人教版八年级上册数学《133等腰三角形》同步测试含答案解析2份.docx

人教版八年级上册数学《133等腰三角形》同步测试含答案解析2份.docx

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人教版八年级上册数学《133等腰三角形》同步测试含答案解析2份

13.3.1　等腰三角形

基础闯关全练

拓展训练

1.（2016山东滨州中考）如图,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为（　　）

A.50°　　　　B.51°　　　　C.51.5°　　　　D.52.5°

2.如下是四张形状不同的纸片,用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次）,不能够得到两个等腰三角形纸片的是（　　）

3.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4,则这个等腰三角形顶角的度数为　　　　. 

4.如图,AD∥BC,∠BAC=70°,DE⊥AC于点E,∠D=20°.

（1）求∠B的度数,并判断△ABC的形状;

（2）若延长线段DE恰好过点B,试说明BD是∠ABC的平分线.

能力提升全练

拓展训练

1.（2018黑龙江鸡西密山期末）如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,则下列四个结论:

（1）∠DEF=∠DFE;

（2）AE=AF;（3）DA平分∠EDF;（4）EF垂直平分AD.其中正确的有（　　）

A.1个　　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　　D.4个

2.（2018吉林长春榆树期末）如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,若CD=3,则CE等于　（　　）

A.2　　　　　B.2.5　　　　C.3　　　　　D.3.5

3.如图,已知∠B=∠C,请同学从①BE=CE,②AB=DC,③∠BAE=∠CDE三个等式中再选出一个作为条件,可以推出△AED是等腰三角形的有　　　　　（填序号）. 

4.（2018北京期末）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°,则此等腰三角形的顶角为　　　　　　. 

三年模拟全练

拓展训练

1.（2018山东青岛市南期末,8,★★☆）如图,AB=AC,AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M,且BC=AD,下列结论:

①△BCD是等腰三角形;②BD平分∠ABC;③∠C=72°;④图中共有3个等腰三角形,其中正确的有（　　）

A.4个　　　　　B.3个　　　　C.2个　　　　　D.1个

2.（2018山东德州期末,18,★★★）已知△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交直线AC于点E,若∠EBC=42°,则∠BAC的度数为　　　　　. 

3.（2018广东蓬江期末,20,★★☆）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BE平分∠ABC,AM⊥BC于点M,AD平分∠MAC,交BC于点D,交BE于点F,AM交BE于点G.

（1）求证:

∠BAM=∠C;（5分）

（2）判断直线BE与线段AD之间的关系,并说明理由.（7分）

五年中考全练

拓展训练

1.（2016内蒙古通辽中考,14,★★★）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°,则该等腰三角形的底角的度数为　　　　. 

2.（2016江苏常州中考,23,★★☆）如图,已知△ABC中,AB=AC,BD、CE是高,BD与CE相交于点O.（8分）

（1）求证:

OB=OC;

（2）若∠ABC=50°,求∠BOC的度数.

核心素养全练

拓展训练

　如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这条线段为这个三角形的特异线,称这个三角形为特异三角形.

（1）如图1,△ABC中,∠B=2∠C,线段AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E.求证:

AE是△ABC的一条特异线;

（2）如图2,若△ABC是特异三角形,∠A=30°,∠B为钝角,求出所有可能的∠B的度数.

13.3.1　等腰三角形

基础闯关全练

拓展训练

1.D　∵AC=CD,∴∠ADC=∠A=50°,又∵CD=BD,∴∠B=∠BCD,∵∠ADC=∠B+∠BCD=50°,∴∠B=25°,

∵BD=BE,∴∠BDE=∠BED=77.5°,∵∠ADC+∠CDE+∠BDE=180°,∴∠CDE=52.5°.

2.B　A.如图所示,△ACD和△BCD都是等腰三角形;

B.△ABC不能够分成两个等腰三角形;

C.如图所示,△ACD和△BCD都是等腰三角形;

D.如图所示,△ACD和△BCD都是等腰三角形.

故选B.

3.答案　120°或20°

解析　设两内角分别是x°,4x°（x>0）.

①当底角为x°时,根据三角形的内角和定理,得x°+x°+4x°=180°,解得x=30,∴4x=120,此时顶角为120°;

②当顶角为x°时,x°+4x°+4x°=180°,解得x=20,此时顶角为20°.

所以这个等腰三角形的顶角为120°或20°.

4.解析　

（1）∵DE⊥AC于点E,∠D=20°,

∴∠CAD=70°,∵AD∥BC,

∴∠C=∠CAD=70°,∵∠BAC=70°,

∴∠B=40°,AB=BC,∴△ABC是等腰三角形.

（2）∵延长线段DE恰好过点B,DE⊥AC,

∴BD⊥AC,∵△ABC是等腰三角形,且BA=BC,

∴BD是∠ABC的平分线.

能力提升全练

拓展训练

1.C　∵AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴△ABC是等腰三角形,DE=DF,∴∠DEF=∠DFE.结合三角形全等知识得AE=AF,DA平分∠EDF.故选C.

2.C　∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°,∵BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,∴∠ABD=∠ACE=36°,∴∠BDC=72°,∴∠CED=180°-∠ACE-∠BDC=72°,

∴∠CED=∠CDE,∴CE=CD=3,故选C.

3.答案　①或②

解析　选①BE=CE.

理由:

∵∠B=∠C,BE=CE,∠BEA=∠CED,

∴△BEA≌△CED（ASA）,∴AE=DE,

∴△AED是等腰三角形.

选②AB=DC.理由:

∵∠BEA=∠CED,∠B=∠C,AB=DC,∴△BEA≌△CED（AAS）,

∴AE=DE,∴△AED是等腰三角形.故填①或②.

4.答案　50°或130°

解析　当顶角为锐角时,如图1.∵∠ADE=40°,∠AED=90°,∴∠A=50°;当顶角为钝角时,如图2,∵∠ADE=40°,∠AED=90°,∴∠DAE=50°,∴∠BAC=180°-50°=130°.故答案为50°或130°.

三年模拟全练

拓展训练

1.A　∵MN是AB的中垂线,∴DA=DB,∵BC=AD,∴BC=BD,∴△BCD是等腰三角形,①正确;∵BC=BD,

∴∠BCD=∠BDC=∠DAB+∠DBA,∵DA=DB,

∴∠DBA=∠DAB,∴∠C=2∠DBA,

∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∴∠ABC=2∠DBA,∴BD平分∠ABC,②正确;设∠A=x,则∠ABC=∠C=2x,则x+2x+2x=180°,解得x=36°,∴∠C=2x=72°,③正确;

∵AB=AC,DA=DB,BC=BD,

∴图中共有3个等腰三角形,④正确.故选A.

2.答案　32°或152°或88°

解析　如图1,∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∠ABC+∠ACB+∠A=180°,

∵DE垂直且平分AB,∴EA=EB,∴∠ABE=∠A,

∵∠EBC+∠ACB=∠AEB,

∴42°+

（180°-∠A）=180°-2∠A,解得∠BAC=32°.

如图2,同理可得,∠BAC=152°,如图3,同理可得,∠BAC=88°.综上所述,∠BAC=32°或152°或88°.

3.解析　

（1）证明:

∵AM⊥BC,∴∠ABC+∠BAM=90°,

∵∠BAC=90°,∴∠ABC+∠C=90°,∴∠BAM=∠C.

（2）BE垂直平分AD.理由:

如图,∵AD平分∠MAC,∴∠3=∠4,∵∠BAD=∠BAM+∠3,∠ADB=∠C+∠4,∠BAM=∠C,∴∠BAD=∠ADB,

∴AB=BD,∴△BAD是等腰三角形,又∵∠1=∠2,∴BE垂直平分AD.

五年中考全练

拓展训练

1.答案　69°或21°

解析　分两种情况讨论:

①若∠A<90°,AB=AC,如图1所示.

∵BD⊥AC,∴∠A+∠ABD=90°,

∵∠ABD=48°,∴∠A=90°-48°=42°,∵AB=AC,

∴∠ABC=∠C=

×（180°-42°）=69°.

②若∠BAC>90°,AB=AC,如图2所示.

∵BD⊥AC,∠ABD=48°,∴∠DAB=90°-48°=42°,

∴∠BAC=180°-42°=138°,∵AB=AC,

∴∠ABC=∠C=

×（180°-138°）=21°.

综上所述,等腰三角形的底角的度数为69°或21°.

2.解析　

（1）证明:

∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB,即∠EBC=∠DCB.

∵BD、CE是△ABC的两条高,

∴∠BEC=∠BDC=90°.

在△BEC和△CDB中,

∴△BEC≌△CDB,

∴∠ECB=∠DBC,

∴OB=OC.

（2）∵∠ABC=50°,AB=AC,

∴∠A=180°-2×50°=80°,

∵∠DOE+∠A=180°,

∴∠BOC=∠DOE=180°-80°=100°.

核心素养全练

拓展训练

　解析　

（1）证明:

∵DE垂直平分AC,

∴EA=EC,∴△EAC是等腰三角形,

∴∠EAC=∠C,

∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,

∵∠B=2∠C,

∴∠AEB=∠B,∴AB=AE,∴△EAB是等腰三角形.

∴AE是△ABC的一条特异线.

（2）如图.

当BD是特异线时,如果AB=BD=DC,则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°.

如果AD=AB,DB=DC,则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°.

如果AD=DB,DC=DB,则∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°（不合题意,舍去）.

如图,当AD是特异线时,AB=BD,AD=DC,则∠ABC=180°-20°-20°=140°.

当CD为特异线时,不合题意.

∴符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°.

13.3.2　等边三角形

基础闯关全练

拓展训练

1.（2018湖北天门期中）如图,△ABC是等边三角形,D为AB的中点,DE⊥AC,垂足为点E.若AE=1,则△ABC的边长为　（　　）

A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8

2.已知∠AOB=30°且∠AOB内有一点P,点P关于OA、OB的对称点分别为E、F,则△EOF一定是　　　　三角形. 

3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB,∠EDF=60°,其两边分别交AB,AC于点E,F.

（1）求证:

△ABD是等边三角形;

（2）求证:

BE=AF.

能力提升全练

拓展训练

1.（2018江苏南通崇川月考）如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内的两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°.若BE=6cm,DE=2cm,则BC的长为（　　）

A.4cm　　　　　B.6cm

C.8cm　　　　　D.12cm

2.（2018广西玉林北流扶新月考）如图所示是两块完全一样的含30°角的三角板,分别记作△ABC和△A1B1C1,现将两块三角板重叠在一起,设较长直角边的中点为M,绕中点M转动三角板ABC,使其直角顶点C恰好落在三角板A1B1C1的斜边A1B1上,当∠A=30°,AC=10时,两直角顶点C,C1间的距离是　　　　　. 

3.如图1,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别为EB,CD的中点,易证:

CD=BE,△AMN是等边三角形.

（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时,CD=BE吗?

若相等,请证明;若不相等,请说明理由;

（2）当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时,△AMN还是等边三角形吗?

若是,请证明;若不是,请说明理由（可用第一问结论）.

三年模拟全练

拓展训练

1.（2018湖北宜昌建湖期中,15,★★★）如图,△ABC是等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,PR=PS,则下列结论:

①点P在∠BAC的平分线上;②AS=AR;③QP∥AR;

④△BRP≌△QSP.其中正确的有（　　）

A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个

2.（2018广西贵港期末,10,★★☆）如图,在等边△ABC中,AB=8,E是BA延长线上一点,且EA=4,D是BC上一点,且ED=EC,则BD的长为（　　）

A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6

3.（2018四川宜宾模拟,18,★★☆）如图所示,将数轴从某一点开始折出一个等边三角形ABC,设点A表示的数为x-3,点B表示的数为2x+1,点C表示的数为-4,若将△ABC向右滚动,则x的值等于　　　　,数字2012对应的点将与△ABC的顶点　　　　重合. 

五年中考全练

拓展训练

1.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB交BC于点D,E为AB上一点,连接DE,则下列说法错误的是（　　）

A.∠CAD=30°　　　　　B.AD=BD

C.BD=2CD　　　　　D.CD=ED

2.如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,CE平分∠ACB.若BE=2,则AE的长为（　　）

A.

　　　　B.1　　　　C.

　　　　D.2

3如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.（8分）

（1）求∠F的度数;

（2）若CD=2,求DF的长.

核心素养全练

拓展训练

1.已知:

如图,△ABC、△CDE都是等边三角形,AD、BE相交于点O,点M、N分别是线段AD、BE的中点.

（1）求证:

AD=BE;

（2）求∠DOE的度数;

（3）求证:

△MNC是等边三角形.

2.如图,△ABC中,∠BAC=60°,点D、E分别在AB、AC上,∠BCD=∠CBE=30°,BE、CD相交于点O,OG⊥BC于点G,求证:

OE+OD=2OG.

13.3.2　等边三角形

基础闯关全练

拓展训练

1.B　∵△ABC是等边三角形,DE⊥AC,∴∠A=60°,∠AED=90°,∴∠ADE=30°,∴AD=2AE=2,又∵D为AB的中点,∴AB=2AD=4,∴等边三角形ABC的边长为4,故选B.

2.答案　等边

解析　如图.∵点P关于OA的对称点为E,∴OA垂直平分PE,∴OP=OE.同理,OF=OP,∴OE=OF.∴△EOF是等腰三角形.∵∠AOB=30°,∴∠EOF=60°,∴等腰△EOF是等边三角形.

3.证明　

（1）∵AB=AC,AD⊥BC,

∴∠BAD=∠DAC=

∠BAC,∵∠BAC=120°,

∴∠BAD=∠DAC=

×120°=60°,

∵AD=AB,∴△ABD是等边三角形.

（2）∵△ABD是等边三角形,

∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD.

∵∠EDF=60°,

∴∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE,

即∠BDE=∠ADF.

在△BDE和△ADF中,

∴△BDE≌△ADF（ASA）,

∴BE=AF.

能力提升全练

拓展训练

1.C　延长ED交BC于M,延长AD交BC于N,

∵AB=AC,AD平分∠BAC,

∴AN⊥BC,BN=CN,∵∠EBC=∠E=60°,

∴△BEM为等边三角形,

∵BE=6cm,DE=2cm,

∴DM=4cm,∵△BEM为等边三角形,

∴∠EMB=60°,∵AN⊥BC,∴∠DNM=90°,

∴∠NDM=30°,∴NM=2cm,∴BN=4cm,

∴BC=2BN=8cm.故选C.

2.答案　5

解析　如图,连接CC1,

∵两块三角板重叠在一起,较长直角边的中点为M,

∴M是AC、A1C1的中点,AC=A1C1,

∴CM=A1M=C1M=

AC=5,

∴∠A1=∠A1CM=30°,

∴∠CMC1=60°,∴△CMC1为等边三角形,

∴CC1=CM=5,∴CC1的长为5.

3.解析　

（1）CD=BE.理由如下:

∵△ABC和△ADE为等边三角形,

∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD=60°,

∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC,

∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC,

∴∠BAE=∠DAC.

在△ABE和△ACD中,

∴△ABE≌△ACD（SAS）,∴BE=CD.

（2）△AMN是等边三角形.理由如下:

∵△ABE≌△ACD,∴∠ABE=∠ACD.

由

（1）得BE=CD.

∵M、N分别是BE、CD的中点,

∴BM=CN.

在△ABM和△ACN中,

∴△ABM≌△ACN（SAS）.

∴AM=AN,∠MAB=∠NAC.

∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°,

∴△AMN是等边三角形.

三年模拟全练

拓展训练

1.D　∵PR⊥AB,PS⊥AC,且PR=PS,

∴点P在∠BAC的平分线上,故①正确;

由已知及①可知,PB=PC,∵PR⊥AB,PS⊥AC,PS=PR,

∴Rt△BPR≌Rt△CPS,∴BR=CS,

∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,

∴AS=AR,故②正确;

∵AQ=PQ,∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC,

∴PQ∥AR,故③正确;

易知△PQC是等边三角形,∵PS⊥QC,∴△PQS≌△PCS,

结合②可知△BRP≌△QSP,故④也正确.

故选D.

2.B　过点E作EF⊥BC于F,如图所示,

则∠BFE=90°,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,

∴∠FEB=90°-60°=30°.∵BE=AB+AE=8+4=12,

∴BF=

BE=6,∴CF=BC-BF=2,

∵ED=EC,EF⊥BC,∴DF=CF=2,∴BD=BF-DF=4.故选B.

3.答案　-3;C

解析　若点A表示的数为x-3,点B表示的数为2x+1,点C表示的数为-4,

则-4-（2x+1）=2x+1-（x-3）,∴-3x=9,x=-3.

故点A表示的数为x-3=-3-3=-6,

点B表示的数为2x+1=2×（-3）+1=-5,

∴等边三角形ABC的边长为1.

数字2012对应的点到-4对应的点的距离为2012+4=2016,

∵2016÷3=672,

∴数字2012对应的点将与△ABC的顶点C重合.

五年中考全练

拓展训练

1.D　∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°.

∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD=30°,

∴∠CAD=∠BAD=∠B=30°,∴AD=BD,AD=2CD,

∴BD=2CD.

根据已知不能推出CD=ED,因此选项D错误,

故选D.

2.B　∵BC的垂直平分线交AB于E,BE=2,∴BE=CE=2,∴∠B=∠DCE=30°,∵CE平分∠ACB,∴∠ACB=2∠DCE=60°,∠ACE=∠DCE=30°,∴∠A=180°-∠B-∠ACB=90°.在Rt△CAE中,∵∠A=90°,∠ACE=30°,CE=2,∴AE=

CE=1.

3.解析　

（1）∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.

∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.

∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°.

∴∠F=90°-∠EDC=30°.

（2）∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,

∴△EDC是等边三角形.∴ED=DC=2.

∵∠DEF=90°,∠F=30°,

∴DF=2DE=4.

核心素养全练

拓展训练

1.解析　

（1）证明:

∵△ABC、△CDE都是等边三角形,

∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,

∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,

∴△ACD≌△BCE,

∴AD=BE.

（2）∵△ACD≌△BCE,∴∠ADC=∠BEC.

∵三角形DCE是等边三角形,

∴∠CED=∠CDE=60°,

∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED

=∠ADC+60°+∠BED=∠CED+60°=60°+60°=120°,

∴∠DOE=180°-（∠ADE+∠BED）=60°.

（3）证明:

∵△ACD≌△BCE,

∴∠CAD=∠CBE,AD=BE,

又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点,

∴AM=

AD,BN=

BE,∴AM=BN.

在△ACM和△BCN中,

∴△ACM≌△BCN,∴CM=CN,∠ACM=∠BCN,

又∠ACB=60°,

∴∠ACM+∠MCB=60°,

∴∠BCN+∠MCB=60°,∴∠MCN=60°,

∴△MNC是等边三角形.

2.证明　如图,延长OE至点M,使OM=OC,连接CM,

∵∠BCD=∠CBE=30°,

∴OB=OC,∠MOC=30°+30°=60°,

∵OM=OC,∴△OMC为等边三角形,

∴CM=OC=OB,∠M=∠MOC=60°,

又∠BEC=∠A+∠DBO=60°+∠DBO,

∠BEC=∠M+∠MCE=60°+∠MCE,

∴∠DBO=∠MCE.∵∠DOB=∠MOC,∴∠M=∠DOB.

在△BOD和△CME中,

∴△BOD≌△CME,∴DO=EM,

∴OE+OD=OM=OB.

在Rt△OBG中,∠OBG=30°,OG⊥BC,

∴2OG=OB,∴OE+OD=2OG.