B”是“a>5”的________.
解析:
结合数轴若A?
B?
a≥4,故“A?
B”是“a>5”的必要但不充分条件.答案:
必要不充分条件
8.(2010年江苏启东模拟)设集合M={m|m=2n,n∈N,且m<500},则M中所有元素的和为________.
解析:
∵2n<500,∴n=0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M中所有元素的和S=1+2+22+…+28=511.答案:
511
9.(2009年高考北京卷)设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1?
A,且k+1?
A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个.
解析:
依题可知,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”,这三个元素一定是相连的三个数.故这样的集合共有6个.答案:
6
10.已知A={x,xy,lg(xy)},B={0,|x|,y},且A=B,试求x,y的值.
解:
由lg(xy)知,xy>0,故x≠0,xy≠0,于是由A=B得lg(xy)=0,xy=1.
∴A={x,1,0},B={0,|x|,}.
于是必有|x|=1,=x≠1,故x=-1,从而y=-1.
11.已知集合A={x|x2-3x-10≤0},
(1)若B?
A,B={x|m+1≤x≤2m-1},求实数m的取值范围;
(2)若A?
B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值范围;
(3)若A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值范围.
解:
由A={x|x2-3x-10≤0},得A={x|-2≤x≤5},
(1)∵B?
A,∴①若B=?
,则m+1>2m-1,即m<2,此时满足B?
A.
②若B≠?
,则解得2≤m≤3.
由①②得,m的取值范围是(-∞,3].
(2)若A?
B,则依题意应有解得故3≤m≤4,
∴m的取值范围是[3,4].
(3)若A=B,则必有解得m∈?
.,即不存在m值使得A=B.
12.已知集合A={x|x2-3x+2≤0},B={x|x2-(a+1)x+a≤0}.
(1)若A是B的真子集,求a的取值范围;
(2)若B是A的子集,求a的取值范围;
(3)若A=B,求a的取值范围.
解:
由x2-3x+2≤0,即(x-1)(x-2)≤0,得1≤x≤2,故A={x|1≤x≤2},
而集合B={x|(x-1)(x-a)≤0},
(1)若A是B的真子集,即AB,则此时B={x|1≤x≤a},故a>2.
(2)若B是A的子集,即B?
A,由数轴可知1≤a≤2.
(3)若A=B,则必有a=2
第二节集合的基本运算
A组
1.(2009年高考浙江卷改编)设U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∩?
UB=____.
解析:
?
UB={x|x≤1},∴A∩?
UB={x|0{x|02.(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合?
U(A∩B)中的元素共有________个.
解析:
A∩B={4,7,9},A∪B={3,4,5,7,8,9},?
U(A∩B)={3,5,8}.答案:
3
3.已知集合M={0,1,2},N={x|x=2a,a∈M},则集合M∩N=________.
解析:
由题意知,N={0,2,4},故M∩N={0,2}.答案:
{0,2}
4.(原创题)设A,B是非空集合,定义A?
B={x|x∈A∪B且x?
A∩B},已知A={x|0≤x≤2},B={y|y≥0},则A?
B=________.
解析:
A∪B=[0,+∞),A∩B=[0,2],所以A?
B=(2,+∞).
答案:
(2,+∞)
5.(2009年高考湖南卷)某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.
解析:
设两项运动都喜欢的人数为x,画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3,∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人).答案:
12
6.(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A={x|x>1},集合B={x|m≤x≤m+3}.
(1)当m=-1时,求A∩B,A∪B;
(2)若B?
A,求m的取值范围.
解:
(1)当m=-1时,B={x|-1≤x≤2},∴A∩B={x|1(2)若B?
A,则m>1,即m的取值范围为(1,+∞)
B组
1.若集合M={x∈R|-3 解析:
因为集合N={-1,0,1,2},所以M∩N={-1,0}.答案:
{-1,0}
2.已知全集U={-1,0,1,2},集合A={-1,2},B={0,2},则(?
UA)∩B=________.
解析:
?
UA={0,1},故(?
UA)∩B={0}.答案:
{0}
3.(2010年济南市高三模拟)若全集U=R,集合M={x|-2≤x≤2},N={x|x2-3x≤0},则M∩(?
UN)=________.
解析:
根据已知得M∩(?
UN)={x|-2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}={x|-2≤x<0}.答案:
{x|-2≤x<0}
4.集合A={3,log2a},B={a,b},若A∩B={2},则A∪B=________.
解析:
由A∩B={2}得log2a=2,∴a=4,从而b=2,∴A∪B={2,3,4}.
答案:
{2,3,4}
5.(2009年高考江西卷改编)已知全集U=A∪B中有m个元素,(?
UA)∪(?
UB)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为________.
解析:
U=A∪B中有m个元素,
∵(?
UA)∪(?
UB)=?
U(A∩B)中有n个元素,∴A∩B中有m-n个元素.答案:
m-n
6.(2009年高考重庆卷)设U={n|n是小于9的正整数},A={n∈U|n是奇数},B={n∈U|n是3的倍数},则?
U(A∪B)=________.
解析:
U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={3,6},∴A∪B={1,3,5,6,7},
得?
U(A∪B)={2,4,8}.答案:
{2,4,8}
7.定义A?
B={z|z=xy+,x∈A,y∈B}.设集合A={0,2},B={1,2},C={1},则集合(A?
B)?
C的所有元素之和为________.
解析:
由题意可求(A?
B)中所含的元素有0,4,5,则(A?
B)?
C中所含的元素有0,8,10,故所有元素之和为18.答案:
18
8.若集合{(x,y)|x+y-2=0且x-2y+4=0}{(x,y)|y=3x+b},则b=________.
解析:
由?
点(0,2)在y=3x+b上,∴b=2.
9.设全集I={2,3,a2+2a-3},A={2,|a+1|},?
IA={5},M={x|x=log2|a|},则集合M的所有子集是________.
解析:
∵A∪(?
IA)=I,∴{2,3,a2+2a-3}={2,5,|a+1|},∴|a+1|=3,且a2+2a-3=5,解得a=-4或a=2,∴M={log22,log2|-4|}={1,2}.
答案:
?
,{1},{2},{1,2}
10.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}.
(1)若A∩B={2},求实数a的值;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
解:
由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A={1,2}.
(1)∵A∩B={2},∴2∈B,代入B中的方程,得a2+4a+3=0?
a=-1或a=-3;当a=-1时,B={x|x2-4=0}={-2,2},满足条件;当a=-3时,B={x|x2-4x+4=0}={2},满足条件;综上,a的值为-1或-3.
(2)对于集合B,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).∵A∪B=A,∴B?
A,
①当Δ<0,即a<-3时,B=?
满足条件;②当Δ=0,即a=-3时,B={2}满足条件;③当Δ>0,即a>-3时,B=A={1,2}才能满足条件,则由根与系数的关系得
?
矛盾.综上,a的取值范围是a≤-3.
11.已知函数f(x)=的定义域为集合A,函数g(x)=lg(-x2+2x+m)的定义域为集合B.
(1)当m=3时,求A∩(?
RB);
(2)若A∩B={x|-1 解:
A={x|-1
(1)当m=3时,B={x|-1RB={x|x≤-1或x≥3},
∴A∩(?
RB)={x|3≤x≤5}.
(2)∵A={x|-1 ∴有-42+2×4+m=0,解得m=8,此时B={x|-212.已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}.
(1)若A=?
,求实数a的取值范围;
(2)若A是单元素集,求a的值及集合A;
(3)求集合M={a∈R|A≠?
}.
解:
(1)A是空集,即方程ax2-3x+2=0无解.
若a=0,方程有一解x=,不合题意.
若a≠0,要方程ax2-3x+2=0无解,则Δ=9-8a<0,则a>.
综上可知,若A=?
,则a的取值范围应为a>.
(2)当a=0时,方程ax2-3x+2=0只有一根x=,A={}符合题意.
当a≠0时,则Δ=9-8a=0,即a=时,
方程有两个相等的实数根x=,则A={}.
综上可知,当a=0时,A={};当a=时,A={}.
(3)当a=0时,A={}≠?
.当a≠0时,要使方程有实数根,
则Δ=9-8a≥0,即a≤.
综上可知,a的取值范围是a≤,即M={a∈R|A≠?
}={a|a≤}
第二章函数
第一节对函数的进一步认识
A组
1.(2009年高考江西卷改编)函数y=的定义域为________.
解析:
?
x∈[-4,0)∪(0,1]
答案:
[-4,0)∪(0,1]
2.(2010年绍兴第一次质检)如图,函数f(x)的图象是曲线段OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f()的值等于________.
解析:
由图象知f(3)=1,f()=f
(1)=2.答案:
2
3.(2009年高考北京卷)已知函数f(x)=若f(x)=2,则x=________.
解析:
依题意得x≤1时,3x=2,∴x=log32;
当x>1时,-x=2,x=-2(舍去).故x=log32.答案:
log32
4.(2010年黄冈市高三质检)函数f:
{1,}→{1,}满足f[f(x)]>1的这样的函数个数有________个.
解析:
如图.答案:
1
5.(原创题)由等式x3+a1x2+a2x+a3=(x+1)3+b1(x+1)2+b2(x+1)+b3定义一个映射f(a1,a2,a3)=(b1,b2,b3),则f(2,1,-1)=________.
解析:
由题意知x3+2x2+x-1=(x+1)3+b1(x+1)2+b2(x+1)+b3,
令x=-1得:
-1=b3;
再令x=0与x=1得,
解得b1=-1,b2=0.
答案:
(-1,0,-1)
6.已知函数f(x)=
(1)求f(1-),f{f[f(-2)]}的值;
(2)求f(3x-1);(3)若f(a)=,求a.
解:
f(x)为分段函数,应分段求解.
(1)∵1-=1-(+1)=-<-1,∴f(-)=-2+3,
又∵f(-2)=-1,f[f(-2)]=f(-1)=2,∴f{f[f(-2)]}=1+=.
(2)若3x-1>1,即x>,f(3x-1)=1+=;
若-1≤3x-1≤1,即0≤x≤,f(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2;
若3x-1<-1,即x<0,f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1.
∴f(3x-1)=
(3)∵f(a)=,∴a>1或-1≤a≤1.
当a>1时,有1+=,∴a=2;
当-1≤a≤1时,a2+1=,∴a=±.
∴a=2或±.
B组
1.(2010年广东江门质检)函数y=+lg(2x-1)的定义域是________.
解析:
由3x-2>0,2x-1>0,得x>.答案:
{x|x>}
2.(2010年山东枣庄模拟)函数f(x)=则f(f(f()+5))=_.
解析:
∵-1≤≤2,∴f()+5=-3+5=2,∵-1≤2≤2,∴f
(2)=-3,
∴f(-3)=(-2)×(-3)+1=7.答案:
7
3.定义在区间(-1,1)上的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),则f(x)的解析式为________.
解析:
∵对任意的x∈(-1,1),有-x∈(-1,1),
由2f(x)-f(-x)=lg(x+1),①
由2f(-x)-f(x)=lg(-x+1),②
①×2+②消去f(-x),得3f(x)=2lg(x+1)+lg(-x+1),
∴f(x)=lg(x+1)+lg(1-x),(-1 答案:
f(x)=lg(x+1)+lg(1-x),(-14.设函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x)+1,则函数y=f(x)与y=x图象交点的个数可能是________个.
解析:
由f(x+1)=f(x)+1可得f
(1)=f(0)+1,f
(2)=f(0)+2,f(3)=f(0)+3,…本题中如果f(0)=0,那么y=f(x)和y=x有无数个交点;若f(0)≠0,则y=f(x)和y=x有零个交点.答案:
0或无数
5.设函数f(x)=,若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则f(x)的解析式为f(x)=________,关于x的方程f(x)=x的解的个数为________个.
解析:
由题意得
,
∴f(x)=.
由数形结合得f(x)=x的解的个数有3个.
答案:
3
6.设函数f(x)=logax(a>0,a≠1),函数g(x)=-x2+bx+c,若f(2+)-f(+1)=,g(x)的图象过点A(4,-5)及B(-2,-5),则a=__________,函数f[g(x)]的定义域为__________.
答案:
2 (-1,3)
7.(2009年高考天津卷改编)设函数f(x)=,则不等式f(x)>f
(1)的解集是________.
解析:
由已知,函数先增后减再增,当x≥0,f(x)>f
(1)=3时,令f(x)=3,
解得x=1,x=3.故f(x)>f
(1)的解集为0≤x<1或x>3.
当x<0,x+6=3时,x=-3,故f(x)>f
(1)=3,解得-33.
综上,f(x)>f
(1)的解集为{x|-33}.答案:
{x|-33}
8.(2009年高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(3)的值为________.
解析:
∵f(3)=f
(2)-f
(1),又f
(2)=f
(1)-f(0),∴f(3)=-f(0),∵f(0)=log24=2,∴f(3)=-2.答案:
-2
9.有一个有进水管和出水管的容器,每单位时间进水量是一定的,设从某时刻开始,5分钟内只进水,不出水,在随后的15分钟内既进水,又出水,得到时间x与容器中的水量y之间关系如图.再随后,只放水不进水,水放完为止,则这段时间内(即x≥20),y与x之间函数的函数关系是________.
解析:
设进水速度为a1升/分钟,出水速度为a2升/分钟,则由题意得,得,则y=35-3(x-20),得y=-3x+95,又因为水放完为止,所以时间为x≤,又知x≥20,故解析式为y=-3x+95(20≤x≤).答案:
y=-3x+95(20≤x≤)
10.函数f(x)=.
(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)的定义域为[-2,1],求实数a的值.
解:
(1)①若1-a2=0,即a=±1,
(ⅰ)若a=1时,f(x)=,定义域为R,符合题意;
(ⅱ)当a=-1时,f(x)=,定义域为[-1,+∞),不合题意.
②若1-a2≠0,则g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6为二次函数.
由题意知g(x)≥0对x∈R恒成立,
∴∴
∴-≤a<1.由①②可得-≤a≤1.
(2)由题意知,不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0的解集为[-2,1],显然1-a2≠0且-2,1是方程(1-a2)x2+3(1-a)x+6=0的两个根.
∴∴∴a=2.
11.已知f(x+2)=f(x)(x∈R),并且当x∈[-1,1]时,f(x)=-x2+1,求当x∈[2k-1,2k+1](k∈Z)时、f(x)的解析式.
解:
由f(x+2)=f(x),可推知f(x)是以2为周期的周期函数.当x∈[2k-1,2k+1]时,2k-1≤x≤2k+1,-1≤x-2k≤1.∴f(x-2k)=-(x-2k)2+1.
又f(x)=f(x-2)=f(x-4)=…=f(x-2k),
∴f(x)=-(x-2k)2+1,x∈[2k-1,2k+1],k∈Z.
12.在2008年11月4日珠海航展上,中国自主研制的ARJ21支线客机备受关注,接到了包括美国在内的多国订单.某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务,已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置配套组成,每个工人每小时能加工6个C型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置,设加工C型装置的工人有x位,他们加工完C型装置所需时间为g(x),其余工人加工完H型装置所需时间为h(x).(单位:
h,时间可不为整数)
(1)写出g(x),h(x)的解析式;
(2)写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式;
(3)应怎样分组,才能使完成总任务的时间最少?
解:
(1)g(x)=(0
(2)f(x)=(3)分别为86、130或87、129.
第二节函数的单调性
A组
1.(2009年高考福建卷改编)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1f(x2)”的是________.
①f(x)= ②f(x)=(x-1)2③f(x)=ex ④f(x)=ln(x+1)
解析:
∵对任意的x1,x2∈(0,+∞),当x1f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上为减函数.答案:
①
2.函数f(x)(x∈R)的图象如右图所示,则函数g(x)=f(logax)(0 解析:
∵0 由0≤logax≤≤x≤1.答案:
[,1](或(,1))
3.函数y=+的值域是________.
解析:
令x=4+sin2α,α∈[0,],y=sinα+cosα=2sin(α+),∴1≤y≤2.
答案:
[1,2]
4.已知函数f(x)=|ex+|(a∈R)在区间[0,1]上单调递增,则实数a的取值范围__.
解析:
当a<0,且ex+≥0时,只需满足e0+≥0即可,则-1≤a<0;当a=0时,f(x)=|ex|=ex符合题意;当a>0时,f(x)=ex+,则满足f′(x)=ex-≥0在x∈[0,1]上恒成立.只需满足a≤(e2x)min成立即可,故a≤1,综上-1≤a≤1.
答案:
-1≤a≤1
5.(原