最新《线性代数》习题集含答案.docx
《最新《线性代数》习题集含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新《线性代数》习题集含答案.docx（60页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
最新《线性代数》习题集含答案
【1】填空题
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
答案:
【2】
（1）
A-3；
（2）
《线性代数》习题集（含答案）
二阶行列式
二阶行列式
二阶行列式
三阶行列式
三阶行列式
l.ab（a-b）
选择题
若行列式
B-2;C2;
若行列式
ab
cos
sin
abi
2a
A-1,.2;B
2.1
D3o
sin
cos
abi
3.a
=0，
.2；
3
4.x
则x=
则x=
（）。
（）o
第一章
3
z3xyz；5.4abc。
C1,、、2
1
298=（）。
3
23
（3）三阶行列式503201
52
A-70;B-63;C70;D82。
a
0
0
（4）行列式
0
a
b
0
b
a
b
0
0
2
b
0
0
a
=（）。
Aa4
b2
Cb
Da4b4。
0
1
0
L
0
0
2
L
（5）n阶行列式
M
M
M
0
0
0
L
n
0
0
L
0
0
M
n1
0
=（）。
/、n1
A0;Bn!
;C（-1）•n!
;D1?
n!
。
答案：
1.D;2.C;3.A;4.B;5.D。
【3】证明
byazbzaxbxay
xyz
bxaybyazbzax
（a3b3）
zxy
bzaxbxaybyaz
yzx
答案：
提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。
【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：
（1）134782695；
（2）217986354；（3）987654321。
答案：
（1）（134782695）=10,此排列为偶排列。
（2）（217986354）=18,此排列为偶排列。
（3）（987654321）=36，此排列为偶排列。
【5】计算下列的逆序数：
（1）135L（2n-1）246L（2n）；
（2）246L（2n）135L（2n-1）。
11
答案：
（1）—n（n-1）；
（2）—n（n+1）
22
【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：
a61a52a43a34a25a16
a15a23a32a44a51a66；
（2）a21a53a16a42a65a34；（3）
（1）正号；
（2）负号。
（1）
答案:
【7】
（1）
（4）
答案:
（3）
【8】
（1）
（4）
答案:
（4）
【9】
（1）
根据定义计算下列各行列式:
0；
（2）
a11
0
0
0
a22
a23
0
a32
a33
a41
0
0
a14
0
；（3）
0
a44
00
00
MM
0n1
n0
L
L
L
L
01
20
MM；
00
00
00L010
00L200
MMMMM
n10L000
00L00n
（1）5！
=120；
（2）
a11a44a14a41a22a33a23a32
a11a22a33a44
a14a22a33a41
3|1923332a44a14a22a33a41
n（n1）（n1）（n2）
（1）^?
n!
；（4）
（1）2n!
。
计算下列行列式：
1
3
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
5
3
4
；
（2）
1
3
1
1
；（3）
1
2
3
4
0
4
1
1
1
1
3
1
1
4
9
16
5
1
3
6
1
1
1
3
1
8
27
64
1
1
1
1
a
b
c
d
2
2
2
d2
0
a
b
c
3
3
3
d3
a
b
c
（1）-136；
（2）48；（3）12；
（b-a）（c-a）（d-a）（c-b）（d-b）（d-c）
计算下列n阶行列式:
1
0
0
L
0
1
1
1
1
L
1
1
1
0
L
0
0
1
2
2
L
2
0
1
1
L
0
0
；
（2）
1
2
3
L
3
M
M
M
M
M
1
M
M
M
M
0
0
0
L
1
1
1
2
3
L
n
答案:
（4）
1
2
3
L
n
3
2
2
L
2
-1
0
3
L
n
2
3
2
L
2
-1
-2
0
L
n
；（4）
2
2
3
L
2
M
M
M
M
1
M
M
M
M
-1
-2
-3
L
n
2
2
2
L
3
1
2
3
L
n
2
3
4
L
1
M
M
M
M
o
n1n
1
L
n2
n
1
2
L
n1
（3）
（5）
2
i
1+（
（1）
⑵
1；
1）n
2n+1;（5）
（-1）
【10】计算下列行列式:
（1）
（3）
（4）
答案:
（2）
n-1）
~2~
n为奇数
n为偶数
n+1n-1
n
2
（3）
n!
a1
a2
a3
an
3
b
b
M
a1
a2
a3
b2
b2
b2M
an
b2
a
b
0
L
0
0
0
a
b
L
0
0
；
（2）
0
0
a
L
0
0
M
M
M
M
M
0
0
0
L
a
b
b
0
0
L
0
a
（n阶）；
1）h
nh
a
a1a2a3
an
bn
bn
bnM
bn
2h
a
0
M
0
0
a1
0
0
M
（1）
an
aM00
a
M
0
0
a1
a2
0
M
a2
a3
M
0
0
0
M
an
1
n=2时，
行列式等于
（n
0
0
M
0
0
0
M
an
1
（b2-bj（a
0
0
M
0
2-a1）；n>3,行列式为0；
1
（1）n1bn；（3）（n1）（2anh）an；
n
（4）（i）n（n1）ai
i1
【11】计算n+1阶行列式:
011L
1d0L
1082L
MMM
100L
0
0（ai0；i=1,2,Ln）
M
答案:
8ng
i1
0；i1,2丄,n）.
x1x2x3x45
X1
2x2
X3
4x4
2
；
（2）
2为
3x2
X3
5x4
2
3为
X2
2x3
11x4
0
【12】解下列线性方程组:
（1）
4x2
6X3
4x4
5x5
0
x
X2-
4x3
6x4
5x5
0
4为
X2
X3
4x4
6X5
0
6%
4x>
X3
X4
4x5
0
4为
6x>
4x3
）X4
X5
0
o
答案：
（1）x11,x22,x33,x4
【13】计算n阶行列式
a为
a
a
L
a
a
ax2
a
L
a
D
a
a
aX3
L
a
M
M
M
M
a
a
a
L
a
于是D
nax^L—
1
L
Xn
Xn1
X1
【14】证明
2cos
1
0
L
1
2cos
1
L
0
1
2cos
L
Dn
M
M
M
0
0
0
L
0
0
0
L
⑵X1X2X3
&x50.
1
1
a
0
0
0
0
0
0
sinn1
M
M
sin
2cos
1
1
2cos
由归纳假设，得
sinn1Dn
sin
【15】计算五阶行列式
Xi
ai
ai
ai
ai
可以得到
a2
X2
a2
a2
a2
Xi
ai
ai
M
ai
【i6】证明
iai
i
Dn
a3a4a5
a3a4a5
X3a4a5
a3X4a5
*3*4X
a2a3L
an
X2a3L
an
n
a2X3L
an
i
MM
M
ii
a?
a3L
Xn
1i
L
i
ia2i
L
i
iia3L
i
MM
M
ii
L
ian
ai
Xiai
qa2L
an?
证明：
略
【i7].证明
ai
iiai
dt
aii（t）a2i（t）a3i（t）
%（t）a22（t）a32（t）弘⑴a23（t）a33（t）aii（t）a2i（t）a3i（t）ai2（t）a22（t）a32（t）ai3（t）a23（t）a33（t）
aii（t）
ai2（t）
an（t）
aii（t）
盹⑴
盹⑴
a‘2i（t）
a'22（t）
a‘23（t）
a2i（t）
a22（t）
a23（t）
a3i（t）
a32（t）
氐⑴
a3i（t）
a‘32（t）
a'33（t）
答案与提示:
提示将左边行列式按定义写成和的形式，再由和函数乘积的微分公式即得右边。
【18】
1
sin
1
.2sin
1
L
sin
n1
1
1
sin
2
.2sin
2
L
sin
n1
2
1
sin
3
.2sin
3
L
sin
n1
3
M
M
M
M
1
sin
n
.2sin
n
L
sin
n1
n
.计算n阶行列式:
（1）
1
1
n2cos
n1cos
（2）
n1
cos
n2
cos
cos
cos
n
cos
M
n2
cos
cos
答案与提示:
（1）
1jpin
（sin
isin
j）
n（n1）
2^
jpi
ij
cos
n
n（n-1）
（2）（-1）F
（cos
1jpin
icosj）
n（n1）
2^
jpi
【19】
1
1
0
0
0
1
x
X2
0
0
0
X3
a1
b1
1
1
1
G
a2
b2
X1
X2
X3
C2
；
a3
b3
2
X1
2
X2
2
X3
G
2
x
2
X2
0
0
0
X
n
a
n
a1
1b1
L
a
b：
1b：
n
a2
n
a2
1b2
L
a
1b；
M
M
M
M
n
an1
n
an
1S!
L
an
1b
1bn
1Ri1
.利用拉普拉斯定理计算下列行列式:
（2）
（3）
（ai
0,i
1,2,L,n1）；
a
O
O
（4）
b
N
b
b
N
N
ab
ba
a
O
答案与提示:
22
（2）（X2Xi）（X3X2）（X3
2
X2）;（3）（bjajqbj）
1jpini
（4）（a2b2）n
1
0
（1）
0
1
M
M
M
0
0
0
cos
1
0
0
2cos
1
（2）
0
1
2cos
M
M
M
0
0
0
【20].证明下列等式:
答案与提示:
L
0
0
L
0
0
n1
n1
L
0
0
；
L
0
0
L
0
0
L
0
0
cosn。
M
M
L
1
2cos
（1）提示：
将左边行列式展开可得递推公式，由此递推公式可得结论。
（2）提示：
用归纳法证。
【21】
（01403）设行列式D
2222
0-700
53-22
则第四行各元素余子式之和的值为（
【22】（96503）五阶行列式
1a
a
-a
0
a
0
0
0
0
-1
1-
d
0
■1
1-a
a
0
0
0
-1
1-a
a
0
0
0
-1
1-a
A的行列式A=1
，则行列式
第二章
【1】填空题设A是三阶方阵，A*是A的伴随矩阵,
（3A）12A。
【2】假设A=（aj）是一个n阶非零矩阵，且A的元素aj（i，j=l，2，L,n）均为实数。
已
知每一个元素aj都等于它自己的代数余子式，求证A的秩等于n,且当n3时A=1或-1。
【3】判断下列结论是否成立：
若成立，则说明理由；若不成立，则举出反例。
（1）若矩阵A的行列式A=0，则A=0；
（2）若AE=0，则A=E
（3）若A,B为两个n阶矩阵，则|AB|AB；
（4）若矩阵A0，B0，则AB0.
【4】设A,B为n阶方阵，问下列等式在什么条件下成立？
（1）（AB）2A22ABB2；
（2）（AB）（AB）A2B2；
【5】计算AB和AB-BA。
已知
3
1
1
1
1
1
（1）
A
2
1
2
，B
2
1
0
1
2
3
1
0
1
a
b
c
1
a
c
（2）
A
c
b
a
，B
1
b
b。
1
1
1
1
c
a
6
2
2
2
2
2
答案:
（1）
AB
6
1
0
，ABBA
2
0
0
8
1
2
4
4
2
（2）
AB
a2b2
2ac
2
c
b2
2ac
2a
b2
b2
c2
AB
BA
【6】
bac
cbc
c22a
计算下列矩阵乘积:
（1）2
答案：
（1）
【7】计算
答案：
提示:
cos
（2）
cos
sin
sin
cos
a2
b2
c2
ab
ax2
用数学归纳法可证
sin
2ac
2b
b2a2I
2ac
2c
a2
ab
bc
ac
（2）（x,y,
2bxycy2
2dx
并利用所得结果求
cos
sin
2c
sin
cos
2ey
cosnsinn
sinncosn
。
当时，
2
sin
cos
故01
cos2
sin2
【8】
【9】
（1）
sin2
cos2
已知
已知
A2，
B是n阶对称矩阵,
A是一个n阶对称矩阵,
B2都是对称矩阵;
证明
（2）
AB为对称矩阵的充分必要条件是
是一个n阶反对称矩阵，证明
AB=BA
AB-BA是对称矩阵；（3）AB+BA是反对称矩阵。
【10】求矩阵X,已知:
2
1
1
2
3
0
1
2
3
（1）
3
2
1
X
1
0
1
4
5
6；
1
0
1
2
1
1
3
1
2
2
4
7
6
10
20
（2）
3
X
1
3
1
0
9
3
1
4
2
0
4
3；
（2）X
0
2
2
答案：
（1）X
021
300
【11】已知矩阵A,求A的逆矩阵A1
021ab"亠
（1）A,其中ad-bc=1;
（2）A112
cd
111
1357
0123
（3）A
0012
0001
"宀1db
答案：
（1）A1;
（2）A
ca
131138
10127
（3）A1
0012
0001
【12】在下列矩阵方程中求矩阵X:
1235
（1）X
3459
31
答案：
（1）X2
7
2
2；
（2）X
1
2
2
1611
13
12
19
1
3
0
10
2
7
10
7
8
123
（2）224X
210
【13】证明若一个对称矩阵可逆，则它的矩阵也对称。
【14】假设方阵A满足矩阵方程A22A5E0,证明A可逆，并求A
答案：
提示：
由
A2
2A
5E
0得A-（A-2E）Eo
5
【15】填空题
2
1
3
（1）设矩阵A=
0
5
1,
12
则（A3E）（A9E）=
1
2
3
（2）设A是3阶数量矩阵，且A=-27，则A1=
（3）设A是4阶方阵，且A=-2，则A的伴随矩阵A*的
行列式A*=
5
-1
3
答案：
（1）0
8
1；
（2）
1
2
6
（3）-8
【16】选择题
（1）设A是n阶方阵，且满足等式A2A2E0,贝UA的逆矩阵是
11
（A）A-E;（B）E-A;（C）^（AE）；（D）^（EA）。
A、（AB）
C、（AB）
（2）设A,B是n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是
AB；D（AB）1
（1）nAB
（3）设A,B,C为n阶方阵，且ABC=E则必成立的等式为
A、ACB=E;B
CBA=E;CBAC=E;DBCA=E
（4）设A,B为n阶对称矩阵，m为大于1的自然数，则必为对称矩阵的是
A、Am;B、（AB）m;CAB;D、（AB）
（5）设A,B,A+B,A1+B1均为n阶可逆矩阵，则（A1+B1）等于
A、A1+B1；BA+B;CB（A
B）1A;D、（A
B）
（1）C;
（2）B;（3）D;（4）A;（5）C
112
224
（1）
306
030
10
20
;
（2）
11
01
10100
11000
01100。
00110
01011
…0
1
0
0
0
答案：
（1）
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
;
（2）0
0
1
0
0。
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
【17】求下列矩阵的秩
2531
17
43
1
2
3
4
7594
53
132
（1）
1
2
4
5
;（3）
7594
54
134
1
10
1
2
2532
20
48
47
67
35
201155
（4）
26
98
23
29486<
16
428
1
128452
答案：
（1）
r
（A）
=2;
（2）r（A）=2;
（3）r
（A）=3;（4）r（A）=2;
【18】求下列矩阵的标准形
【19】假设方阵A满足方程aA2bAcE
0,其中a，b,c是常数，而且Cm0，试证A是满
秩方阵，并求出其逆矩阵。
【20】选择题
1
2
3
（1）设矩阵A=
3
6
8，且r（A）=2，则t等于
2
4
t
A、-6;B、6;C
8;
Dt
为任何实数。
（2）设A是3阶方阵，若A2=0,
F列等式必成立的是
A、A=0;B、r（A）=2;C、A‘=0；DA0
（3）设A是mXn矩阵，且mA、AtA0；B、AtA0；C、AtAf0；D、ArAp0。
答
升级会员 