质数与合数.docx

1、质数与合数质数和合数（3.21）班级： 姓名：_ 知识要点：1、 自然数（能否被2整除）：奇数和偶数。自然数（约数的个数）：质数、合数和1。2、质数：一个数除了1和它本身以外，不再有别的约数，这个数叫做质数（或素数）。如：2、3、5、7、11等。质数只有两个约数。合数：一个数除了1和它本身以外，还有别的约数，这个数叫做合数。如：4、6、8、9等。合数至少有三个约数。1：只有一个约数，就是它本身，1既不是质数，也不是合数，它是自然数的基本单位。3、最小的质数是2，也是质数中唯一的一个偶数，其余的质数全是奇数。最小的合数是4。4、把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。任何一个合

2、数都可以分解成若干个质因数乘积的形式。5、分解质因数可以借助短除法。例1 有两个质数，它们之和既是一个小于100的奇数，又是17的倍数，这两个质数的积是多少？【分析】既小于100，又是17的倍数的奇数有17、51和85三个数。偶数奇数奇数，可知两个质数中必有一个质数是偶数2例2 一个数A为质数，且A20，A40也都是质数，A是多少？【分析】A20，A40都是质数，所以A2。例3 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并且只能用一次，这九个数字最多能组成多少个质数？【分析】由“每个数字都要用到，且只能用一次，同时组成的质数的个数最多”的条件，可知组成质数时

3、，注意尽可能地将合数4、6、8、9和最小自然数1组成两位数，同时要注意质数的含义。因为8和9既可以组成质数89，又可以组成合数98，而4和6不可能组成质数，但它们与1可以组成质数41或61。剩下的6或4与7可组成质数67或47。例4 72的全部约数有多少个？【分析】先把72分解质因数72222332332求一个数的约数个数，须先把这个数分解质因数，然后将每一质因数右上角的数（表示质因数的个数）各加1后相乘，其积就是这个数的约数个数。例5 144的全部约数之和是多少？【分析】求一个自然数的全部约数的和，只需先把它分解质因数，将仅含有一种质因数的全部约数相加，再将这些和相乘，则积就是这个自然数的全

4、部约数之和。如722332，则72的全部约数的和是（1248）（139）1513195。例6 有8个不同约数的自然数中，最小的一个数是多少？因为81824222，所以所求自然数，只可能有三种情况：a7，ab3，abc，其中a、b、c是不同的质数。又因为要求的自然数是最小的，则质数a，b，c应尽量小，所以这个数有三种可能：（1）27128 （2）32324（233323）。（3）23530。例7 已知pq1x，其中p、q为质数，且p、q均小于1000，x是奇数，求x的最大值。【分析】因为pq1x，所以pqx1。又因为pq为质数，x是奇数，所以x1是偶数。即pq是偶数，又因为P、q为质数，所以p、

5、q中必有一个偶质数2，不妨设p2。现在只要找出符合题意的质数q就行了。为了使x尽可能大。又因为q1000，所以我们只须取q为最大的三位数质数997。例8 用1155个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法。【分析】根据题意知用1155个同样大小的正方形组成的各种长方形，其面积不变，可应用分解质因数的原理分解组合成两个数的乘积形式。分解 115535711组合 11553385523171651110515772155 333511155例9 某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组。如果师生每人种树一样多，共种了572棵，那么平均每人种了多少棵树？【分析与解】因为师生

6、每人种树一样多，共种了572棵，所以有种树总数每人种树棵数师生总人数即 572每人种树棵数师生总人数而学生数恰好平均分成3组，即学生数是3的倍数，再加上老师一人，则师生总人数被3除余1。例10 975935972（ ），要使这个连乘积的最后四个数字都是0，问在括号内最小应填什么数？【分析】一组2与5相乘，其积的末尾有一个零。因此，只需看一下这个连乘积的质因数分解中共有多少个2和5，即可得出所求。将975、935、972分解质因数：97535513935511179722233333例11 504乘以自然数a，得到一个平方数（即为某自然数的平方）。求a的最小值和这个平方数。【分析与解】因为一个平

7、方数所含不同质因数的个数是偶数，所以只需把504与自然数a的乘积504a分解质因数，则不难得出a的最小值。例12 1234199200这200个数乘积的末尾有多少个连续的零？例13甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪，三人各自中靶的环数之积是60，按个人中靶的总环数由高到低排，依次是甲、乙、丙。靶上4环的那一枪是谁打的？（环数是不超过10的自然数）例14、有一个2n+1位整数（n是整数，n1）求222.2223111.111是质数还是合数？n个2n个1同步测试姓名： 得分 ： 1a、b、c都是质数，c是一位数，且abc1993，那么a、b、c的和是多少？2A为质数，如果A23,A35也都是质数，那么

8、A是多少？3有三张卡片，各写着一个数字1、2、3，从中抽出一张、二张、三张，任意排列，可得到不同的数。请你将其中的质数都写出来。4270乘以自然数X，得到一个平方数（即为某自然数的平方）。求X的最小值和这个平方数。5360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？6某自然数是3和4的倍数，包括1和本身在内共有10个约数，那么这个自然数是多少？7把35拆成若干个不同质数的和，如果要使这些质数的积最大，这几个质数分别是多少？8一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和为100，那么，这两个质数的乘积是多少？9有三个学生，他们的年龄一个比一个大3岁，他们三人年龄的乘积是1620，这三个学生年龄数的和是多少

9、？10 筐里共有96个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿。要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，有多少种不同的拿法。11如果两个数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两数的差等于多少？121234399400这400个数乘积的末尾有多少个连续的零？ 13、求有18个约数的最小自然数。家 庭 作 业班级： 姓名： 1. 在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有_；既不是合数又不是质数的有_；既是偶数又是质数的有_.2. 最小的质数与最接近100的质数的乘积是_.3两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是_.4. 在下式样中分别填入三个质数,使等式成立. +=505

10、. 三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是_、_、_.6. 找出1992所有的不同质因数,它们的和是_.7. 如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是_.8. 9216可写成两个自然数的积，这两个自然数的和最小可以达到_.9. 从一块正方形的木板上锯下宽为3分米的一个木条以后,剩下的面积是108平方分米.木条的面积是_平方分米.10. 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?作业参考答案第1道题答案：9，1，2.在一位自然数中

11、,奇数有:1,3,5,7,9,其中仅有9为合数,故第一个空填9.在一位自然数中,质数有2、3、5、7，合数有4、6、8、9，所以既不是合数又不是质数的为1.在一位自然数中,偶数有2、4、6、8，既是偶数又是质数的数为2.第2道题答案：202最小的质数是2,最接近100的质数是101,它们的乘积是2101=202.第3道题答案：420首先注意到41是质数,两个自然数的和与差的积是41,可见它们的差是1,这是两个连续的自然数,大数是21,小数是20,所以这两个自然数的积是2021=420.第4道题答案：2、5、43接近50的质数有43,再将7分拆成质数2与质数5的和.即 2+5+43=50另外,还

12、有 2+19+29=50 2+11+37=50第5道题答案：11,12,13将1716分解质因数得 1716=2231113 =11 (223) 13由此可以看出这三个数是11,12,13.第6道题答案：88先把1992分解质因数,然后把不同质数相加,求出它们的和. 1992=222383所以1992所有不同的质因数有:2,3,83.它们的和是 2+3+83=88.第7道题答案：210最小的四个质数是2,3,5,7,所以有四个不同质因数的最小自然数是 2357=210第8道题答案：192先把9216分解质因数,然后再用“试验法”解答 9216=22233 10个 =9696欲使这两个自然数的和

13、最小,可使两数相等,所以这两个质因数的和最小为 96+96=192.第9道题答案：36如下图所示,要求木条的面积,必须知道正方形木板的边长.把108分解质因数.108(cm2)平方分米 3分米 108=22333 =129由此可见,9加3正好等于12,所以正方形木板边长是12分米.所以,木条面积是123=36(平方分米)第10道题答案：由于每只瓶都称了三次,因此记录数之和是4瓶油(连瓶)重量之和的3倍,即4瓶油(加瓶)共重(8+9+10+11+12+13) 3=21(千克)而油重之和及瓶重之和均为质数,所以它们必为一奇一偶,而质数中是偶数的质数只有2,故有(1)油重之和为19千克,瓶重之和为2千克,每只瓶重千克,最重的两瓶内的油为13-2=12(千克).(2)油重之和为2千克,瓶重之和为19千克,每只瓶重千克,最重的两瓶内的油为13-2= (千克),这与油重之和为2千克矛盾,不合要求,删去.