第三章特殊的平行四边形.docx
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第三章特殊的平行四边形
§3.2特殊的平行四边形
§3.2.1矩形
班级：
__________姓名：
__________
一、判断题
1.矩形的对角线互相平分
2.矩形的对角线互相垂直
3.对角线相等的四边形是矩形
4.矩形具有平行四边形的一切性质
5.对角线相等的平行四边形是矩形
二、填空题
1.如图（１）矩形的两条对角线夹角是60°，一条对角线与较短边的和是15，则该矩形对角线的长是__________.
（1）
（2）
2.图
（2）已知矩形的长为20，宽为12，顺次连结矩形四边中点所形成四边形的面积是__________.
3.矩形除具有平行四边形性质外，还具有性质：
①_____________________________;
②_____________________________.
4.矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=120°，则∠OBA=__________.
5.矩形的对角线相交成60°角，对角线长为10厘米，则矩形的宽为__________.
6.在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，则四边形ABCD是__________形.
7.判定一个四边形是矩形，可以先判定它是__________，再判定这个四边形有一个__________或再判定这个四边形的两条对角线__________.
8.
ABCD的两条对角线相交于一点O，若△AOB是等边三角形，AB=2cm,则ABCD的面积等于__________.
三、选择题
1.如图
（1），过矩形ABCD的顶点A作对角线BD的平行线交CD的延长线于E，则△AEC是
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.不等边三角形
D.等腰直角三角形
（1）
（2）
2.如图
（2），在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD=90°，若矩形ABCD的周长为30cm，则AB的长为
A.5cmB.10cmC.15cmD.7.5cm
3.下列命题中正确的是
A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.三个角是直角的多边形是矩形
C.两条对角线相等的四边形是矩形
D.两条对角线相等的平行四边形是矩形
4.在矩形ABCD中，AB=2AD，E是CD上一点，且AE=AB，则∠CBE等于
A.30°B.22.5°
C.15°D.以上答案都不对
四、解答题
1.如左下图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，若
∠CAE=15°，求∠BOE的度数.
1.如右上图
ABCD，四内角平分线相交于E、F、G、H.
求证：
四边形EFGH是矩形
参考答案
一、1.√2.×3.×4.√5.√
二、1.10
2.120（平方单位）
3.①对角线相等②四个内角均为90°
4.30°
5.5厘米
6.矩
7.平行四边形内角是直角相等
8.4
cm2
三、1.B2.A3.D4.C
四、1.解：
在矩形ABCD中，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=
∠BAD=45°
又∵∠CAE=50°，∴∠BAO=∠BAE+∠CAE=60°
△AOB为等边三角形，
∴OB=AB，∠ABO=60°
∴∠OBE=∠ABC－∠ABO=90°－60°=30°
∵∠BAE=45°，∠BEA=45°
∴AB=BE，OB=BE
∴∠BOE=
=75°
2.证明：
如图在
ABCD中，
∵AE、BG、CG、DE分别为四个内角平分线
∴∠1=∠2=90°，∠3+∠4=90°
在△ABH中∠AHB=90°=∠GHE，在△AED中∠AED=90°
同理可证∠GFE=90°，∠HGF=90°
∴四边形EFGH为矩形.
§3.2.2菱形
班级：
__________姓名：
__________
一、判断题
1.对角线相等的四边形是菱形
2.菱形的对角线互相平分
3.对角线垂直的四边形是菱形
4.只有菱形才可能对角线互相垂直
5.邻边相等的平行四边形是菱形
二、填空题
1.邻边相等的平行四边形是__________.
2.菱形的一个角是150°，如果边长为a，那么它的高为__________.
3.如果菱形的周长等于它的一组对边距离的8倍，那么它的四个角分别是__________度.
4.菱形的两条对角线长分别是8cm和10cm,则菱形的面积是__________.
5.菱形除具有平行四边形的性质外，还具有一些特殊性质，四条边__________，对角线__________.
6.菱形的一个内角是120°，边长为4厘米，则此菱形的两条对角线长分别是__________.
7.要判断一个四边形是菱形，可以首先判断它是一个平行四边形，然后再判定这个四边形的一组__________或两条对角线__________.
8.将矩形四边形中点顺次连结，形成的四边形是__________.
三、选择题
1.四边相等的四边形是
A.菱形B.矩形
C.正方形D.梯形
2.菱形的面积等于
A.对角线乘积B.一边的平方
C.对角线乘积的一半D.边长平方的一半
3.下列条件中，可以判定一个四边形是菱形的是
A.两条对角线相等B.两条对角线互相垂直
C.两条对角线相等且垂直D.两条对角线互相垂直平分
4.在
ABCD中，下列结论中，不一定正确的是
A.AB=CDB.AC=BD
C.当AC⊥BD时，它是菱形D.当∠ABC=90°，它是矩形
四、解答题
1.如左下图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、AF.
求证：
AE=AF
2.在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，EF是线段AC的中垂线，交AD、BC于E、F.
求证：
四边形AECF是菱形
参考答案
一、1.×2.√3.×4.×5.√
二、1.菱形
2.
3.30°150°30°150°或150°30°150°30°
4.40cm2
5.相等互相垂直且平分一组对角
6.4厘米，4
厘米
7.邻边相等互相垂直
8.菱形
三、1.A2.C3.D4.B
四、1.证明：
在菱形ABCD中，AB=AD=BC=CD，∠B=∠D
又∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴BE=DF
∴在△ABE和△ADF中，AB=AD，∠B=∠D，BE=DF
∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF
2.证明：
（证法不惟一）∵O是AC的中点，
∴AO=CO
又在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠2
∴在△AOE和△COF中，∠1=∠2，AO=CO，∠AOE=∠COF=90°
∴△AOE≌△COF，∴AE=CF
又EF是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AF=CF
∴AE=CE=AF=CF
∴四边形AECF是菱形
§3.2.3正方形及其应用
班级：
__________姓名：
__________
一、判断题
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形
2.有一个角是直角的菱形是正方形
3.两条对角线互相垂直的矩形是正方形
4.四边都相等的矩形是正方形
5.正方形具有矩形和菱形的所有性质
6.既是矩形又是菱形的图形是正方形
二、填空题
1.正方形的性质：
①正方形的四个角__________，四条边__________，②正方形的两条对角线__________，并且__________.
2.正方形的对角线长为10cm，则正方形的边长是__________.
3.正方形的判定方法：
①____________的菱形是正方形.②____________的矩形是正方形.
4.正方形以对角线的交点为中心，在平面上旋转最少__________度可以与原图形重合.
三、选择题
1.下列命题正确的是
A.四角相等且两边相等的四边形是正方形
B.对角线相等的平行四边形是正方形
C.对角线垂直的平行四边形是正方形
D.对角线和一边的夹角是45°的菱形是正方形
2.如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB等于
A.135°B.45°
C.22.5°D.30°
四、解答题
1.如左下图，ABCD和AEFG都是正方形.
求证：
BE=DG
2.
（1）顺次连结平行四边形四边中点所组成的图形是什么四边形？
（2）顺次连结矩形、菱形、正方形各边中点，分别组成什么四边形？
参考答案
一、1.√2.√3.√4.√5.√6.√
二、1.①是直角相等②相等互相垂直平分
2.5
cm
3.一个内角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直
4.90
三、1.D2.C
四、1.证明：
∵四边形ABCD、AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG
又∵∠BAE+∠EAD=90°，∠DAG+∠EAD=90°
∴∠BAE=∠DAG，∴△BAE≌△DAG
∴BE=DG
2.
（1）平行四边形
（2）顺次连结矩形各边中点所组成的图形是菱形，顺次连结菱形各边中点所组成的图形是矩形，顺次连结正方形各边中点所成的图形是正方形
二、特殊平行四边形
（一）
班级：
___________________________姓名：
___________________________
作业导航
1.矩形的性质和判定
2.菱形的性质和判定
一、填空题
1.矩形的两条对角线的一个交角是60°，一条对角线与较短边的和是12cm，则对角线长是_________.
2.在矩形ABCD中，BD、AC相交于O，AC=6，AB=3，则BC=_________，BD=_________，∠AOB=_________，S矩形ABCD=_________.
3.有三个角是_________的四边形是矩形.对角线_________的平行四边形是矩形.有一个角是_________的平行四边形是矩形.
4.如图1，矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上，如果∠BAE=50°，则∠DAF=_________.
图1
5.已知矩形的两条对角线的一个交角是40°，那么对角线与矩形的边所成的角是_________.
6.矩形ABCD的两条对角线交于点O，（AB＞BC），AC=2BC，则∠AOB=_________.
7.顺次连结矩形四边中点所得四边形是_________.顺次连结菱形四边中点所得四边形是_________.顺次连结等腰梯形四边中点所得四边形是_________.由此猜想：
顺次连结_________的四边形四边中点所得四边形是矩形，顺次连结_________的四边形四边中点所得四边形是菱形.即新四边形的形状与原四边形的_________有关.
8.菱形的周长是20cm，则菱形的一边长是_________.
9.菱形的相邻两内角之比为1∶2，则这两个角的度数分别是_________.
10.已知菱形ABCD的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的周长是_________.
11.对角线互相垂直平分的四边形是_________.
二、选择题
12.能判定一个四边形是菱形的题设是（）
A.有一组邻边相等B.对角线互相垂直
C.有三边相等D.四条边都相等
13.如图2，在菱形ABCD中，若∠ABC=120°，则BD∶AC等于（）
图2
A.
∶2B.1∶2
C.
∶1D.
∶3
14.若菱形ABCD的周长为16，∠A∶∠B=1∶2，则菱形的面积为（）
A.2
B.3
C.4
D.8
15.□ABCD中，AC、BD交于点O，OM是△OBC的高，若点M是BC中点，那么□ABCD（）
A.一定是矩形B.一定不是矩形
C.不一定是矩形D.以上答案都不对
三、解答题
16.如图3，在矩形ABCD中，DE⊥AC，∠ADE=∠BDE，求∠EDC的度数.
图4
17.矩形ABCD中,AD=9cm,AB=3cm，将其折叠使点D与点B重合，求折叠后DE的长.
图4
18.已知：
如图5，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE∥AB，DF∥AC，求证：
四边形AFDE是菱形.
图5
20.如图6,矩形ABCD中,AC、BD相交于O,AE平分∠BAD交BC于E,若∠CAE=15°，求∠BOE的度数.
图6
二、特殊平行四边形
（一）
一、1.8cm2.3
660°9
3.直角相等90°4.20°5.70°,20°6.120°7.菱形矩形菱形对角线互相垂直对角线相等对角线8.5cm9.60°,120°10.20cm11.菱形
二、12.D13.D14.D15.A
三、16.60°17.5cm18.略19.75°
特殊平行四边形
（二）
班级：
___________________________姓名：
___________________________
作业导航
正方形的判定及性质
一、填空题
1.正方形的一条边长是4，则它的对角线长是_________.
2.正方形的面积是25，则它的对角线长_________.
3.邻边_________的矩形是正方形.
4.有一个角是直角的菱形是_________.
5.对角线_________的四边形是正方形.
6.正方形的对角线和它的边所成的角是_________度.
7.如图1，正方形ABCD，以AB为边分别在正方形内、外作等边△ABE、△ABF，则∠CFB=_________，若AB=4，则S四边形AFBE=_________.
图1
8.如图2，E为正方形ABCD边BC延长线上一点，且CE=BD，AE交DC于F，则∠AFC=_________.
图2
9.正方形ABCD中，E为AB上一点，且AE=1，DE=2，则正方形的面积为_________.
二、选择题
10.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形为正方形的是（）
A.AD∥BC，∠B=∠D
B.AC=BD，AB=CD，AD=BC
C.OA=OC，OB=OD，AB=BC
D.OA=OB=OC=OD，AC⊥BD
11.正方形具有而矩形不一定有的性质是（）
A.对角线相等且互相平分
B.对角线互相垂直且平分每一组对角
C.每一内角均为直角
D.对边平行且相等
12.□ABCD是正方形需增加的条件是（）
A.邻边相等B.邻角相等
C.对角线互相垂直D.对角线互相垂直且相等
13.矩形各内角的平分线若能围成一个四边形，则这个四边形一定是（）
A.平行四边形B.矩形
C.正方形D.菱形
14.矩形的对角线长10cm，顺次连结矩形四边中点所得四边形的周长为（）
A.40cmB.10cmC.5cmD.20cm
三、解答题
15.梯形的上底与垂直于底的腰相等，与下底夹角为45°的另一腰长是4
cm，求此梯形的面积.
图3
16.如图4，F是正方形ABCD的边BC的中点，CG平分∠DCM，交过F点AF的垂线FG于G，求证：
AF=FG.
图4
17.如图5，四边形ACDE、BAFG是以△ABC的边AC、AB为边向△ABC外所作的正方形.
求证：
（1）EB=FC.
（2）EB⊥FC.
图5
特殊的平行四边形
（二）
一、1.4
2.5
3.相等4.正方形
5.互相垂直平分且相等6.457.15°8
8.112.5°9.3
二、10.D11.B12.D13.C14.D
三、15.24cm216.略17.略
单元测试
班级：
__________________姓名：
___________________得分：
_____________________
一、填空题
1.以长为8，宽为6的矩形各边中点为顶点的四边形的周长为_________.
2.已知正方形的一条对角线长为4cm，则它的面积是_________cm2.
3.菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为_________，面积为_________.
4.□ABCD中，若∠A∶∠B=2∶3，则∠C=_________，∠D=_________.
5.矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC的三等分点，则△BEF的面积是_________.
6.菱形ABCD中，AB=4，高DE垂直平分边AB，则BD=_________，AC=_________.
7.□ABCD中，周长为20cm，AB=4cm，那么CD=_________cm，AD=_________cm.
8.菱形两邻角的度数之比为1∶3，高为7
，则边长=_________，面积=_________.
9.如图1，等边△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的中点，那么图中有_________个等边三角形，有_________个菱形.
图1
10.矩形ABCD的周长是56cm，它的两条对角线相交于O，△AOB的周长比△BOC的周长短4cm，则AB=_________，BC=_________.
11.如图2，E、F是□ABCD对角线AC上两点，且AE=CF，则四边形DEBF是_________.
图2
12.如图3，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有_________对.
图3
二、选择题
13.在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，请判断下列结论：
其中正确的结论有（）
（1）BE=DF；
（2）AG=GH=HC；（3）EG=
BG；（4）S△ABE=3S△AGE
A.1个B.2个C.3个D.4个
14.如图4，□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为（）
图4
A.8.3B.9.6C.12.6D.13.6
15.给出下列命题，其中错误命题的个数是（）
①四条边相等的四边形是正方形；②两组邻边分别相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形；④矩形、线段都是轴对称图形.
图5
A.1B.2C.3D.4
16.同学们玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，如图5，是看到的万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心_________得到的.（）
A.顺时针旋转60°B.顺时针旋转120°
C.逆时针旋转60°D.逆时针旋转120°
17.某人设计装饰地面的图案，拟以长为22cm，16cm，18cm的三条线段中的两条为对角线，另一条为边，画出不同形状的平行四边形，他可以画出形状不同的平行四边形个数为（）
A.1B.2C.3D.4
18.若等腰梯形两底的差等于一腰的长，则最小的内角是（）
A.30°B.45°C.60°D.75°
19.如图6，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为（）
图6
A.
B.
C.2D.
20.如图7，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）
图7
A.1处B.2处C.3处D.4处
21.在课外活动课上，某同学做了一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm2，则两条对角线共用的竹条至少需（）
A.30
cmB.30cmC.60cmD.60
cm
22.给出五种图形：
①矩形②菱形③等腰三角形（腰与底边不相等）④等边三角形⑤平行四边形（不含矩形、菱形），其中可用两块能完全重合的含有30°角的三角板拼成的所有图形是（）
A.①②③B.②④⑤C.①③④⑤D.①②③④⑤
三、解答题
23.如图8，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，求证：
EF=DF.
图8
24.已知：
如图9，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，求证：
四边形AFCE是菱形.
图9
25.已知：
P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，求证：
AP=EF.
图10
26.如图11△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE.
图11
（1）求证：
△ACD≌△CBF.
（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°.
27.已知：
□ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长.
图12
28.已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，E为梯形内一点，且EA=ED，求证：
EB=EC.
图13
29.如图14所示，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形△ABD、△BCE、△ACF，猜想：
四边形ADEF是什么四边形，试证明你的结论.
图14
单元测试
一、1.202.83.5244.72°108°5.86.44
7.468.1498
9.5310.12cm16cm11.平行四边形12.3
二、13.C14.B15.B16.D17.B18.C19.D20.D21.C22.C
三、23.略24.略25.略
26.
（1）略
（2）D为BC的中点时
27.AB=CD=
cmAD=BC=
cm
28.略29.四边形ADEF是平行四边形
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