历年高考数学真题全国卷版.docx
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历年高考数学真题全国卷版
历年高考数学真题全国卷
版
TheponywasrevisedinJanuary2021
参考公式:
如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式
如果事件4B相互独立，那么.其中R表示球的半径
P（A・3）=P（A）・P（8）球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是〃，那么V=4
〃次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径
普通高等学校招生全国统一考试
一、选择题
1、
A2+1B2-1Cl+2iDl-2i2、巳知集合A={1.3.赤},B={1,m},AUB=A,则m=
A（）或有B（）或3Cl或6DI或33椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=4,则该椭圆的方程为
1612
B
三十二=1
128
CT+T=1nH+T=1
4巳知正四棱柱ABCD-AEGD1中，AB=2,CG=2应E为CG的中点，则直线
AC!
与平面BED的距离为
A2B有C&D1
（5）巳知等差数列｛aj的前n项和为Sn,as=5,Ss=15,则数列的前10（）项和为
嘴端©Qd调
（6）ZXABC中，AB边的高为CD,若人仇「彳*«a-b=0,|a|=l,|b|=2,则
祝
\K22.
-〃**一0一@一一D
（A）§3（B）3
3344A
-bkJ
（Q55（D）
（7）巳知a为第二象限角,
正
sina4-sinp=3,贝ijcos2a=
史.75
（A）3（B）9（C）
昱
O）3
（8）巳知Fl、F2为双曲线C:
x2-y2=2的左、右熏点，点P在C上,|PF1|=|2PF2|,则COS/F1PF2二
£334
（A）a（B）5（C）4（D）5
I
（9）巳知x=ki7：
y=log52,z=e2,则
（A）x（10）巳知函数y=x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c=
（A）-2或2（B）-9或3（C）-1或1（D）-3或1
（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有
（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种
（12）正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上，点F在边BC上，AE=BF=
7
动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反
弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为
（A）16（B）14（C）12（D）1（）
二。
填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。
（注意：
在试题卷上作答无效）
月一I20.
•k・y-3W0.
（13）若x,y满足约束条件"“3冷则2=3寸的最小值为
（14）当函数二sin”J3co$x（0於上〈加取得最大值时，x=o
（15）
若；的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的
系数为
（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAAl=CAAl=50e
则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为。
三.解答题：
（17）（本小题满分1（）分）（注意：
在试卷上作答无效）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,巳知cos（A-C）+cosB=l,
a=2c,求Co
（18）（本小题满分12分）（注意：
在试题卷
作答无效）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱
形，PA,底面ABCD,AC=2&,PA=2,E是上的一点，PE=2EC.
（I）证明：
PC,平面BED;
（五）设二面角A-PB-C为9（）。
，求PD与平面PBC所成角的大小。
19.（本小题满分12分）（注意：
在试题卷上作答无效）
乒乓球比赛规则规定：
一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。
每次发球，胜方得1分，负方得。
分。
设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立。
甲、乙的一局比赛中，甲先发球。
（D求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（口）4表示开始第4次发球时乙的得分，求；的期望。
（20）设函数f（x）=ax+cosx,x€[0,兀]。
（I）讨论f（x）的单调性；
（H）设f（x）21.（本小题满分12分）（注意：
在试卷上作答无效）
1
巳知抛物线C:
y=（x+l）2与圆M:
（X-1）2+
（2）2=r2（r>0）有一个公共点，且在
A处两曲线的切线为同一直线1.
（五）设m、n是异于1且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D,求D到1的距离。
22（本小题满分12分）（注意：
在京强工作告完数）
函数f（X）=X°-2x-3,定义数列｛xn｝如下：
Xi=2,Xn+l是过两点P（4,5）Qn（xn,f（xa））的直线PQn与X轴交点的横坐标。
（I）证明：
2（D）求数列｛Xj的通项公式。
高考数学（全国卷）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1.复数z=l+i,2为z的共辗复数，则会-”1=
（A）-2i（B）-i（C）i（D）2i
2.函数y=2«（xN0）的反函数为
22
（A）y=—（Xe/?
）（B）0）
（C）y=4x2（xe/?
）（D）y=4x2（x>0）
3.下面四个条件中，使。
>〃成立的充分而不必要的条件是
（A）a>b+\（B）a>b-\（C）a2>b2（D）/涉
4.设S”为等差数列｛〃“｝的前n项和，若4=1,公差4=2,工.2-1=24,则k=
（A）8（B）7（C）6（D）5
5.设函数/（x）=coss3>0）,将y=/（x）的图像向右平移g个单位长度后，所得的图像与原囱像重合，则G的最小值等于
（A）|（B）3（C）6（D）9
6.巳知直二面角点Aea.AC_L/,C为垂足，B£Q,BDJJ,D为垂足,若
AB=2,AC=BD=\,则D到平面ABC的距离等于
（A）车（B）4（C）省（D）1乙。
，
7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，
每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
（A）4种（B）10种（Q18种。
）20种
8.曲线），=/+1在点（0,2）处的切线与直线,，=0和y=x围成的三角形的面积为
112
（A）（B）i（C）I（D）1
一^J
9.设f（x）是周期为2的奇函数,当0X1时,/（x）=2x（l-x）,则/--=
（A）-；（B）-l（C）i（D）1
10.巳知抛物线C:
〉，2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A、B两点，则
cosZAFB=
4334
（A）-（B）-（C）--（D）--
，J
11.巳知平面a截一球面得圆M,过圆心M且与a成60二面角的平面?
截该球面得
圆N,脱该球面的半径为4.圆M的面积为4万，则圆N的面积为
（A）7万（B）94（C）IE（D）13江
12.设向量痴I满足同=M=1,力;=0=60,则,的最大值对于
（A）2（B）>/3（C）显（D）1二填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题
号的位置上,一题两空的题，其答案按先后次序填写.
13.（1-6广的二项展开式中，工的系数与丁的系数之差为
贝ijtan2a=
15.巳知巴、尼分别为双曲线C:
；-5=1的左、右焦点，点AeC,点M的坐标为（2,0）,AM为/耳人心的角平分线，则|4用=.
16.巳知点E、F分别在正方体488-48£乙的棱8与、CQ上，且8g=2反，
b=2FG厕面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于.
三、解答题：
本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分1（）分）
AA3C的内角A、B、C的对边分别为。
，仇八巳知4-。
=90,〃+。
=扬，求C
18.（本小题满分12分）
根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立。
（I）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（E）X表示该地的1（）0为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥S-ABCD中，48〃8,8。
_18侧面5八8为等边三角形，
AB=BC=2,CD=SD=L
（I）证明：
SO,平面SA3;
（II）求AB与平面SBC所成的角的大小。
20.（本小题满分12分）
设数列｛%｝满足4=。
，占一-£~=1"ft
（I）求｛4｝的通项公式；
（E）设“=匕四，记S“=£a，证明：
\21.（本小题满分12分）
巳知。
为坐标原点，F为椭圆C：
r+；=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率
为-0的直线/与C交于A、B两点，点P满足
OA+OB+OP=0.厂
（I）证明：
点P在C上；
（II）设点P关于点。
的对称点为Q,证明：
A、P、B、Q四点在同一个圆上。
22.（本小题满分12分）
（D设函数/（x）=ln（l+x）-三，证明：
当x>0时，/（x）>0
（U）从编号I至|J100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方
（9Y91
式连续抽取2（）次，设抽到的20个号码互不相同的概率为〃，证明：
〃110；e-
普通高等学校招生全国统一考试
一.选择题
⑴复数卷=2-3/
（A》（B）-/（Q12-13/（D）12+13/
（2）记cos（-80°）=k，那么tan100°=
、VTFn「k门k
C.O.C.--1）.—
kkJl-k?
Jl-k?
y«i，
⑶若变量苍V满足约束条件,x+y>0,则z=x-2y的最大值为
x-y-2<0,
（A）4⑻3（C）2（0）1
（4）巳知各项均为正数的等比数列{%},%。
2。
3=5,=10,则a4asa6=
.（A）5点（B）7（C）6（D）4a/2
（5）（1+26）3（1-力）5的展开式中x的系数是
（A）-4（B）-2（C）2（D）4
⑹某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一.门，则不同的选法共有
（A）30种（B）35种（C）42种（D）48种⑺正方体ABCD-ASGR中，Bq与平面ACQ所成角的余弦值为
2
⑻设a=log32,b=In2,c=52则
Aa（9）巳知巴、耳为双曲线C:
/-y2=i的左、右焦点，点「在c上，/fiPf2=6O°,则P到x轴的距离为
（A）W（B）手（C）6（D）而
（10）巳知函数F（x）=|lgx|,若0（A）（2&,+oo）（B）[2V2,+co）（C）（3,+s）（D）[3,+oo）
（ID巳知圆。
的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么万•加的最小值为
.（A）-4+>/2（B）-3+>/2（C）-4+272（D）-3+2x/2
（12）巳知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体
ABCD的体积的最大值为
（A）里（B）*（C）2/（D）丝
J，
二.填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.
（注意：
在试题卷上作答无效）
（13）不等式J"+l-X《1的解集是.
（14）巳知a为第三象限的角，cos2a=Tmhan（f+2a）=
54
（15）直线y=1与曲线y=x2-\x\+a有四个交点，则a的取值范围是.
（16）巳知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D,且屈=2由，则C的离心率为.
三.解答题：
本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）巳知AABC的内角A,B及其对边〃，b满足〃+b=acot4+〃cot8,求内角C.
（18）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为。
.5,复审的稿件能通过评审的概率为（）.3.各专家独立评审.
（1）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率;
（11）记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望.
（19）（本小题满分12分）（注意：
在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥S-ABCD中，SD_L底面ABCD,AB//DC,AD1DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点，平面EDC_L平面SBC.
作答无
（I）证明：
SE=2EB;
（n）求二面角A-DE-C的大小.
（20）（本小题满分12分）（注意：
在试题卷上
效）
巳知函数/（x）=（x+l）lnx-x+l.
（I）若旷@）
（n）证明：
（x-i）/（x）zo.
（21）（本小题满分12分）（注意：
在试题卷上作答无效）
巳知抛物线C：
y2=4x的焦点为F,过点K（-1,0）的直线/与C相交于A、8两点，点A关于x轴的对称点为D.
（I.）证明：
点F在直线BD上;
CII）设瓦•屈求的内切圆M的方程.9
（22）（本小题满分12分）（注意：
在试题卷上作答无效）
巳知数列{4}中，ax=1,6/„+1=c-^~.
（I）设。
=g也=7二，求数列也}的通项公式；
（n）求使不等式见<<3成立的。
的取值范围.
普通高等学校招生全国统一考试
一、选择题
⑴设集合A=（4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U二A|JB,则集合
（AQB）中的元素共有
（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个
7
（2）巳知==2+1厕复数z二1+1
（A）-l+3i（B）l-3i（C）3+l（D）3-i
⑶不等式I日|<1的解集为
（A）{x|0〈Ml}U{木〉J（B）{x|O（C）{41〈双0}（D）{中〈0}
⑷设双曲线E-R=l（a>0,b>0）的渐近线与抛物线y=x?
+l相切，则该双曲线的CTD
离心率等于
（A）有（B）2（C）小（D）而
⑸甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
若从甲、乙两
组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有
（A）150种（B）180种（C）300种（0）345种
（6）设“、b、c是单位向量，且。
b=0,则（。
-的最小值为
（A）-2（B）x/2-2（C）-1（D）l-V2
（7）巳知三棱柱ABC-A内G的侧棱与底面边长都相等，A在底面A8C上的射影为
BC的中点，则异面直线AB与CC,所成的角的余弦值为
（A）乎（B）李（C）4（D）|4444
（8）如果函数y=3cos（2叶0）的图像关于点,0）中心对称，那么同的最小值为
（A）三（B）£（C）三（D）]
6432
（9）巳知直线y=x+l与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为
（A）l
（B）2
（C）-1（D）-2
（10）巳知二面角娟平为60。
，动点P、Q分别在面a、p内，P至并的距离为6,Q到“的距离为26,则P、Q两点之间距离的最小值为
（A）V2（B）2（C）2/（0）4
（11）函数/（X）的定义域为R,若/（X+D与/*-1）都是奇函数，则
（A）/1）是偶函数（B）/（x）是奇函数
（C）f（x）=f（x+2）（D）/（x+3）是奇函数
（12）巳知椭圆C:
g+y2=i的又焦点为凡右准线为“点人仁心线段从厂交。
与点瓦若苏=3而厕府卜
（A）点（B）2（C）6（D）3
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.
（注意：
在试题卷上作答无效）
（13）（x-y严的展开式中，的系数与工3炉的系数之和等于
（14）设等差数列｛〃“｝的前n项和为5”.若5产72则a2+a4+a9=.
（15）直三棱柱ABC-A8£各顶点都在同一球面上.若AB=AC=AAi=2,/BAC=120,则此球的表面积等于
（16）若：
〈乂〈£,则函数y=tan2xtan5x的最大值为.
42
三、解答题：
本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分1。
分）
（注意：
在试题卷上作答无效）
在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,巳知a2-c2=2b,且
sinAcosC=3cosAsinC,求b.
18.（本小题满分12分）
（注意：
在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为矩形，SD_L底面ABCD,AD=点，DC=SD=2.点M在侧棱SC上，/ABM=6（）°.
（I）证明：
M是侧棱SC的中点；
（n）求二面角S—AM—B的大小。
（19）（本小题满分12分）（注意：
在试题卷上作答无效）
甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结
束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立。
巳知前2局中，甲、乙各胜1局。
（1）求甲获得这次比赛胜利的概率;
（2）设，表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求，的分布列及数学期
（20）（本小题满分12分）（注意：
在试题卷上作答无效）
在数列也｝中，q=L*尸答.
（I）设2=蓝，求数列也｝的通项公式；
（II）求数列也｝的前〃项和6
21.（本小题满分12分）（注意：
在试题卷上作答y
无效）
如图,巳知抛物线已切=」与圆
M:
（x-4）2+），2=/（=>0）相交于4B、C、。
四个点。
（1）求，•的取值范围：
（11）当四边形A8CO的面积最大时，求对角线
A、B、C、。
的交点〃的坐标。
22.（本小题满分12分）（注意：
在试题卷上作答无效）
设函数/（工）=丁+3法2+30l有两个极值点％,x2e[-l,0],Kx2e[l,2].
（I）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b,c）和区域；
（U）证明：
—10Wf（X2）W-,2
普通高等学校招生全国统一考试
一、选择题
1.函数丁=师1+«的定义域为（）
A.{xlx2。
}B.{xlx21}
C.{xIx三1}U{。
}D.{x10WxW1}
2.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间,的函数，其图像可能是（）
3.在△A3C中，AB=c,AC=b.若点。
满足丽=2皮，则茄=（）
215221
A.-b+-cB.-c^-bC.—b——c
333333
4.设〃wR,且S+成为正实数,则。
=（）
A.2
B.1
C.0
D.-1
5.巳知等差数列｛%｝满足/+%=4,%+%=10,贝IJ它的前10项的和Sw=（）
A.138B.135C.95D.23
6.若函数y=/（x-l）的图像与函数y=lnG+l的图像关于直线y=x对称，则/"）=（）
A./iB.C.黯向D.e2x+2
7.设曲线），=二在点（3,2）处的切线与直线以+），+1=0垂直，则”=（）x-1
A.2B.-C.--D・-2
22
8.为得到函数厂时2.旧卜勺图像，只需将函数产sin2x的图像（）
A.向左平移斜个长度单位B.向右平移得个长度单位
C.向左平移号个长度单位D.向右平移二个长度单位
66
9.设奇函数/*）在（0，+s）上为增函数，且/⑴=0,贝、不等式•/"）二八二）<0的解X
集为（）
A.（-1,0）U（1，+s）B.（f-1）U（04）
C.（yo,—l）U（L+s）
D.（-1,0）U（04）
10.若直线2+）=1通过点M（8sa,sina）,则（）ab
A.cr+b2
B.a2+b2^\
111V1
C・—+~T、1
crlr
D.-1+4^1
（Tb2
11.巳知三棱柱ABC-A百G的侧棱与底面边长都相等，A在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则A4与底面ABC所成角的正弦值等于（）
A-1
12.如图,
一环形花坛分成A,B,C,。
四块，现有4种不同的花供选种，要求在
每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）
A.96B.84C.60D.48
第1卷
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共2（）分.把答案填在题中横线上.
x+y20,
13.13.若x,y满足约束条件r-y+320,则z=2x-y的最大值为.0WxW3,
14.巳知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为.
7
15.在△ABC中，AB=BC,cosB=--i.若以A,8为焦点的椭圆经过点C,则该
18
椭圆的离心率。
=
16.等边三角形ABC与正方形A8Z汨有一公共边A8,二面角C-A3-。
的余弦值为
4,M,N分别是AG8C的中点，则EM,4V所成角的余弦值等于.
三、解答题：
本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分1。
分）
（I）求tanAcotB的值;
（口）求tan（A-8）的最大值.
18.（本小题满分1
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