用假设法解决问题一.docx
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用假设法解决问题一
用假设法解决问题
(一)
河北省平乡县大刘庄小学李明亮
先举一个简单的例子:
甲班有学生45人,乙班比甲班多3人。
两班共有学生多少人?
解此题的一般方法是,先求出乙班人数,再求学生总数。
如果列式为45×2+3就是用了假设法——假设乙班也是45人,则两班共有45×2=90(人)。
但乙班实际人数比45人多3人,所以两班的实际总人数比90人多3人。
有些数学题的数量关系不明显,不容易找到解题的方法。
如果我们做一些适当、合理的假设,就有可能使数量关系明显,从而找到解题的方法。
这种解题方法叫做假设法。
假设的方法有多种,要灵活运用。
一、把“缺少”的条件假设为已知
例1.甲、乙、丙三人出了同样多的钱在粮店买了若干千克大米。
回家后,乙要的大米比甲、丙都少6千克,因此,甲、丙都又退给乙6元钱。
每千克大米多少元?
、
分析:
不知道三人共买了多少千克大米,也不知道三人各要多少千克,求大米的单价似乎很难。
但是,我们可以假设大米的数量。
假设乙要了1千克大米,则甲、丙都要了7千克,三人共买了7+7+1=15(千克)每人平均15÷3=5(千克)。
在粮店,他们平均出钱,每人出的都是5千克大米的钱。
回家后,甲、丙要的大米都比平均数多7-5=2(千克),所以甲或丙退给乙的6元钱就是多要的2千克大米的价钱。
乙要的大米比平均数少5-1=4(千克),所以甲和丙退给他的12元钱就是少要的这4千克大米的价钱。
这样,就可求出大米的单价。
解法1.6÷[7-(7+7+1)÷3]=3(元)
解法2.6×2÷[(7+7+1)÷3-1]=3(元)
本题还可以用下面的方法解(这里只画出线段图,分析略)
解法3.6÷(6-6×2÷3)=3(元)
解法4.6×2÷(6×2÷3)=3(元)
例2.小王骑车去火车站。
他计划以每小时15千米的速度行驶,这样才能正好赶上火车。
可是,前一半路程他骑车的速度是每小时12千米。
下一半路程他应该以多快的速度骑行,才能赶上火车?
分析与解答:
题中只有两个速度,没有路程怎样计算?
可以假设路程。
假设路程是30千米,则小王按计划骑行,需要的时间是30÷15=2(小时)。
前一半路程他已经用了30÷2÷12=1.25(小时);下一半路程他应该用的时间是2-1.25=0.75(小时),应该用的骑车速度是每小时30÷2÷0.75=20(千米)。
30÷2÷(30÷15-30÷2÷12)=20(千米)
答:
(略)
当然,把路程假设为3千米、6千米、10千米……结果都是一样的。
把路程假设为“1”当作工程问题来解,也很简便。
例3.甲数的
等于乙数的
,甲数比乙数大几分之几?
分析与解法1.假设甲数是25,则甲数的
是25×
=15。
即乙数的
也是15,乙数是15÷
=24。
(25-24)÷24=
解法2.假设乙数是1,则甲数是1×
÷
=
。
(
-1)÷1=
分析与解法3.假设甲数的
与乙数的
都等于1,则甲数是1÷
=
,乙数是1÷
=
。
(
-
)÷
=
例4.一次考试,某班学生的平均分数为87分。
其中90%的学生达到了80分,他们的平均分数为89分。
80分以下的学生的平均分数是多少?
分析与解答:
假设全班有40人,则达到80分的学生数是40×90%=36(人),80分以下的学生数为40-36=4(人)。
全班学生总分为87×40=3480(分);达到80分的学生总分为89×36=3204(分);80分以下的学生的总分为3480-3204=276(分),平均分是276÷4=69(分)。
综合算式:
(87×40-89×40×90%)÷(40-40×90%)=69(分)
注:
如果假设全班有4人,则解法更简便。
这类问题,似乎都缺少一个重要条件,但问题的答案却与这个“重要条件”无关。
所以,无论把这个“重要条件”假设为多少,都不影响计算结果,但假设的数据应便于计算。
类似问题;
1.甲乙二人走同一段路,甲所用的时间比乙短
,甲的速度比乙快几分之几?
2.一艘轮船停靠在码头,计划12小时把货卸完。
实际卸货的速度提高了
。
实际几小时可以卸完?
3.植树节这天,同学们去种树,平均每人应该种2棵。
如果只让男同学去种,平均每人应该种3棵。
如果只让女同学去种,平均每人应该种几棵?
二、把一般条件假设为特殊条件
例5.一个正方形的面积是20平方分米。
在这个正方形内画一个最大的圆,求这个圆的面积。
分析:
求圆的面积,一般要先求出圆的半径。
在本题中,如果知道了正方形的边长,就可求出圆的半径,但题中只给了正方形的面积。
根据正方形的面积求边长,要用开方。
对于小学生来说,只有正方形的面积是4、9、16、25……时,才有可能推想出它的边长。
用小学知识能不能解这道题呢?
解法1.假设这个正方形的面积是25平方分米,则它的边长是5分米。
所以,假设的这个正方形内的最大的圆的直径是5分米,面积是
(
)2×3.14=19.625(平方分米)
而原正方形面积是假设的这个正方形面积的
所求的圆的面积也应该是假设的这个圆面积的
。
19.625×
=15.7(平方分米)
解法2.假设正方形的边长是20分米,则它里面最大的圆的直径也是20分米,面积是(
)2×3.14=314(平方分米)。
把面积20平方分米的正方形假设为边长20分米,面积就扩大了20倍,它里面最大的圆的面积也就扩大了20倍。
所以,所求的圆的面积是
314÷20=15.7(平方分米)
注:
此题不用假设法也可以解。
如图,把正方形平均分成4个小正方形,每个小正方形的面积都是20÷4=5(平方分米),即r2=5.所以圆的面积是
S=πr2=3.14×5=15.7(平方分米)。
类似习题:
1.把一个面积是6.28平方分米的圆形纸片剪成一个最大的正方形。
求这个正方形纸片的面积。
2.一个正方体的体积是9立方分米,另一个正方体的棱长是它的2倍。
求另一个正方体的体积。
三、把带“铃铛”的分率(倍数)假设为不带“铃铛”
有些问题,给出的两个数量间的倍数关系后面带着具体数量,我们称之为分率(倍数)带“铃铛”。
可以假设法(当然,也可以用用画图的方法)把数量进行调整,使分率(倍数)不带“铃铛”。
例6.工人师傅加工一批零件,第一天加工了全部零件的
多4个,第二天加工了全部零件的
少1个,还剩16个每加工。
这批零件共多少个?
分析与解答:
假设第一天正好完成了全部零件的
,那么剩下的(没加工的)零件就会多4个;假设第二天正好完成了全部零件的
,那么剩下的就会少1个。
于是,原题的条件就变成了“第一天加工了全部零件的
,第二天加工了全部零件的
,还剩(16+44-1)个没加工”。
(16+4-1)÷(1―
―
)=114(个)
答:
(略)
例7.甲、乙、丙.丁四个数的和是202,乙数比甲数多1,丙数比甲数的2倍少2,丁数比甲数的一半多
.求这四个数。
分析与解:
假设乙数等于甲数,丙数正好是甲数的2倍,丁数正好是甲数的一半,则四个数的和将是(202-1+2―
)。
由此可求出甲数,进而求出另外三数。
甲数(202-1+2―
)÷(1+1+2+
)=45
乙数45+1=46
丙数45×2-2=88
丁数45÷(1+1+2+
)+
=23
例8.学校买来三种新书共100本,其中文艺书是科技书的3倍,画册比科技书的一半少8本。
这三种书各买来多少本?
解(分析略):
(100+8)÷(3+1+
)=24(本)(科技书)
24×3=72(本)(文艺书)
24÷2-8=4(本)(画册)
解法2(分析略):
(100+8)÷(2+1+2×3)=4(本)(画册)
(4+8)×2=24(本)(文艺书)
24×3=72(本)(文艺书)
例9.水果店有535千克橘子,第一天卖出8筐又17千克,第二天卖出5筐又11千克,还剩195千克。
每筐橘子的重量相等。
第一天卖出多少千克?
解(分析略):
每筐橘子有多重?
(535―195―17―11)÷(8+5)=24(千克)
第一天卖出多少千克?
24×8+17=209(千克)
类似习题:
1.师徒二人加工一批零件。
徒弟加工了92个,超额15%完成了自己的任务。
他的任务比师傅任务的
多32个。
师傅加工零件的任务是多少个?
2.车站仓库里原有煤若干吨。
第一次运出的比存煤的一半少350吨,第二次运出现有煤的一半有50吨,结果还剩500吨。
仓库里原有煤多少吨?
3.小明有人民币若干元。
买书用去其中的一半又5角,买文具用去剩下的一半又5角,买本又用去第二次剩下的一半又5角,最后还剩5角。
小明原有多少元?
四、虚构、改编情节
例10.一个班有48人。
班主任在班会上问:
谁做完语文作业?
请举手。
有37人举手。
又问:
谁做完数学作业?
请举手。
有42人举手。
最后问:
谁语文、数学作业都没做完?
没有人举手。
你想想看:
这个班语文、数学作业都做完的有多少人?
分析与解法1.全班做完语文数学作业的分别有37人和42人,没有两种作业都没做完的。
假设全班学生都正好做完了一种作业,那么全班应该有79人(37+42=79)。
但实际上全班只有48人,假设的人数比实际人数多31人(79-48=31)。
为什么会多出31人?
是因为这31人都举了两次手。
37+42-48=31(人)
分析与解法2.已知有37人做完了语文作业。
假设全班48人都做完了数学作业,那么做完语文作业的37人就是两种作业都做完的人数。
但是,实际做完数学作业的只有42人,比假设的48人少6人。
所以,两种作业都做完的也应该比37人少6人。
37―(48―37)=31(人)
分析与解法3.有37人做完了语文作业。
假设全班48人都正好做完了一种作业,没有人做完两种作业,则做完数学作业的应该是11人(48-37=11)。
但实际做完数学作业的有42人,比假设的11人多31人(42-11=31)。
这31人既做完了数学作业,又做完了语文作业。
42―(48―37)=31(人)
分析4.假设班主任不是让学生举手,而是让做完作业的学生交作业本——把语文、数学作业本各摆一行,并且同一学生的两个作业本的两个作业本上下对齐摆放(如下图)。
这样,只要数一数作业本数,就可以知道做完作业的人数。
但是,两种作业的总本数比全班人数多,因为两种作业都做完的学生都交了两个本。
如果再让全班每个学生都拿回去一个本(共拿回去48本),就只剩下两种作业都做完的人的作业本了(两种作业都做完的人,每人剩一本摆在那里)。
这样就可得到解法1。
从上图中也可以得到解法2、解法3,还可以得到解法4。
解法4.48―(48―37)―(48―37)=31(人)
注:
上面的四种解法都可以用其他思考方法得到。
例11.一人骑摩托车从A城去B城。
若以每小时30千米的速度行驶,他将迟到2小时;若以每小时48千米的速度行驶,他将早到1小时。
AB两城相距多少千米?
要准时到达,每小时该行多少千米?
分析1.从A城出发,以每小时30千米的速度行驶,要迟到2小时,即到既定时刻离B城还有60千米的路程(30×2=60);以每小时48千米的速度行驶,将早到1小时。
假设他以每小时48千米的速度行驶到B城后没有停下,而是又向前行了1小时,到既定时刻才停下。
用相同的时间,用两种速度行驶的路程相差108千米(60+48=108)。
由此可求出行驶的时间,进而就可求出两地距离和应有的速度。
解法1.①从出发到既定时刻是几小时?
(30×2+48×1)÷(48-30)=6(小时)
②AB两城相距多少千米?
30×(6+2)=240(千米)或48×(6-1)=240(千米)
③要准时到达,每小时该行多少千米?
240÷6=40(千米)
分析2.假设有两个人分别以每小时30千米和每小时48千米的速度,同时从A城出发驶向B城。
当快车提前1小时到达B城时,慢车距B城还有2+1=3小时的路程,即快车比慢车多行了30×3=90千米。
由此可求出快车到达B城所用的时间。
解法2.①每小时行驶48千米,几小时可到达?
30×(2+1)÷(48-30)=5(小时)
②AB两城相距多少千米?
48×5=240(千米)
③要准时到达,每小时该行多少千米?
240÷(5+1)=40(千米)
解法3(分析略).①每小时行驶30千米,几小时可到达?
48×(2+1)÷(48-30)=8(小时)
②AB两城相距多少千米?
30×8=240(千米)
③要准时到达,每小时该行多少千米?
240÷(8-2)=40(千米)
例12.一项工作,甲单独做40天可以完成,乙单独做60天可以完成。
二人合作,甲因病休息了几天,他们共用了27天才完成。
问:
甲中途休息了几天?
分析:
甲乙合作,每天可完成这项工作的
+
=
.假设甲中途没有休息,甲乙合作27天,可完成这项工作的
×27=
超过任务的
。
甲几天可以完成这项工作的
呢?
解:
[(
+
)×27-1]÷
=5(天)
答:
(略)。
本题的另外几种解法:
(1)27―(1―
)÷
=5(天)
(2)把甲的工效设为“1”:
27―(1×40―
×27)÷1=5(天)
(3)把乙的工效设为“1”:
27―(1×60―1×27)÷
=5(天)
(4)[(1+
)×27―1×40]÷1=5(天)
(5)[(1+
)×27―1×60]÷
=5(天)
例13.食堂有面粉和大米共168千克。
一天用去了面粉的
和大米的
,一共用去48千克。
面粉和大米原来各有多少千克?
分析1.一天用去了面粉的
和大米的
(共48千克)。
假设连用3天,则大米将正好用完,面粉应该还剩1―
×3=
。
连用3天,共用去面粉和大米48×3=144(千克)。
还剩168―144=24(千克)。
这24千克都是面粉(是原来面粉重量的
)。
解法1.(168―48×3)÷(1―
×3)=96(千克)(面粉)
168―96=72(千克)(大米)
分析2.假设连用4天,则面粉将正好用完,面粉就会缺
×4―1=
。
连用4天,共应该用面粉和大米48×4=192(千克),比总数还多192―168=24(千克)。
这24千克正好是原来大米重量的
。
解法2.(48×4―168)÷(
×4―1)=72(千克)(大米)
168―72=96(千克)(面粉)
注:
本题还有其他假设解法。
例14.一个化肥厂计划14天完成一项任务。
由于每天多生产3.5吨,结果9天就完成了任务。
原计划每天生产多少吨?
分析1.假设有甲乙两个厂分别按这个厂计划的效率和实际的效率进行生产。
则当按实际的效率(每天比甲厂多生产3.5吨)生产9天完成任务时,乙厂比甲厂共多生产31.5吨(3.5×9=31.5)。
这时,甲厂还需再生产5天才能完成任务。
由此可求出甲厂每天生产多少吨(计划每天生产多少吨).
解法1.3.5×9÷(14―9)=6.3(吨)
解法2(分析略).3.5×14÷(14―9)―3.5=6.3(吨)
例15.鸡和兔共43只,它们共有120条腿。
鸡和兔各有多少只?
分析与解法1.假设把鸡和兔都砍掉2条腿,则43只鸡和兔就会被砍掉86条腿(2×43=86),只剩下34条(120―86=34)。
这34条都是兔腿,因为鸡都没了腿。
每只兔只剩2条腿,所以有17只兔。
兔(120-2×43)÷(4―2)=17(只)
鸡43―17=26(只)
分析与解法2.假设每只鸡也都有了4条腿(都又“长”出来2条),则43只鸡和兔一共应该有172条腿(43×4=172)。
所有的鸡一共“长”出了52条腿(172―120=52)。
每只鸡都“长”出来了2条腿,是多少只鸡“长”出来52条腿呢?
鸡(4×43-120)÷(4―2)=26(只)
兔43―26=17(只)
分析与解法3.假设把每只鸡和兔都砍掉一半数量的腿(每只鸡只剩一条腿,每只兔剩2条腿,则43只鸡和兔一共剩下60条腿(120÷2=60)。
每只鸡和兔都有一个头。
把每只鸡和兔都砍掉一半数量的腿后,鸡的腿数和头数同样多,而每只兔的腿数都比头数多1。
现在,43只鸡和兔共有43个头、60条腿,腿数比头数多17(60―43=17),所以有17只兔。
(120÷2―1×43)÷(4÷2-1)=17(只)
例16.一次数学竞赛,共20道题。
评分标准是:
每答对一道,给5分;答错一道,倒扣3分;不答的,给0分。
小华参加这次竞赛,全答了,但只得了76分。
他答对了多少道?
分析与解:
假设把评分标准改为“每答对一道,给8分;答错或不答的不给分也不扣分”(即,只要答了的题,不管对错,每道都比原评分标准多给3分),则小华应比原来多得60分(3×20=60),一共应得136分(76+60=136)。
对一道给8分,他对了多少道呢?
(76+3×20)÷(5+3)=17(道)
有些问题,如果虚构、改编一些情节,就有可能使复杂的情节变简单,隐蔽的数量关系变明显。
解数学题,重要的是数量关系,而不是情节。
在不改变题目的结构、数量关系的前提下假设、虚构一些情节,不会影响计算结果。
类似题目:
1.甲乙二人同时骑车从A城去B城,甲每小时行24千米,乙每小时行18千米。
甲在途中因修车停留2小时,结果比乙晚1小时到达B城。
A、B两城相距多少千米?
2.某校安排学生住宿。
若每间宿舍住6人,则34人无住处;若每间住7人,则空出4间宿舍。
有学生多少人?
3.甲乙丙三人共同做一件工作,15天可以完成。
但由于甲请了2天假,乙请了3天假,他们一共用了17天才完成。
已知甲的工作效率是乙的1.5倍。
如果让甲单独做这项工作,多少天可以完成?
4.一个筑路队原计划20天修完一条公路。
实际每天比计划多修45米,提前5天完成了任务。
这条公路长多少米?
5.一个班有42人。
28人参加了数学小组,14人参加了语文小组,10人两个小组都没参加。
有几个人两个小组都参加了?