《广东省揭阳市二零一六届高三数学学业水平考试试题文新人教a版》doc.docx

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绝密★启用前

揭阳市2013-2014学年度高中三年级学业水平考试

数学（文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

参考公式：

棱锥的体积公式：

V=-Sh•其中S表示棱锥的底面积，力表示棱锥的高.

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在复平面内，复数z（z-l）对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合A={x|y=lg（x+3））,B={x|x>2},则下列结论正确的是

A.-3eAC.AC\B=BD.A\JB=B

3.“0=兀”是“函数y=sin（2x+0）为奇函数的”

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.向fiBA=（-l,2）,BC=（3,4）,则疋=

A.（4,2）B.（-4,-2）C.（2,6）D.（-4,2）

5.某商场有四类食品，食品类别和

种数见

类别

粮食类

植物汕类

动物性食品类

果蔬类

右表:

现从中抽取-•个容量为20的

种数

样本

进行食品安全检测•若采用分层抽样的

方法抽取样木，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数Z和是

A.7B.6C.5D.4

6.方程2t-1+x=5的解所在的区间

7.若双曲线二-・=i的离心率为则其渐近线的斜率为cT少

A.dv1B.a>0C.a>\D.0

填空题：

本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.

（一）必做题（11一13题）

分解”，规定/（町=2.关于/⑺）冇下列四个判断：

①/（4）=1；②/（⑶=2；③

p13

（二）选做题（14—15题,考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，已知点P为方程p（cos^-sin^）=2所表示

的曲线上一动点，Q4,-,则|PQ|的最小值为

\3丿

15.（几何证明选讲选做题）如图（3）,已知AB是圆0的肓径，

C是AB延长线上一•点，CD切圆0于D,CD二4,AB=3BC,则

圆0的半径长是.

三、解答题：

本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本小题满分12分）

设数列｛©｝是公比为正数的等比数列，67,=2,a3-a2=12.

（1）求数列｛色｝的通项公式;

（2）设数列｛仇｝是首项为1,公差为2的等差数列，求数列｛色+如的前n项和S”.

17.（本小题满分12分）

AQI（数值）

on50

51J100

1013150

151匚200

201匚300

>300

空气质量级别

一级

一.级

三级

四级

五级

六级

空气质量类别

优

良

轻度污染

中度污染

重度污染

严重污染

空气质量类別颜

色

绿色

黄色

橙色

红色

紫色

褐红色

根据空气质量指数AQI（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:

某市2013年10月1日一10月30日，对空气质量指数AQI进行监测,获得数据后得

火数

到如图（4）的条形图

（1）估计该城市本月（按30天计）空气质量类别为中

度污染的概率；

（2）在空气质量类别颜色为紫色和褐红色的数据中

空气质昴级别

三级四级五级六级°

任取2个,求至少有一个数据反映的空气质量类别颜色为褐

图（4）

红色的概率.

18.（本小题满分14分）

在AABC中,角A、B.C所对应的边为a.b.c

（1）若cos（A）=2cosA.求A的值；

（2）若COSA=?

HAABC的面积"屁，求sinC的值.

求证：

A】C丄平面ABC

⑶在

（2）的条件卜；设点P为CG上的动点，求当PA+PB］取得最小值时PC的长

图（6）

20.（本小题满分14分）x2y2

如图（6）,已知F（c，O）是椭圆C:

—+^=1（^>/?

>0）的右焦点;

crtr

□F:

（x-c）2+/=672与x轴交于DE两点，其中E是椭IMIC的左焦点.

⑴求椭圆C的离心率;

（2）设口F与y轴的正半轴的交点为B，点A是点D关于y轴的对称点,

试判断直线与□F的位置关系；

（3）设肓•线BF与口F交于另一点G,若^BGD的而积为伍，求椭圆C的标准方程.

21.（本小题满分14分）

设函数/（x）=axn^+hxn+c（3：

>0）,其中a+h=0fn为正整数，a,b,c均为常

数,曲线尸/（%）在（1J⑴）处的切线方程为兀+y-1=0・

（1）求b,c的值；

（2）求函数/心）的最大值；

（3）证明：

对任意的xw（0,+2）都有//（%）<丄.（£为自然对数的底）

揭阳市2013-2014学年度高中三年级学业水平考试

数学（文科）参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考杳内容比照评分标准制订和应的评分细则.

二、对计算题当考牛的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，nJ视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考牛正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数.

1.选择题CCAABCBBCD

a<0,

解析:

10.函数/（Q有3个零点，须满足彳——<0,nOvovl,故选D.

4一牝>0.

2.填空题：

11.2；12.纟；13.①②;14.V6；15.3・

解析：

12.设被污损的数字为x（xgA^）,则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得，

88+89+92+91+90〉83+83+87+99+90+兀，解得05兀<8,即当x取0,1,……

7吋符合题意，故所求的概率P=-=-

105

3.解答题：

16.解：

（1）设数列｛陽｝的公比为g,由务=2,Oj-02=12,

得2g2_2g_]2=0,即

q_—q—6=0.3分

解得g=3或g=—2,

5分

・.・q>0・・・q=-2不合舍去，・・・％=2x3心；

6分

（2）•・•数列｛仇｝是首项$=1,公差d=2的等差数列，

.・.仇=2n—1,

8分

S”=（4+HQ“）+（勺+〃2亿）

2（3"-1）71（1+2/2-1）1,2

=1=3—1+7?

3-12

12分

17.解：

（1）由条形统计图可知,空气质量类别为屮度污染的天数为6,

1分

所以该城市木月内空气质暈类别为屮度污染的概率

P=—=4分

305

（2）由条形图知，空气质量类别颜色为紫色的数据有4个，分别设为弘b、c、d,空气质罐类别颜色为褐红色的数据有2个，分别设为

e、f.6分

设从以上6个数据任取2个，至少有一个数据反映的空气质量类別颜色为褐红色为事件A,

则基本事件有:

（a,b）,（a,c）,（a,d）,（b,c）,（b,d）,（c,d）,

（a,e）,（a,/）,（b,e）9（b,.f）,（c,e\（c,f）,

A包含的基本事件有：

（&,e）9（a,/）,（b,e）,（b,f\（c,e\（c,/）,（d,e\（〃,/）,（匕f）9种可能,10分

故所求的概率

P（A）

9_3

15_5'

12分

1&解：

（1）由cos（A-y）=2COSA,cosAcos—+sinAsin—=2cosA.

2分

V3sinA=3cosAtanA=V3

•小sinA/.sinC=——产2<2

14分

【解法2：

z心，,.0

由S"宀尹sirM盲阮得X3c,

10分

由余弦定理得：

a2=b2+c2-2/?

ccosA=9c24-c2-2c2=8c2,

12分

•:

a2+c2=Sc2+c2=9c2=b2fAAABC是RtZ\,角B为直角,

13分

sinC=—=—.

14分】

【：

解法3：

vcosA=-,/.0

sinA-Vl-cos2A=

III

S"宀#csin心爭c

得b=3c

10分

由余弦定理得：

a1=b~^-c2-2/?

ccosA=9c2+c2-2c2=

a=2\/2c12分

又S=-^sinC=V2c2,得L・2近c・3c・sWC=4ic2

sinC=-.14分】

171

【解法4：

tcosA=—,/•0

10分

由止弦定理得：

=,则3sinC=sinB=sin[兀一（A+C）]=sin（A+C）,

sinBsinC

11分

2V21

3sinC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,3sinC=cosC+—sinC,

整理得cosC=2V2sinC，代入sin2C+cos2C=l,得sin2C=-,

13分

由c

•小1

sine=.

14分】19.

（1）证明：

・・・*//CC,且側=cc}

・••四边形ACC/|是平行四边形,

1分

/.AC//A}C},ACex而AB、G,AQu面人BQ

・・・AC//平面ABQ,

同理可得BC//平面AdG,又ACnCB=C,

・・・平而ABC//平面

AEG

4分

⑵•・•A4］丄平面ABC,A4,u平面ACC^.:

平面ACC^丄平面ABC,

5分

平面ACC.A,CI平面ABC二AC,

vAC=4fBC=3fAB=5:

.AC2+BC2=AB2:

.BC丄AC

・・・BC丄平面

ACC|A,

7分

・•・BC1.A}C,•・・BC//BC・•・BC丄AC

又A4,丄AC,AC=AA.得ACC/】为正方形，二

4C1AC,8分

又AC}nb、g=g，

・・・A】C丄平面

ABICl

9分

（3）将三棱柱ABC-A.B.G的侧而ACC.A绕侧棱CC】旋转到与侧而BCC.B,在同一平而内如

PCAC门门AC•BB、16

—=>rC=L=—.BBXABAB7

20.解：

（1）・・・圆F过椭圆C的左焦点，把（-c,O）代入圆F的方程，得

4c2=a2,故椭圆C的离心率《=—=—：

3分

⑵在方程（x-c）2+y2=a2中令兀=0得y2=a2-c2=h29可知点B为椭圆的上顶点,

由⑴知，—=—,故a=2c,b=yja2—c1=V3c»故B（0,V3c）,

5分

在圆F的方程中令y=0可得点D坐标为（3c,0）,则点A为（-3c,0）,

6分

于是可得直线AB的斜率kAB=¥=写'

7分

而直线FB的斜率kFR—=—>/3,

-C

丿

•*5•kpD=-1，

・•・直线AB与口F相切。

T/'（-V）=a{n+1）兀"+bnxn~l,/./'（I）=（Q+b）n+a=a.

2分

又・・•切线x+y=\的斜率为-1,・・・d=—1,

b=l,c=O.

3分

（2）由

（1）知，/（x）=-x,l+i+xH,故

fM=（n+l）y,_,（―^-一x）•4分

令/3=0,解得X=—,即/'（兀）在（0,炖）上有唯一零点X.=—n+1n+1

5分

当0<兀<-^一时，厂（劝>0,故f（x）在（0,—）上单调递增；H+1/1+1

6分

n>7

当兀〉吋，f\x）<0,故/（兀）在（,+oo）单调递

7分

...加在（0心上的最大值/（%=/（角）=（角曲2备

72+1斤+1

减・

（3）证法1：

要证对任意的xg（0,+oo）都有nf（x）<-f只需证/（x）<丄,ene

卅'卅‘丨

由

（2）知在（0,+8）上/（兀）有最大值，/（x）_7，故只需证/“心<—一一-9

（n+1）（兀+1）ne

分

即（―）"<-，即ln-^-+—<0,①

h+1en+1n+1

10分

yl1

令——=r,（0

+1H+1

11分

令g（/）=Inf-f+1,（0

12分

显然当Ov/vl时，g'（/）>0,所以g（/）在（0,1）上单调递增,

・・.g（/）

・••对任意的xe（0,+oo）都有

nf（x）<-.14

分

【证法2：

令0（/）=ln/—1+1（r>0）,贝ij

11t-1

©'⑴=?

=—5-（z>0）•9分

trr

当0v兀v1时，0（r）<0,故M）在（0,1）上单调递减;

而当兀>1时,0（/）>0,故处）在（1,+00）±单调递增.

丽=0

（1）=0・

10分

・・・0（/）>0（/>1）,即

lnr>l--（r>1）.

11分

令/=1+丄，得］n—>—,即ln（—）/,+I>Ine,12

nnn+\n

分所以（孚即為氏

nnI

由

（2）知，f（x）

（〃+1）ne

14分】

（2）Ml：

vcos^-,A0<^<-

I2^2

sinA=VI-cosA=

1匹

由S=\[2c*I23=—bcsinA=——be得b=3c,

10分

由余弦定理得：

a2=b2+c2-2Z?

ccosA=9c2+c2-2c2=8c2,/

由正弦定理得：

二亠，即仝色二亠

sinAsinesinAsinC

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