函数定义域值域求法.docx

1、函数定义域值域求法一、常规型函数定义域和值域的求法总结即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。例 1 求函数y = 的定义域。| x + 3 | -8解：要使函数有意义，则必须满足x 2 - 2x - 15 0 | x + 3 | -8 0 由解得x -3 或x 5 。 由解得x 5 或x -11 和求交集得x -3 且x -11 或 x5。故所求函数的定义域为x | x -3且x -11 x | x 5 。例 2 这题超纲了彦彦，我删去了不做二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，

2、一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。（1）已知f (x) 的定义域，求fg(x) 的定义域。（2）其解法是：已知f (x) 的定义域是a，b求fg(x) 的定义域是解a g(x) b ， 即为所求的定义域。例 3 已知f (x) 的定义域为2，2，求 f (x 2 - 1) 的定义域。解： 令 - 2 x 2 - 1 2 ， 得 - 1 x 2 3 ， 即 0 x 2 3 ， 因此 0 | x |， 从而- x ，故函数的定义域是x | - x 3。（2）已知fg(x) 的定义域，求 f(x)的定义域。其解法是：已知fg(x) 的定义域是a，b，求 f(

3、x)定义域的方法是：由a x b ，求g(x)的值域，即所求 f(x)的定义域。例 4 已知f (2x + 1) 的定义域为1，2，求 f(x)的定义域。解：因为1 x 2，2 2x 4，3 2x + 1 5 。即函数 f(x)的定义域是x | 3 x 5。三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例 5 已知函数y = 的定义域为 R 求实数 m 的取值范围。分析：函数的定义域为 R，表明mx 2 - 6mx + 8 + m 0 ，使一切 xR 都成立，由 x 2 项的系数是 m，所以应分 m=0 或m

4、 0 进行讨论。解：当 m=0 时，函数的定义域为 R；当m 0 时，mx 2 - 6mx + m + 8 0 是二次不等式，其对一切实数 x 都成立的充要条件是m 0 = (-6m) 2 - 4m(m + 8) 0 0 m 1综上可知0 m 1 。评注：不少学生容易忽略 m=0 的情况，希望通过此例解决问题。kx + 7例 6 已知函数f (x) = 的定义域是 R，求实数 k 的取值范围。kx 2 + 4kx + 3解：要使函数有意义，则必须kx 2 + 4kx + 3 0 恒成立，因为f (x) 的定义域为 R，即kx 2 + 4kx + 3 = 0 无实数当 k0 时， = 16k 2

5、 - 4 3k 0 恒成立，解得 0 k 3 ；4当 k=0 时，方程左边=30 恒成立。综上 k 的取值范围是0 k 01 (a - 2x) 0 2 0 x 0a - 2x 0故所求函数的解析式为y = -x 2 + 1 ax ，定义域为（0， a ）。2 2例 8 用长为 L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为 2x， 求此框架围成的面积 y 与 x 的函数关系式，并求定义域。解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。因为 CD=AB=2x，所以CD = x ，所以AD =L - AB - CD 2= L - 2x - x ，2故y

6、 = 2x L - 2x - x2+ x 22= -(2 + )x 2 + Lx 2根据实际问题的意义知2x 0L - 2x - x 0 0 x 1 或a 0 ，即x 2 - 2x - 3 0 ，解得- 1 x 0y + 1 0y - 1解得：- 1 y 0 ，故原函数的值域为(0, 27.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例11. 求函数y = x + 解：令x - 1 = t ，(t 0) 则x = t 2 + 1y = t 2 + t + 1 = (t + 1

7、)2 + 3的值域。 2 4又t 0 ，由二次函数的性质可知当t = 0 时，y min = 1当t 0 时，y +故函数的值域为1,+)例12. 求函数y = x + 2 +解：因1 - (x + 1) 2 0的值域。即(x + 1) 2 1故可令x + 1 = cos, 0, y = cos + 1 += sin + cos + 1= 2 sin( + ) + 140 ,0 + 5 4 4- 2 sin( + ) 120 42 sin( + ) + 1 1 +4故所求函数的值域为0,1 + 2x 3 - xy =例13. 求函数x 4 + 2x 2 + 1 的值域。1 2x 1 - x 2

8、解：原函数可变形为：y = 2 1 + x 2 1 + x 22x可令x = tg ，则有1 + x 2= sin 2,1 - x 21 + x 2= cos2 y = - 1 sin 2 cos 2 = - 1 sin 42 = k - 4y = 1当 2 8 时，max 4 = k + y = - 1当 2 8 时，min 4而此时tan 有意义。- 1 , 1 故所求函数的值域为例14. （超纲）例15. 求函数y = x + 4 +4 4 的值域。解：由5 - x 2 0 ，可得| x |故可令x =5 cos, 0, y = 5 cos + 4 +5 sin =10 sin( + )

9、 + 440 +4 5 4 4当 = / 4 时，y max = 4 +当 = 时，y min = 4 -故所求函数的值域为：4 -8.数形结合法5,4 +10 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然， 赏心悦目。例16. 求函数y = + 的值域。解：原函数可化简得：y =| x - 2 | + | x + 8 |上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B(-8) 间的距离之和。由上图可知，当点P 在线段AB 上时，y =| x - 2 | + | x + 8 |=| AB |= 10当点P 在线段AB

10、的延长线或反向延长线上时，y =| x - 2 | + | x + 8 | AB |= 10故所求函数的值域为：10,+例17. 求函数y = +解：原函数可变形为：的值域。y = +上式可看成x 轴上的点P(x,0) 到两定点A(3,2), B(-2,-1) 的距离之和，由 图 可 知 当 点 P 为 线 段 与 x 轴 的 交 点 时 ，ymin =| AB |= = ，故所求函数的值域为43,+例18. 求函数y = -解：将函数变形为：y =的值域。-上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B(-2,1) 到点P(x,0) 的距离之差。即：y =| AP | - | BP

11、 |由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点P ， 则构成 ABP， 根据三角形两边之差小于第三边， 有| AP| - | BP| AB |= =即：- y （2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有| AP | - | BP |=| AB|=综上所述，可知函数的值域为：(-26,26 注：由例17，18 可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B 两点在x 轴的同侧。如：例17 的A，B 两点坐标分别为：（3，2），(-2,-1) ，在x 轴的同侧；例18 的A，B 两点坐标分别为（3，2），(2

12、,-1) ，在x 轴的同侧。9.不等式法利用基本不等式a + b 2ab, a + b + c 33 abc (a, b, c R + ) ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值， 不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例19. （超纲）例20. （超纲）10.一一映射法y = ax + b (c 0)原理：因为cx + d在定义域上x 与y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。y = 1 - 3x例21. 求函数2x + 1 的值域。x | x - 1 2 解：定义域为 2 y = 1 - 3xx = 1 -

13、y由 2x + 1 得2y + 3x = 1 - y故 2y + 3- 1 x =2 或1 - y 2y + 3 - 12y - 3解得 22- ,- 3 - 3 ,+故函数的值域为 2 2 11.多种方法综合运用y =例22. 求函数x + 2x + 3的值域。解：令t =x + 2 (t 0) ，则x + 3 = t 2 + 1y =（1）当t 0 时，0 y 1所以 2t =t 2 + 11t + 1t 12，当且仅当t=1，即x = -1时取等号，（2）当t=0 时，y=0。 1 0, 2 综上所述，函数的值域为： 注：先换元，后用不等式法例23. （超纲）总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。