川大离散数知识学习题集6.docx
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川大离散数知识学习题集6
习题6
1.设A={1，2，3，4}，B=A×A。
确定下述集合是否为A到B的全函数或部分函数。
（1）{（1,（2,3））,（2,（2,2））,（3,（1,3））,（4,（4,3））}.
（2）{（1,（1,2））,（1,（2,3））,（3,（2,4））}.
（3）{（1,（3,3））,（2,（3,3））,（3,（2,1））,（4,（4,1））}.
解：
（1）、全函数
（2）、不符合单值
（3）、全函数
要点：
根据全函数定义，X中每个元素x都在Y中有唯一元素
y与之对应。
2.判别以下关系中那些是全函数。
（1）{（n1,n2）|n1,n2∈N,0<2n1-n2<5}。
（2）{（n1,n2）|n1,n2∈N,n2是n1的正因子个数}。
（3）{（S1,S2）|S1,S2⊆{a,b,c,d}且S1I
（4）{（a,b）|a,b∈N,gcd（a,b）=3}.
（5）{（x,y）|x,y∈Z,y=x2}.
S2=Ø}。
解：
（1）{（n1,n2）|n1,n2∈N,0<2n1-n2<5}
不是函数，n1=0时无定义，且（3,4）,（3,5）在其中。
（2）{（n1,n2）|n1,n2N,n2是n1的正因子个数}
部分函数，n1=0时无定义
（3）{（S1,S2）|S1,S2{a,b,c,d}且S1S2=}
不是函数，因为（{a},{b}）,（{a},{c}）均在其中。
（4）{（a,b）|a,b∈N,gcd（a,b）=3}
不是函数，因为（3,3）,（3,6）,（3,9）均在其中。
（5）{（x,y）|x,y∈Z,y=x2}
全函数
3.在§3.1中已经定义了集合的特征函数。
请利用集合A和B的特
征函数A（x）和B（x）表示出AUB，AI
B，A-B，A以及A○+B
对应的特征函数。
解：
（略）
4.试确定在含n个元素的集合上可以定义多少个二元关系，其中有多少个是全函数。
解:
可以定义nn个二元关系，n！
个全函数
5.设𝑓：
𝐴⟶𝐵，𝐶⊆𝐴，证明：
𝑓（𝐴）‒𝑓（𝐶）⊆𝑓（𝐴‒𝐶）。
证明：
b∈f（A）-f（C）⇒b∈f（A）∧b∉f（C）
⇒（∃x）[x∈A∧x∉C∧f（x）=b]
⇒（∃x）[x∈A-C∧f（x）=b]
⇒b∈f（A-C）
所以f（A）-f（C）⊆f（A-C）
7.设f：
X→Y，A和B是X的子集。
证明，f（A⋃B）=
f（A）⋃f（B）,f（A⋂B）⊆
f（A）⋂f（B）
证明：
（1）y∈f（A∪B）
⇒（∀x）[x∈（A∪B）∧f（x）=y]
⇒（∀x）[x∈A∧f（x）=y]∪（∀x）[x∈∪B∧f（x）=y]
⇒y∈f（A）∪y∈f（B）
∴f（A∪B）=f（A）∪f（B）
（2）y∈f（A∩B）
⇒（∀x）[x∈（A∩B）∧f（x）=y]
⇒（∃x）[x∈A∧f（x）=y]∩（∃x）[x∈B∧f（x）=y]
⇒y∈f（A）∩y∈f（B）
∴f（A∩B）⊆f（A）∩f（B）
8.确定下例映射是否单射、满射或双射：
（1）f1:
N→R,f1（n）=lnn.
（2）f2:
N→N,f2（n）为不超过n的素数数目。
（3）f3:
N⨯N→N,f3（n,n）=（n+1）.
（4）f4:
R→R,f4（x）=x2+2x-15.
（5）f5:
Z→Z,f5（x）=1+2x3.
（6）A是集合，f6:
2A⨯2A→2A⨯2A,f6（x,y）=（xUy,xI
y）.
（7）f7:
R⨯R→R,f7（x,y）=x+y.F8:
R⨯R→R,f8（x,y）=xy.
解：
（1）单射
（2）满射，非单。
如f（5）=f（6）=3
（3）非单,非满。
f（0,1）=f（1,0）=1,且f（x,y）=0无解。
（4）非单,非满。
（5）单,非满。
如：
1+2x3=5无解。
（6）非单:
（{a}⋃{b},{a}⋂{b}）=（{a,b}⋃∅,{a,b}⋂∅）
非满:
（x⋃y,x⋂y）=（{a},{a,b}）无解。
（7）f7:
非单,满，如：
f（1,3）=f（2,2）
f8:
非单,满，如：
f（1,3）=f（3,1）
9.设X是有限集合，f：
X→X。
证明：
（1）如果f是单射时，f必是双射。
（2）如果f是满射时，f必是双射。
证明：
（1）.当f是单射时，根据单射定义，对所有任意t,s∈X,当t≠s时f（t）≠f（s）,则f（x）中的元素个数与X中的元素个数相同；
又∵f:
X→X，所以，f（x）是一个满射
∴f必是双射。
（2）当f是满射时，根据满射定义及f的定义，对所有y∈X，都存在x∈X，使f（x）=y，再根据函数的单值性，对所有t,s∈X,当t≠s时，f（t）≠f（s）。
∴f必是双射。
10.设f是有限集X上的一个函数，满足∀x∈X，f2（x）=x。
证明：
f是双射。
证明：
设x,y是有限集X上的2个元素，如果f（x）=f（y）,则x=f2（x）=f2（y）=y，说明是单射，由上题结果知f是双射。
11.设f:
A→B，g：
B→2A，满足∀b∈B，g（b）={x∈A|f（x）=b}.证明：
当f为满射时g为单射。
问g为单射时，f是否必是满射？
证：
1）对任意b1、b2∈B，且b1≠b2。
∵f（x）是满射
∴∃a1、、、a2∈A,
f（a1）=b1,f（a2
）=b2
、
g（x）、、、、
a1g（b1）,a2g（b2）、、
a1g（b2）,a2g（b1）
、、、、
a1g（b2）,
a2g（b1）、、
f（a1）b2,
f（a2）b1
、、、、、、、、、、
g（b1）g（b2）,、
g（x）、、、。
2、、
g（x）、、、、、、
bB,、、、、、
g（b）,
f（x）、、、、、、
12.设A和B都是有限集合，试确定A到B有多少个单射？
多少个满射？
多少个双射？
解：
设A、B中元素个数分别为：
m、n,则单射个数为：
n（n-1）（n-2）…（n-m）
满射个数为：
nm,双射个数为：
n!
或m!
13.设有函数f，g，h：
R→R，这里f（x）=2x，g（x）=x2+x-1，h（x）
=x-2。
写出fog，gofoh，hohog。
解：
fog=f（g（x））=2x2+2x-2
gofoh=（g（f（h（x）））=4（x-2）2+2（x-2）-1
hohog=（h（h（g（x）））=x2+x-5
14.设f，g，h都是集合A上的函数。
如果f=g，是否必有hof=hog或foh=goh？
解：
（1）∵f=g，则对于所有xA，都有f（x）=g（x）,
所以，对于所有的xA，h（f（x））=h（g（x））,f（h（x））=g（h（x））即h。
f=h。
g
（2）∵h。
f=h。
g则，h（f（x））=h（g（x））,
当对于A中任意两个不同的元素x,y都有h（x）≠h（y）时，f=g；
当A中存在两个不同的元素x,y有h（x）=h（y），即对于同一个元素z,当f（z）=x,g（z）=y，则有h（f（z））=h（g（z）），而此种情况下f≠g
综上，当h。
f=h。
g时，f不一定等于g
15.设f，g是实数集R上的函数，其中f（x）=x2+2，g（x）=2x-1。
确定fog和gof是否满射、单射或双射？
解：
f。
g=（2x-1）2+2,函数图形为以x=1/2为对称轴的一个抛物线，由题，f,g都是实数上的函数，则f。
g不是单射，不是满射，也不是双射；
g。
f=2（x2+2）-1=2x2+3,函数图形为以Y坐标为对称轴的抛物线，f（x）=f（-x），所以，g。
f不是单射，不是满射，也不是双射。
16.设f和g都是函数。
证明：
（1）当gof为单射时，f必为单射；
（2）当gof为满射时，g必为满射；
（3）当gof为双射时，g为满射，f为单射。
证明：
设f:
A→B,g:
B→C。
（1）（反证法）设f不是单射，存在x1≠x2∈A,且f（x1）=f（x2），即：
gof（x1）=g（f（x1））=g（f（x2））=gof（x2）,与gof为单射
矛盾。
因此，f必为单射。
（2）对于任意z∈C，由于gof为满射，那么存在x∈A使得gof（x）
=z，因此存在y=f（x）∈B,使得z=g（y），因此g是满射。
（3）由
（1）、
（2）可得证。
17.设A={1，2，3，4}。
（1）找出一个A上的非单位置换的置换，计算o=2，2o=
3，以及-1。
（2）若A上置换满足o=
（1），称为幂幺置换，求出A上的
全部幂幺置换。
解：
（提示，按照定义求解即可）
（1）任定义为：
（2,1,3,4）
（2）（略）
18.计算有限集合X可以定义出多少个函数f，使得f=f-1。
解：
（略）
19.证明下列集合A和B等势。
1）A=（0,1）,B=（-2,2）.
2）A=（-∞,+∞）,B=（0,+∞）.
11
3）A=（0,1）,B=（4，2）.
4）A=N,B={（m,n）|m、n∈N∧m≤n}.
证明：
（思路：
想办法构造一个双射函数即可）
（1）f（x）=2tan（x-）
24
（2）（略）
（3）f（x）=1+
sin（x）
236
（4）（略）
20.设A～B，C～D。
证明：
A⨯C～B⨯D。
证明：
（略）
21.证明：
非空有限集A与可数集B的笛卡尔积A⨯B也是可数集。
证明：
非空有限集A与可数集B的笛卡尔积A×B也是可数集。
证明：
设A={a1,a2,…,an｝
B={b1,b2,…,bn,…}
令Bi={（ai,b1）,（ai,b2）,…,（ai,bn）,…}（i≤n）,则
A×B=
k
UBi,
i=1
因为B为可数集，所以Bi为可数集。
A×B为有限个可数集的并集。
下面用归纳法证明有限个（m个）可数集的并集为可数集。
设Cm={cm1,cm2,…,cmn,…}
当m=2时，
构造双射f:
N→C1∪C2,
N123456…n-1n…f（N）c11c21c12c22c13c23…c1（n/2）c2（n/2）…所以2个可数集的并集为可数集。
假设m=k-1（k≥3）时结论成立，即k-1个可数集的并集为可数集，记为D。
则m=k时，可以构造类似的双射g:
N→D∪Ck,所以为可数集。
因而有限个可数集的并集为可数集。
所以A×B是可数集。
补充：
1.设A和B是两个有限集合，它们的元数都是n，则:
A→B是单射的充分必要条件是为满射
证必要性，当是单射时，（A）的元数是n，而（A）⊆B,B的元数也是n，故（A）=B，因此:
A→B是满射。
充分性，若:
A→B为满射时，有（A）=B，则（A）的元数为n，A的元数也是n，n个原象对应n个象，即不同元素对应不同的象，因此是A到
B的单射。
2．设R为实数集，
:
R⨯R→R,（x,y）=x+y,又:
R⨯R→R,（x,y）=x⋅y,试证明和都是满射，而不是单射。
证对于任意a∈R，可以使a=x+y成立的x,y有无数对，且（x,y）∈R⨯R，也就是说值域R中每个元素都有无数原象在R⨯R中，所以是满射，而不是单
射。
对于任意a∈R，能使a=x⋅y成立的x,y也不止一对实数存在。
例如a=6，而
x=2,y=3，或x=3,y=2,⋅⋅⋅，即象集中每一元素都有原象，而且原象不唯一，所以是满射，而不是单射。
证毕。
欲证一个映射为单射时，按定义一般有两种方法，一是任取a,b属于定义
域，且a≠b，能证得（a）≠（b）。
另一种方法是：
取（a）=（b）属于值域，证得a=b。
3.设为R实数集，（x）=x2-2,（x）=x+4,（x）=x3-5都是R→R的映
射。
（1）求⋅，⋅，并分别判定是否为R→R的满射，单射，双射？
（2）问-1是否存在？
如果存在，试求出来。
解
（1）因为（x）=x2-2,（x）=x+4
所以（⋅）（x）=（（（x））=（x2-2）=x2-2+4=x2+2
按照开口向上的抛物线确定，⋅不是满射，也不是单射，更不是双射。
（⋅）（x）=（（（x））=（x2-2）=（x+4）2-2=x2+8x+14
同样以开口向上的抛物线确定，⋅不是满射，不是单射，也不是双射。
（3）因为R→R映射（x）=x3-5是双射，故-1存在，-1（x）=3
x+5。
4．设映射:
A→B，:
B→C，,都是双射，求证（⋅）-1=-1⋅-1。
证由于,都是双射，因此,均可逆，分别存在逆映射，
-1:
B→A,-1:
C→B故复合映射-1⋅-1:
C→A。
因为和都是双射，所以⋅也是双射，且⋅：
A→C，则⋅必有逆映射（⋅）-1：
A→C
既然-1⋅-1与（⋅）-1都是C从A到的映射，对于任意c∈C，设
-1（c）=b,-1（b）=a，则有（-1⋅-1）（c）=-1（-1（c））=a-1（b）=a
而
可得出（⋅）-1（c）=a
因此（-1⋅-1）（c）=c（c）
（⋅）（a）=（（a））=（b）=c
由于c∈C是任意的，故有（⋅）-1=-1⋅-1证毕。
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