质
（18）（本小题满分12分）
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：
亿吨）的折线图.
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：
参考数据：
，
，
，
≈2.646.
参考公式：
回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
【答案】
（1）见解析；
（2）
，1.82亿吨
【解析】
（1）由题意得
，
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归方程来拟合y与t的关系
（2）
所以
关于
的线性回归方程为
将
代入回归方程可得，
预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨
【考点】相关性分析、线性回归
（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（1）证明MN∥平面PAB；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】
（1）见解析；
（2）
【解析】
（1）由已知得
，取
的中点
，连接
，
由
为
中点知
，
.......3分
又
，故
平行且等于
，四边形
为平行四边形，
于是
.
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.........6分
（2）取
中点
，连接
，则易知
，又
面
，故可以
为坐标原点，以
为
轴，以
为
轴，以
为
轴建立空间直角坐标系，
则
故平面
的法向量
直线
与平面
所成角的正弦值为
【考点】线面平行证明、线面角的计算
（20）（本小题满分12分）
已知抛物线C：
y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.
（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
【答案】
（1）见解析；
（2）
【解析】
（1）法一：
由题设
.设
，则
，且
.
记过
两点的直线为
，则
的方程为
......3分
由于
在线段
上，故
.
记
的斜率为
，
的斜率为
，则
.
所以
.......5分
法二：
证明：
连接RF，PF，
由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，
∴∠PFQ=90°，
∵R是PQ的中点，
∴RF=RP=RQ，
∴△PAR≌△FAR，
∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，
∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，
∴∠FQB=∠PAR，
∴∠PRA=∠PQF，
∴AR∥FQ．
（2）设
与
轴的交点为
，
则
.
由题设可得
，所以
（舍去），
.
设满足条件的
的中点为
.
当
与
轴不垂直时，由
可得
.
而
，所以
.
当
与
轴垂直时，
与
重合.所以，所求轨迹方程为
.....12分
【考点】抛物线、轨迹方程
（21）（本小题满分12分）
设函数
，其中
，记
的最大值为
.
（1）求
；
（2）求
；
（3）证明：
.
【答案】见解析
【解析】
（1）
（2）当
时，
因此，
．
当
时，将
变形为
．
令
，则
是
在
上的最大值，
，
，且当
时，
取得极小值，
极小值为
．
令
，解得
（舍去），
．
当
时，
在
内无极值点，
，
，
，所以
．
当
时，由
，知
．
又
，所以
．
综上，
．
（3）由
（1）得
.
当
时，
.
当
时，
，所以
.
当
时，
，所以
.
【考点】导函数讨论单调性、不等式证明
请考生在22、23、24题中任选一题作答,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
如果多做,则按所做的第一题计分。
（22）（本小题满分10分）选修
：
几何证明选讲
如图，⊙O中
的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点。
（I）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
（II）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD。
【答案】见解析
【解析】
（1）连结
，则
.
因为
，所以
，又
，所以
.
又
，所以
，因此
.
（2）因为
，所以
，由此知
四点共圆，其圆心既在
的垂直平分线上，又在
的垂直平分线上，故
就是过
四点的圆的圆心，所以
在
的垂直平分线上，因此
.
【考点】几何证明选讲
（23）（本小题满分10分）选修
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