质数与合数.docx

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质数与合数

质数和合数（3.21）

班级：

姓名：

___

知识要点：

1、自然数（能否被2整除）：

奇数和偶数。

自然数（约数的个数）：

质数、合数和1。

2、质数：

一个数除了1和它本身以外，不再有别的约数，这个数叫做质数（或素数）。

如：

2、3、5、7、11等。

质数只有两个约数。

合数：

一个数除了1和它本身以外，还有别的约数，这个数叫做合数。

如：

4、6、8、9等。

合数至少有三个约数。

1：

只有一个约数，就是它本身，1既不是质数，也不是合数，它是自然数的基本单位。

3、最小的质数是2，也是质数中唯一的一个偶数，其余的质数全是奇数。

最小的合数是4。

4、把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

任何一个合数都可以分解成若干个质因数乘积的形式。

5、分解质因数可以借助短除法。

例1有两个质数，它们之和既是一个小于100的奇数，又是17的倍数，这两个质数的积是多少？

【分析】既小于100，又是17的倍数的奇数有17、51和85三个数。

偶数＋奇数＝奇数，可知两个质数中必有一个质数是偶数2

例2一个数A为质数，且A＋20，A＋40也都是质数，A是多少？

【分析】A＋20，A＋40都是质数，所以A≠2。

例3用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并且只能用一次，这九个数字最多能组成多少个质数？

【分析】由“每个数字都要用到，且只能用一次，同时组成的质数的个数最多”的条件，可知组成质数时，注意尽可能地将合数4、6、8、9和最小自然数1组成两位数，同时要注意质数的含义。

因为8和9既可以组成质数89，又可以组成合数98，而4和6不可能组成质数，但它们与1可以组成质数41或61。

剩下的6或4与7可组成质数67或47。

例472的全部约数有多少个？

【分析】先把72分解质因数72＝2×2×2×3×3＝23×32

求一个数的约数个数，须先把这个数分解质因数，然后将每一质因数右上角的数（表示质因数的个数）各加1后相乘，其积就是这个数的约数个数。

例5144的全部约数之和是多少？

【分析】求一个自然数的全部约数的和，只需先把它分解质因数，将仅含有一种质因数的全部约数相加，再将这些和相乘，则积就是这个自然数的全部约数之和。

如72＝23×32，则72的全部约数的和是（1＋2＋4＋8）×（1＋3＋9）＝15×13＝195。

例6有8个不同约数的自然数中，最小的一个数是多少？

因为8＝1×8＝2×4＝2×2×2，所以所求自然数，只可能有三种情况：

a7，a×b3，a×b×c，其中a、b、c是不同的质数。

又因为要求的自然数是最小的，则质数a，b，c应尽量小，所以这个数有三种可能：

（1）27＝128

（2）3×23＝24（2×33＞3×23）。

（3）2×3×5＝30。

例7已知p·q＋1＝x，其中p、q为质数，且p、q均小于1000，x是奇数，求x的最大值。

【分析】因为p·q＋1＝x，所以p·q＝x－1。

又因为p·q为质数，x是奇数，所以x－1是偶数。

即p·q是偶数，又因为P、q为质数，所以p、q中必有一个偶质数2，不妨设p＝2。

现在只要找出符合题意的质数q就行了。

为了使x尽可能大。

又因为q＜1000，所以我们只须取q为最大的三位数质数997。

例8用1155个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法。

【分析】根据题意知用1155个同样大小的正方形组成的各种长方形，其面积不变，可应用分解质因数的原理分解组合成两个数的乘积形式。

分解1155＝3×5×7×11

组合1155＝3×385＝5×231＝7×165＝11×105＝15×77＝21×55

＝33×35＝1×1155

例9某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组。

如果师生每人种树一样多，共种了572棵，那么平均每人种了多少棵树？

【分析与解】因为师生每人种树一样多，共种了572棵，所以有

种树总数＝每人种树棵数×师生总人数

即572＝每人种树棵数×师生总人数

而学生数恰好平均分成3组，即学生数是3的倍数，再加上老师一人，则师生总人数被3除余1。

例10975×935×972×（），要使这个连乘积的最后四个数字都是0，问在括号内最小应填什么数？

【分析】一组2与5相乘，其积的末尾有一个零。

因此，只需看一下这个连乘积的质因数分解中共有多少个2和5，即可得出所求。

将975、935、972分解质因数：

975＝3×5×5×13

935＝5×11×17

972＝2×2×3×3×3×3×3

例11504乘以自然数a，得到一个平方数（即为某自然数的平方）。

求a的最小值和这个平方数。

【分析与解】因为一个平方数所含不同质因数的个数是偶数，所以只需把504与自然数a的乘积504a分解质因数，则不难得出a的最小值。

例121×2×3×4×……×199×200这200个数乘积的末尾有多少个连续的零？

例13甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪，三人各自中靶的环数之积是60，按个人中靶的总环数由高到低排，依次是甲、乙、丙。

靶上4环的那一枪是谁打的？

（环数是不超过10的自然数）

例14、有一个2n+1位整数（n是整数，n≥1）

求222...2223111...111是质数还是合数？

n个2

n个1

同步测试

姓名：

得分：

1．a、b、c都是质数，c是一位数，且a×b＋c＝1993，那么a、b、c的和是多少？

2．A为质数，如果A2＋3,A3＋5也都是质数，那么A是多少？

3．有三张卡片，各写着一个数字1、2、3，从中抽出一张、二张、三张，任意排列，可得到不同的数。

请你将其中的质数都写出来。

4．270乘以自然数X，得到一个平方数（即为某自然数的平方）。

求X的最小值和这个平方数。

5．360这个数的约数有多少个？

这些约数的和是多少？

6．某自然数是3和4的倍数，包括1和本身在内共有10个约数，那么这个自然数是多少？

7．把35拆成若干个不同质数的和，如果要使这些质数的积最大，这几个质数分别是多少？

8．一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和为100，那么，这两个质数的乘积是多少？

9．有三个学生，他们的年龄一个比一个大3岁，他们三人年龄的乘积是1620，这三个学生年龄数的和是多少？

10．筐里共有96个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿。

要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，有多少种不同的拿法。

11．如果两个数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两数的差等于多少？

12．1×2×3×4×……×399×400这400个数乘积的末尾有多少个连续的零？

13、求有18个约数的最小自然数。

家庭作业

班级：

姓名：

1.在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有_____；既不是合数又不是质数的有_____；既是偶数又是质数的有_____.

2.最小的质数与最接近100的质数的乘积是_____.

3．两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是_____.

4.在下式样□中分别填入三个质数,使等式成立.

□+□+□=50

5.三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是_____、_____、_____.

6.找出1992所有的不同质因数,它们的和是_____.

7.如果自然数有四个不同的质因数,那么这样的自然数中最小的是_____.

8.9216可写成两个自然数的积，这两个自然数的和最小可以达到_____.

9.从一块正方形的木板上锯下宽为3分米的一个木条以后,剩下的面积是108平方分米.木条的面积是_____平方分米.

10.四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:

8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?

作业参考答案

第[1]道题答案：

9，1，2.

在一位自然数中,奇数有:

1,3,5,7,9,其中仅有9为合数,故第一个空填9.

在一位自然数中,质数有2、3、5、7，合数有4、6、8、9，所以既不是合数又不是质数的为1.

在一位自然数中,偶数有2、4、6、8，既是偶数又是质数的数为2.

第[2]道题答案：

202

最小的质数是2,最接近100的质数是101,它们的乘积是2

101=202.

第[3]道题答案：

420

首先注意到41是质数,两个自然数的和与差的积是41,可见它们的差是1,这是两个连续的自然数,大数是21,小数是20,所以这两个自然数的积是20

21=420.

第[4]道题答案：

2、5、43

接近50的质数有43,再将7分拆成质数2与质数5的和.即

2+5+43=50

另外,还有

2+19+29=50

2+11+37=50

第[5]道题答案：

11,12,13

将1716分解质因数得

1716=2

2

3

11

13

=11

（2

2

3）

13

由此可以看出这三个数是11,12,13.

第[6]道题答案：

88

先把1992分解质因数,然后把不同质数相加,求出它们的和.

1992=2

2

2

3

83

所以1992所有不同的质因数有:

2,3,83.它们的和是

2+3+83=88.

第[7]道题答案：

210

最小的四个质数是2,3,5,7,所以有四个不同质因数的最小自然数是

2

3

5

7=210

第[8]道题答案：

192

先把9216分解质因数,然后再用“试验法”解答

9216=2

2

…

2

3

3

10个

=96

96

欲使这两个自然数的和最小,可使两数相等,所以这两个质因数的和最小为

96+96=192.

第[9]道题答案：

36

如下图所示,要求木条的面积,必须知道正方形木板的边长.把108分解质因数.

108（cm2）

平方分米

3分米

108=2

2

3

3

3

=12

9

由此可见,9加3正好等于12,所以正方形木板边长是12分米.所以,木条面积是12

3=36（平方分米）

第[10]道题答案：

由于每只瓶都称了三次,因此记录数之和是4瓶油（连瓶）重量之和的3倍,即4瓶油（加瓶）共重

（8+9+10+11+12+13）

3=21（千克）

而油重之和及瓶重之和均为质数,所以它们必为一奇一偶,而质数中是偶数的质数只有2,故有

（1）油重之和为19千克,瓶重之和为2千克,每只瓶重

千克,最重的两瓶内的油为13-

2=12（千克）.

（2）油重之和为2千克,瓶重之和为19千克,每只瓶重

千克,最重的两瓶内的油为13-

2=

（千克）,这与油重之和为2千克矛盾,不合要求,删去.