函数定义域值域求法.docx

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函数定义域值域求法

一、常规型

函数定义域和值域的求法总结

即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1求函数y=的定义域。

|x+3|-8

解：

要使函数有意义，则必须满足

⎧x2-2x-15≥0①

⎨

⎩|x+3|-8≠0②

由①解得

x≤-3或x≥5。

③

由②解得

x≠5或x≠-11④

③和④求交集得x≤-3且x≠-11或x>5。

故所求函数的定义域为{x|x≤-3且x≠-11}{x|x>5}。

例2这题超纲了彦彦，我删去了不做

二、抽象函数型

抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（1）已知f（x）的定义域，求f[g（x）]的定义域。

（2）其解法是：

已知f（x）的定义域是［a，b］求f[g（x）]的定义域是解a≤g（x）≤b，即为所求的定义域。

例3已知f（x）的定义域为［－2，2］，求f（x2-1）的定义域。

解：

令-2≤x2-1≤2，得-1≤x2≤3，即0≤x2≤3，因此0≤|x|≤

，从而

-≤x≤

，故函数的定义域是{x|-

≤x≤

3}。

（2）已知f[g（x）]的定义域，求f（x）的定义域。

其解法是：

已知f[g（x）]的定义域是［a，b］，求f（x）定义域的方法是：

由a≤x≤b，求

g（x）的值域，即所求f（x）的定义域。

例4已知f（2x+1）的定义域为［1，2］，求f（x）的定义域。

解：

因为1≤x≤2，2≤2x≤4，3≤2x+1≤5。

即函数f（x）的定义域是{x|3≤x≤5}。

三、逆向型

即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。

特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例5已知函数y=的定义域为R求实数m的取值范围。

分析：

函数的定义域为R，表明mx2-6mx+8+m≥0，使一切x∈R都成立，由x2项的系数是m，所以应分m=0或m≠0进行讨论。

解：

当m=0时，函数的定义域为R；

当m≠0时，mx2-6mx+m+8≥0是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件

是

⎧m>0

⎩

⎨∆=（-6m）2-4m（m+8）≤0

⇒0

综上可知0≤m≤1。

评注：

不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。

kx+7

例6已知函数f（x）=的定义域是R，求实数k的取值范围。

kx2+4kx+3

解：

要使函数有意义，则必须kx2+4kx+3≠0恒成立，因为f（x）的定义域为R，即

kx2+4kx+3=0无实数

①当k≠0时，∆=16k2-4⨯3k<0恒成立，解得0

4

②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。

综上k的取值范围是0≤k<3。

4

四、实际问题型

这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。

例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。

解：

设矩形一边为x，则另一边长为1（a-2x）于是可得矩形面积。

2

y=x⋅1（a-2x）=1ax-x2

22

=-x2+1ax。

2

由问题的实际意义，知函数的定义域应满足

⎧x>0

⎨1（a-2x）>0⇒

⎩2

⇒0

2

⎧x>0

⎩a-2x>0

故所求函数的解析式为y=-x2+1ax，定义域为（0，a）。

22

例8用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。

解：

由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。

⋂

⋂

因为CD=AB=2x，所以CD=πx，所以AD=

L-AB-CD2

=L-2x-πx，

2

故y=2x⋅

L-2x-πx

2

+πx2

2

=-（2+π）x2+Lx2

根据实际问题的意义知

⎧2x>0

⎪

⎨L-2x-πx>0

⇒0

L

π+2

⎩⎪2

故函数的解析式为y=-（2+π）x2+Lx，定义域（0，

2

L

）。

π+2

五、参数型

对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。

例9已知f（x）的定义域为［0，1］，求函数F（x）=f（x+a）+f（x-a）的定义域。

解：

因为f（x）的定义域为［0，1］，即0≤x≤1。

故函数F（x）的定义域为下列不等式组的解集：

⎧0≤x+a≤1

⎩0≤x-a≤1

⎧-a≤x≤1-a

，即

⎩a≤x≤1+a

即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知

（1）当-1≤a≤0时，F（x）的定义域为{x|-a≤x≤1+a}；

2

（2）当0≤a≤1时，F（x）的定义域为{x|a≤x≤1-a}；

2

（3）

当a>1或a<-1时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。

22

六、隐含型

有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。

因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。

2

例10求函数y=log（-x2+2x+3）的单调区间。

解：

由-x2+2x+3>0，即x2-2x-3<0，解得-1

即函数y的定义域为

（－1，3）。

22

函数y=log（-x2+2x+3）是由函数y=logt，t=-x2+2x+3复合而成的。

t=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间

（-∞，1]上是增函数；在区间[1，+∞）上是减函数，而y=log2t在其定义域上单调增；

2

（-1，3）（-∞，1]=（-1，1]，（-1，3）[1，+∞）=[1，3），所以函数y=log（-x2+2x+3）在区间（-1，1]上是增函数，在区间[1，3）上是减函数。

函数值域求法十一种

1.直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

y=1

例1.求函数x的值域。

解：

∵x≠0

1≠0

∴x

显然函数的值域是：

（-∞,0）（0,+∞）

例2.求函数y=3-

的值域。

解：

∵≥0

∴-≤0,3-≤3

故函数的值域是：

[-∞,3]

2.配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3.求函数y=x2-2x+5,x∈[-1,2]的值域。

解：

将函数配方得：

y=（x-1）2+4

∵x∈[-1,2]

由二次函数的性质可知：

当x=1时，ymin=4，当x=-1时，ymax=8

故函数的值域是：

[4，8]

3.判别式法

y=

例4.求函数

1+x+x21+x2

的值域。

解：

原函数化为关于x的一元二次方程

（y-1）x2+（y-1）x=0

（1）当y≠1时，x∈R

∆=（-1）2-4（y-1）（y-1）≥0

1≤y≤3

解得：

22

1∈⎡1,3⎤

（2）当y=1时，x=0，而

⎡1,3⎤

⎢⎣2

2⎥⎦

故函数的值域为⎢⎣22⎥⎦

例5.求函数y=x+

的值域。

解：

两边平方整理得：

2x2-2（y+1）x+y2=0

（1）

∵x∈R

∴∆=4（y+1）2-8y≥0

解得：

1-

≤y≤1+

但此时的函数的定义域由x（2-x）≥0，得0≤x≤2

由∆≥0，仅保证关于x的方程：

2x2-2（y+1）x+y2=0在实数集R有实根，

而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程

（1）有实根，由

∆≥0

⎡1,3⎤

求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎢⎣2

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵0≤x≤2

2⎥⎦。

∴y=x+

∴ymin=0,y=1+

x1=

解得：

≥0

代入方程

（1）

∈[0,2]

2+

即当x1=

2-242

2时，

原函数的值域为：

[0,1+2]

注：

由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4.反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

3x+4

例6.求函数5x+6值域。

x=4-6y

解：

由原函数式可得：

y=4-6y

5y-3

x≠3

则其反函数为：

5x-3，其定义域为：

5

⎛-∞,3⎫

ç⎪

故所求函数的值域为：

⎝5⎭

5.函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

ex-1

y=

例7.求函数

ex+1的值域。

ex=y+1

解：

由原函数式可得：

∵ex>0

y+1>0

∴y-1

解得：

-1

故所求函数的值域为（-1,1）

y-1

例8.这题也超纲了

6.函数单调性法

例9.求函数y=2x-5+log3

解：

令y1=2x-5,y2=log3

x-1（2≤x≤10）的值域。

则y1,y2在[2，10]上都是增函数

所以y=y1+y2在[2，10]上是增函数

y

当x=2时，

min

=2-3+log3=

8

当x=10时，ymax=25+log3=33

⎡1⎤

⎦

故所求函数的值域为：

⎢⎣8,33⎥

例10.求函数y=-

y=

解：

原函数可化为：

的值域。

令y1=

x+1,y2=

，显然y1,y2在[1,+∞]上为无上界的增函数

所以y=y1，y2在[1,+∞]上也为无上界的增函数

2=

所以当x=1时，y=y1+y2有最小值，原函数有最大值

显然y>0，故原函数的值域为（0,2]

7.换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11.求函数y=x+解：

令x-1=t，（t≥0）则x=t2+1

y=t2+t+1=（t+1）2+3

的值域。

∵24

又t≥0，由二次函数的性质可知当t=0时，ymin=1

当t→0时，y→+∞

故函数的值域为[1,+∞）

例12.求函数y=x+2+

解：

因1-（x+1）2≥0

的值域。

即（x+1）2≤1

故可令x+1=cosβ,β∈[0,π]

∴y=cosβ+1+

=sinβ+cosβ+1

=2sin（β+π）+1

4

0≤β≤π,0≤β+π≤5π

∵44

∴-2≤sin（β+π）≤1

2

∴0≤

4

2sin（β+π）+1≤1+

4

故所求函数的值域为[0,1+2]

x3-x

y=

例13.求函数

x4+2x2+1的值域。

12x1-x2

解：

原函数可变形为：

y=2⨯1+x2⨯1+x2

2x

可令x=tgβ，则有1+x2

=sin2β,

1-x2

1+x2

=cos2β

∴y=-1sin2β⨯cos2β=-1sin4β

2

β=kπ-π

4

y=1

当28时，

max4

β=kπ+π

y=-1

当28时，

min4

而此时tanβ有意义。

⎡-1,1⎤

故所求函数的值域为⎢⎣

例14.（超纲）

例15.求函数y=x+4+

44⎥⎦

的值域。

解：

由5-x2≥0，可得|x|≤

故可令x=

5cosβ,β∈[0,π]

y=5cosβ+4+

5sinβ=

10sin（β+π）+4

4

∵0≤β≤π

∴π≤β+

4

π≤5π44

当β=π/4时，ymax=4+

当β=π时，ymin=4-

故所求函数的值域为：

[4-

8.数形结合法

5,4+

10]

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例16.求函数y=+的值域。

解：

原函数可化简得：

y=|x-2|+|x+8|

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A

（2），B（-8）间的距离之和。

由上图可知，当点P在线段AB上时，y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10

故所求函数的值域为：

[10,+∞]

例17.求函数y=+

解：

原函数可变形为：

的值域。

y=+

上式可看成x轴上的点P（x,0）到两定点A（3,2）,B（-2,-1）的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，

ymin=|AB|==，

故所求函数的值域为[

43,+∞]

例18.求函数y=-

解：

将函数变形为：

y=

的值域。

-

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B（-2,1）到点P（x,0）的距离之差。

即：

y=|AP|-|BP|

由图可知：

（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点

P'，则构成∆ABP'

，根据三角形两边之差小于第三边，有

||AP'|-|BP'||<|AB|==

即：

-

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有||AP|-|BP||=|AB|=

综上所述，可知函数的值域为：

（-

26,

26]

注：

由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。

如：

例17的A，B两点坐标分别为：

（3，2），（-2,-1），在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），（2,-1），在x轴的同侧。

9.不等式法

利用基本不等式a+b≥2

ab,a+b+c≥33abc（a,b,c∈R+），求函数的最值，

其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例19.（超纲）

例20.（超纲）

10.一一映射法

y=ax+b（c≠0）

原理：

因为

cx+d

在定义域上x与y是一一对应的。

故两个变

量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。

y=1-3x

例21.求函数

2x+1的值域。

⎧x|x<-1或x>-1⎫



2

⎨⎬

解：

∵定义域为⎩2⎭

y=1-3x

x=1-y

由2x+1得

2y+3

x=1-y

故2y+3

>

-1x=

2或

1-y2y+3

<-1

2

y<-3或y>-3

解得2

2

⎛-∞,-3⎫⎛-3,+∞⎫

ç

故函数的值域为⎝

⎪ç⎪

2⎭⎝2⎭

11.多种方法综合运用

y=

例22.求函数

x+2

x+3

的值域。

解：

令t=

x+2（t≥0），则x+3=t2+1

y=

（1）当t>0时，

0

所以2

t=

t2+1

1

t+1

t

≤1

2

，当且仅当t=1，即x=-1时取等号，

（2）当t=0时，y=0。

⎡1⎤

⎢0,2⎥

综上所述，函数的值域为：

⎣⎦

注：

先换元，后用不等式法

例23.（超纲）

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。