3
2
10分
hr
由止弦定理得:
=,则3sinC=sinB=sin[兀一(A+C)]=sin(A+C),
sinBsinC
11分
2V21
3sinC=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,3sinC=cosC+—sinC,
33
整理得cosC=2V2sinC,代入sin2C+cos2C=l,得sin2C=-,
9
13分
7T
由c
2
•小1
sine=.
3
14分】19.
(1)证明:
・・・*//CC,且側=cc}
・••四边形ACC/|是平行四边形,
1分
/.AC//A}C},ACex而AB、G,AQu面人BQ
・・・AC//平面ABQ,
同理可得BC//平面AdG,又ACnCB=C,
・・・平而ABC//平面
AEG
4分
⑵•・•A4]丄平面ABC,A4,u平面ACC^.:
平面ACC^丄平面ABC,
5分
平面ACC.A,CI平面ABC二AC,
vAC=4fBC=3fAB=5:
.AC2+BC2=AB2:
.BC丄AC
・・・BC丄平面
ACC|A,
7分
・•・BC1.A}C,•・・BC//BC・•・BC丄AC
又A4,丄AC,AC=AA.得ACC/】为正方形,二
4C1AC,8分
又AC}nb、g=g,
・・・A】C丄平面
ABICl
9分
(3)将三棱柱ABC-A.B.G的侧而ACC.A绕侧棱CC】旋转到与侧而BCC.B,在同一平而内如
PCAC门门AC•BB、16
—=>rC=L=—.BBXABAB7
20.解:
(1)・・・圆F过椭圆C的左焦点,把(-c,O)代入圆F的方程,得
1
4c2=a2,故椭圆C的离心率《=—=—:
a2
3分
⑵在方程(x-c)2+y2=a2中令兀=0得y2=a2-c2=h29可知点B为椭圆的上顶点,
由⑴知,—=—,故a=2c,b=yja2—c1=V3c»故B(0,V3c),
a2
5分
在圆F的方程中令y=0可得点D坐标为(3c,0),则点A为(-3c,0),
6分
于是可得直线AB的斜率kAB=¥=写'
7分
而直线FB的斜率kFR—=—>/3,
-C
丿
•*5•kpD=-1,
・•・直线AB与口F相切。
T/'(-V)=a{n+1)兀"+bnxn~l,/./'(I)=(Q+b)n+a=a.
2分
又・・•切线x+y=\的斜率为-1,・・・d=—1,
b=l,c=O.
3分
(2)由
(1)知,/(x)=-x,l+i+xH,故
fM=(n+l)y,_,(―^-一x)•4分
/?
+1
令/3=0,解得X=—,即/'(兀)在(0,炖)上有唯一零点X.=—n+1n+1
5分
当0<兀<-^一时,厂(劝>0,故f(x)在(0,—)上单调递增;H+1/1+1
6分
n>7
当兀〉吋,f\x)<0,故/(兀)在(,+oo)单调递
7分
...加在(0心上的最大值/(%=/(角)=(角曲2备
72+1斤+1
减・
(3)证法1:
要证对任意的xg(0,+oo)都有nf(x)<-f只需证/(x)<丄,ene
卅'卅‘丨
由
(2)知在(0,+8)上/(兀)有最大值,/(x)_7,故只需证/“心<—一一-9
(n+1)(兀+1)ne
分
即(―)"<-,即ln-^-+—<0,①
h+1en+1n+1
10分
yl1
令——=r,(0/?
+1H+1
11分
令g(/)=Inf-f+1,(0tt
12分
显然当Ov/vl时,g'(/)>0,所以g(/)在(0,1)上单调递增,
・・.g(/)・••对任意的xe(0,+oo)都有
nf(x)<-.14
e
分
【证法2:
令0(/)=ln/—1+1(r>0),贝ij
t
11t-1
©'⑴=?
=—5-(z>0)•9分
trr
当0v兀v1时,0(r)<0,故M)在(0,1)上单调递减;
而当兀>1时,0(/)>0,故处)在(1,+00)±单调递增.
・•・©(/)在(0,+oo)上有最小值,0(。
丽=0
(1)=0・
10分
・・・0(/)>0(/>1),即
lnr>l--(r>1).
t
11分
令/=1+丄,得]n—>—,即ln(—)/,+I>Ine,12
nnn+\n
分所以(孚即為氏
nnI
由
(2)知,f(x)(〃+1)ne
14分】
I
(2)Ml:
vcos^-,A0<^<-
I2^2
sinA=VI-cosA=
3
1匹
由S=\[2c*I23=—bcsinA=——be得b=3c,
23
10分
由余弦定理得:
a2=b2+c2-2Z?
ccosA=9c2+c2-2c2=8c2,/
由正弦定理得:
二亠,即仝色二亠
sinAsinesinAsinC