答案 A
命题点一 库仑定律的理解和应用
1.库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用.
2.对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离.
3.对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图5所示.
图5
（1）同种电荷：
F＜k
；
（2）异种电荷：
F＞k
.
4.不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看做点电荷了.
例1
已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同.如图6所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R.现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V＝
πr3，则A点处检验电荷q受到的电场力的大小为（ ）
图6
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 实心大球对q的库仑力F1＝
，挖出的实心小球的电荷量Q′＝
Q＝
，实心小球对q的库仑力F2＝
＝
，则检验电荷q所受的电场力F＝F1－F2＝
，选项B正确.
变式1
科学研究表明，地球是一个巨大的带电体，而且表面带有大量的负电荷.如果在距离地球表面高度为地球半径一半的位置由静止释放一个带负电的尘埃，恰好能悬浮在空中，若将其放在距离地球表面高度与地球半径相等的位置时，则此带电尘埃将（ ）
A.向地球表面下落
B.远离地球向太空运动
C.仍处于悬浮状态
D.无法判断
答案 C
命题点二 库仑力作用下的平衡问题
涉及库仑力的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了库仑力，具体步骤如下：
注意库仑力的方向：
同性相斥，异性相吸，沿两电荷连线方向.
例2
（多选）如图7所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角为θ.一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行.小球A的质量为m、电荷量为q.小球A的右侧固定放置带等量同种电荷的小球B，两球心的高度相同、间距为d.静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球可视为点电荷.小球A静止在斜面上，则（ ）
图7
A.小球A与B之间库仑力的大小为
B.当
＝
时，细线上的拉力为0
C.当
＝
时，细线上的拉力为0
D.当
＝
时，斜面对小球A的支持力为0
答案 AC
解析 根据库仑定律，A、B球间的库仑力大小F库＝k
，选项A正确；小球A受竖直向下的重力mg、水平向左的库仑力F库＝
，由平衡条件知，当斜面对小球的支持力
FN的大小等于重力与库仑力的合力大小时，细线上的拉力等于零，如图所示，则
＝tanθ，所以
＝
，选项C正确，选项B错误；斜面对小球的支持力FN始终不会等于零，选项D错误.
变式2
如图所示，甲、乙两带电小球的质量均为m，所带电荷量分别为＋q和－q，两球间用绝缘细线2连接，甲球用绝缘细线1悬挂在天花板上，在两球所在空间有沿水平方向向左的匀强电场，场强为E，且有qE＝mg，平衡时细线都被拉直.则平衡时的可能位置是哪个图（ ）
答案 A
解析 先用整体法，把两个小球及细线2视为一个整体.整体受到的外力有竖直向下的重力2mg、水平向左的电场力qE、水平向右的电场力qE和细线1的拉力FT1.由平衡条件知，水平方向受力平衡，细线1的拉力FT1一定与重力2mg等大反向，即细线1一定竖直.再隔离分析乙球，如图所示.乙球受到的力为：
竖直向下的重力mg、水平向右的电场力qE、细线2的拉力FT2和甲球对乙球的吸引力F引.要使乙球所受合力为零，细线2必须倾斜.设细线2与竖直方向的夹角为θ，则有tanθ＝
＝1，θ＝45°，故A图正确.
变式3
（多选）如图8所示，用两根长度相同的绝缘细线把一个质量为0.1kg的小球A悬挂在水平板的M、N两点，A上带有Q＝3.0×10－6C的正电荷.两线夹角为120°，两线上的拉力大小分别为F1和F2.A的正下方0.3m处放有一带等量异种电荷的小球B，B与绝缘支架的总质量为0.2kg（重力加速度g取10m/s2；静电力常量k＝9.0×109N·m2/C2，A、B球可视为点电荷），则（ ）
图8
A.支架对地面的压力大小为2.0N
B.两线上的拉力大小F1＝F2＝1.9N
C.将B水平右移，使M、A、B在同一直线上，此时两线上的拉力大小F1＝1.225N，F2＝1.0N
D.将B移到无穷远处，两线上的拉力大小F1＝F2＝0.866N
答案 BC
解析 小球A、B间的库仑力为F库＝k
＝9.0×109×
N＝0.9N，以B和绝缘支架整体为研究对象，受力分析图如图甲所示，地面对支架的支持力为FN＝mg－F库＝1.1N，由牛顿第三定律知，A错误；以A球为研究对象，受力分析图如图乙所示，F1＝F2＝mAg＋F库＝1.9N，B正确；B水平向右移，当M、A、B在同一直线上时，由几何关系知A、B间距为r′＝0.6m，F库′＝k
＝0.225N，以A球为研究对象，受力分析图如图丙所示，可知F2′＝1.0N，F1′－F库′＝1.0N，F1′＝1.225N，所以C正确；将B移到无穷远，则F库″＝0，可求得F1″＝F2″＝1.0N，D错误.
命题点三 电场强度的理解和计算
类型1 点电荷电场强度的叠加及计算
1.电场强度的性质
矢量性
规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点场强的方向
唯一性
电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷（场源电荷）及空间位置
叠加性
如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的场强是各场源电荷单独存在时在该点所产生的场强的矢量和
2.三个计算公式
公式
适用条件
说明
定义式
E＝
任何电场
某点的场强为确定值，大小及方向与q无关
决定式
E＝k
真空中点电荷的电场
E由场源电荷Q和场源电荷到某点的距离r决定
关系式
E＝
匀强电场
d是沿电场方向的距离
3.等量同种和异种点电荷的电场强度的比较
比较项目
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线的分布图
连线中点O处的场强
连线上O点场强最小，指向负电荷一方
为零
连线上的场强大小（从左到右）
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿中垂线由O点向外场强大小
O点最大，向外逐渐变小
O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称的A与A′，B与B′的场强
等大同向
等大反向
例3
如图9所示，在水平向右、大小为E的匀强电场中，在O点固定一电荷量为Q的正电荷，A、B、C、D为以O为圆心、半径为r的同一圆周上的四点，B、D连线与电场线平行，A、C连线与电场线垂直.则（ ）
图9
A.A点的电场强度大小为
B.B点的电场强度大小为E－k
C.D点的电场强度大小不可能为0
D.A、C两点的电场强度相同
答案 A
解析 ＋Q在A点的电场强度沿OA方向，大小为k
，所以A点的合电场强度大小为
，A正确；同理，B点的电场强度大小为E＋k
，B错误；如果E＝k
，则D点的电场强度为0，C错误；A、C两点的电场强度大小相等，但方向不同，D错误.
变式4
（2015·山东理综·18）直角坐标系xOy中，M、N两点位于x轴上，G、H两点坐标如图10所示.M、N两点各固定一负点电荷，一电荷量为Q的正点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零.静电力常量用k表示.若将该正点电荷移到G点，则H点处场强的大小和方向分别为（ ）
图10
A.
，沿y轴正向B.
，沿y轴负向
C.
，沿y轴正向D.
，沿y轴负向
答案 B
解析 因正电荷Q在O点时，G点的场强为零，则可知两负点电荷在G点形成的电场的合场强与正电荷Q在G点产生的场强等大反向，大小为E合＝k
；若将正电荷移到G点，则正电荷在H点的场强为E1＝k
＝
，方向沿y轴正向，因两负电荷在G点的合场强与在H点的合场强等大反向，则H点处场强为E＝E合－E1＝
，方向沿y轴负向，故选B.
类型2 非点电荷电场强度的叠加及计算
1.等效法：
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景.
例如：
一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图11甲、乙所示.
图11
例4
如图12所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z＜0的空间，z＞0的空间为真空.将电荷量为q的点电荷置于z轴上z＝h处，则在xOy平面上会产生感应电荷.空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的.已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在z轴上z＝
处的场强大小为（k为静电力常量）（ ）
图12
A.k
B.k
C.k
D.k
答案 D
解析 该电场可等效为分别在z轴h处与－h处的等量异种电荷产生的电场，如图所示，则在z＝
处的场强大小E＝k
＋k
＝k
，故D正确.
2.对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化.
图13
例如：
如图13所示，均匀带电的
球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，弧BC产生的场强方向，又等效为弧的中点M在O点产生的场强方向.
例5
如图14所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点有一电荷量为q（q＞0）的固定点电荷.已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为（k为静电力常量）（ ）
图14
A.k
B.k
C.k
D.k
答案 B
解析 由b点处场强为零知，圆盘在b点处产生的场强E1大小与q在b点处产生的场强E2大小相等，即E1＝E2＝k
，但方向相反.由对称性，圆盘在d点产生的场强E3＝k
，q在d点产生的场强E4＝k
，方向与E3相同，故d点的合场强Ed＝E3＋E4＝k
，B正确，A、C、D错误.
3.填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍.
例6
如图15甲所示，半径为R的均匀带电圆形平板，单位面积带电荷量为σ，其轴线上任意一点P（坐标为x）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：
E＝
，方向沿x轴.现考虑单位面积带电荷量为σ0的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板，如图乙所示.则圆孔轴线上任意一点Q（坐标为x）的电场强度为（ ）
图15
A.
B.
C.2πkσ0
D.2πkσ0
答案 A
解析 当R→∞时，
＝0，则无限大平板产生的电场的场强为E＝2πkσ0.当挖去半径为r的圆板时，应在E中减掉该圆板对应的场强Er＝
，即E′＝
，选项A正确.
4.微元法
将带电体分成许多元电荷，每个元电荷看成点电荷，先根据库仑定律求出每个元电荷的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强.
例7
一半径为R的圆环上，均匀地带有电荷量为Q的电荷，在垂直于圆环平面的对称轴上有一点P，它与环心O的距离OP＝L.设静电力常量为k，关于P点的场强E，下列四个表达式中只有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 设想将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量为q＝
①
由点电荷场强公式可求得每一点电荷在P处的场强为
EP＝k
＝k
②
由对称性可知，各小段带电环在P处的场强垂直于轴向的分量Ey相互抵消，而轴向分量Ex之和即为带电环在P处的场强E，故
E＝nEx＝n·
·cosθ＝
③
而r＝
④
联立①②③④可得E＝
，D正确.
命题点四 电场线的理解和应用
1.电场线的应用
（1）在同一电场里，电场线越密的地方场强越大.
（2）电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向.
（3）沿电场线方向电势逐渐降低.
（4）电场线和等势面在相交处互相垂直.
2.电场线与轨迹问题判断方法
（1）“运动与力两线法”——画出“速度线”（运动轨迹在初始位置的切线）与“力线”（在初始位置电场线的切线方向），从两者的夹角情况来分析曲线运动的情况.
（2）“三不知时要用假设法”——电荷的正负、场强的方向或等势面电势的高低、电荷运动的方向，若已知其中的任意一个，可顺次向下分析判定各待求量；若三个都不知，则要用假设法分别讨论各种情况.
例8
（多选）如图16所示，图中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点.若粒子在运动中只受电场力作用.根据此图能作出的正确判断是（ ）
图16
A.带电粒子所带电荷的符号
B.粒子在a、b两点的受力方向
C.粒子在a、b两点何处速度大
D.a、b两点电场的强弱
答案 BCD
解析 由题图中粒子的运动轨迹可知粒子在a、b两点受到的电场力沿电场线向左，由于电场线方向不明，无法确定粒子的电性，故A错误，B正确；由轨迹弯曲方向与粒子速度方向的关系分析可知，电场力对粒子做负功，粒子动能减小，电势能增大，则粒子在a点的速度较大，故C正确；根据电场线的疏密程度可判断a、b两点电场的强弱，故D正确.
变式5
（多选）（2018·山东济宁模拟）带正电的粒子在某电场中仅受电场力作用，能分别完成以下两种运动：
①在电场线上运动；②在等势面上做匀速圆周运动.该电场可能由（ ）
A.一个带正电的点电荷形成
B.一个带负电的点电荷形成
C.两个带等量负电的点电荷形成
D.两个带不等量负电的点电荷形成
答案 BCD
1.三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径.球1的带电荷量为q，球2的带电荷量为nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F.现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此时1、2之间作用力的大小仍为F，方向不变.由此可知（ ）
A.n＝3B.n＝4
C.n＝5D.n＝6
答案 D
解析 由于各球之间距离远大于小球的直径，小球带电时可视为点电荷.由库仑定律F＝k
知两点电荷间距离不变时，相互间静电力大小与两球所带电荷量的乘积成正比.又由于三个小球相同，则两球接触时平分总电荷量，故有q·nq＝
·
，解得n＝6，D正确.
2.（多选）（2018·云南大理模拟）在光滑绝缘的水平桌面上，存在着方向水平向右的匀强电场，电场线如图1中实线所示.一初速度不为零的带电小球从桌面上的A点开始运动，到C点时，突然受到一个外加的水平恒力F作用而继续运动到B点，其运动轨迹如图中虚线所示，v表示小球经过C点时的速度，则（ ）
图1
A.小球带正电
B.恒力F的方向可能水平向左
C.恒力F的方向可能与v方向相反
D.在A、B两点小球的速率不可能相等
答案 AB
解析 由小球从A点到C点的轨迹可得，小球受到的电场力方向向右，带正电，选项A正确；小球从C点到B点，所受合力指向轨迹凹侧，当水平恒力F水平向左时，合力可能向左，符合要求，当恒力F的方向与v方向相反时，合力背离轨迹凹侧，不符合要求，选项B正确，C错误；小球从A点到B点，由动能定理，当电场力与恒力F做功的代数和为零时，在A、B两点小球的速率相等，选项D错误.
3.（多选）在电场中的某点A放一电荷量为＋q的试探电荷，它所受到的电场力大小为F，方向水平向右，则A点的场强大小EA＝
，方向水平向右.下列说法正确的是（ ）
A.在A点放置一个电荷量为－q的试探电荷，A点的场强方向变为水平向左
B.在A点放置一个电荷量为＋2q的试探电荷，则A点的场强变为2EA
C.在A点放置一个电荷量为－q的试探电荷，它所受的电场力方向水平向左
D.在A点放置一个电荷量为＋2q的试探电荷，它所受的电场力为2F
答案 CD
解析 E＝
是电场强度的定义式，某点的场强大小和方向与场源电荷有关，而与放入的试探电荷没有任何关系，故选项A、B错；因负电荷受到电场力的方向与场强方向相反，故选项C正确；A点场强EA一定，放入的试探电荷所受电场力大小为F′＝qEA，当放入电荷量为＋2q的试探电荷时，试探电荷所受电场力应为2F，故选项D正确.
4.如图2所示，在真空中有两个固定的等量异种点电荷＋Q和－Q.直线MN是两点电荷连线的中垂线，O是两点电荷连线与直线MN的交点.a、b是两点电荷连线上关于O的对称点，c、d是直线MN上的两个点.下列说法中正确的是（ ）
图2
A.a点的场强大于b点的场强，将一检验电荷沿MN由c移动到d，所受电场力先增大后减小
B.a点的场强小于b点的场强，将一检验电荷沿MN由c移动到d，所受电场力先减小后增大
C.a点的场强等于b点的场强，将一检验电
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