相反数与绝对值.docx

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相反数与绝对值

主題1-3：

相反數與絕對值

一、授課對象：

七年級國中上學期學生　　　　撰寫者：

李政憲

二、先備知識：

能將整數、分數、小數標記在數線上。

對應：

4-n-10、5-n-13

三、教學目標（含核心概念或相關概念）：

認識相反數與絕對值。

對應：

7-n-04、7-n-05、7-n-08

（1）瞭解相反數與絕對值的意義，並作簡單的計算。

（2）說明相反數的意義與引入原因：

1.強調與原點距離相同的異號數

2.－（－a）＝a與0的相反數說明

（3）說明絕對值的意義：

1.說明絕對值表示該數與原點的距離

2.比較負數與正數絕對值的計算方式與值的大小

3.絕對值與相反數的關係

（4）利用絕對值意義作簡單的大小比較與計算

1.由|a|求a，並找出絕對值小於a的所有整數。

四、教學時間：

90分鐘（二節課）

五、教學說明：

透過相反數的介紹，引入絕對值的概念，進一步討論其意義並進行其運算。

六、教學活動：

活動一：

《相反數的概念》

透過數線繪製相反數，觀察兩點的位置關係。

如上圖，大樹與小花（或以甲、乙兩點表示）在數線上所在的位置為何？

兩點的坐標有何關係？

※觀察後得到的結論：

1.如：

3的相反數為－3，－3的相反數為3，我們稱這兩個數互為相反數；亦即：

　　　3與－3互為相反數

　　－4與4互為相反數

　　－

與

互為相反數

　　1.2與－1.2互為相反數

　　－

與

互為相反數

與－

互為相反數

2.當兩數互為相反數時，以原點為基準，兩點在數線上與原點的距離相同，左右方向相反；例如以上的3與－3，與原點的距離相同（均為3），方向相反（一左一右）。

活動二：

《相反數的舉例與說明》

說明：

請同學舉相反數的例子，並說明在數線上的相關位置（可不限制為整數）。

例如：

24與－24在數線上是以原點為基準，與原點距離均為24個單位長且方向相反的兩個數；

想想看：

請問3的相反數除了－3以外，還有其他的數嗎？

活動三：

《相反數的練習》

例1：

求出以下各數的相反數：

（1）5.1　

（2）－4（3）－12.3　（4）

隨堂練習1：

求出以下各數的相反數：

（1）－13.7　

（2）27　（3）

　（4）－51

活動四：

《相反數的符號化簡》

※延伸思考Ｉ：

「正數的相反數即加上負號，負數的相反數即去掉負號」的結論是對的嗎？

觀察下圖，請問a與b的相反數分別為何？

請在數線標示出其答案。

根據上圖的答案，請問－a的相反數為何？

所以－（－a）＝？

ａ的正負會影響其答案嗎？

請問－（－5）＝？

－（－

）＝？

0的相反數為何？

活動五：

《絕對值的符號》

說明：

由活動一～四，可以得到數線上互為相反數的兩點，與原點的距離相同；而在數學上要計算某數與原點距離時，可透過絕對值符號｜｜的使用；

例如：

｜5｜＝5，代表5與原點的距離為5；｜－

｜＝

，代表－

與原點的距離為

。

而絕對值與＋、－、×、÷等符號一樣，也等同於一種數學運算符號。

活動六：

《絕對值的計算與相反數的比較》

例2：

（1）計算以下各算式的結果：

｜－7｜　｜

｜｜－3.5｜

（2）計算以下各算式的結果：

｜3.2－1｜　｜11－50｜　｜11｜－50

隨堂練習2：

計算以下各數的絕對值，並比較其絕對值的大小：

（1）9.3　

（2）3－10　（3）－

例3：

（1）分別計算5的相反數與絕對值；

（2）分別計算－5的相反數與絕對值。

隨堂練習3：

觀察以上問題的答案，請問：

正數的相反數與絕對值有何關係？

並舉例說明。

負數的相反數與絕對值有何關係？

並舉例說明。

活動七：

《絕對值基本應用》

在瞭解絕對值的概念與運算方式後，接下來將針對絕對值的意義，作相關例題的應用：

例4：

分別計算2011與－2011的絕對值

隨堂練習4：

分別計算3.5與－3.5的絕對值

根據例3與題中的答案，請問當兩數互為相反數時，兩數的絕對值有何關係？

例5：

若｜a｜＝

，則a可能的值有哪些？

隨堂練習5：

如下圖所示，若A、B、C三點的坐標分別為a、b、c，分別求出下列各式的值：

｜a｜　｜c－b｜　｜a＋c｜

例6：

若｜a｜＜

，且ａ為整數，則a可能的值有哪些？

隨堂練習6：

若｜a｜＞2且｜a｜＜8，又ａ為整數，寫出所有可能的a值並數線表示所有a可能代表的點。

活動八：

《絕對值綜合練習》

※延伸思考II：

請回答下列問題：

絕對值小於或等於10的整數共有幾個？

這些整數的和為多少？

絕對值小於或等於24的整數共有幾個？

這些整數的和為多少？

若b為正整數，則絕對值小於或等於b的整數共有幾個？

（以b表示）

※結論：

1.相反數：

當以原點為基準，兩數在數線上與原點的距離相同，左右方向相反時，則此兩數稱為相反數；例如：

3與－3互為相反數。

2.絕對值：

計算某數與原點的距離時，可透過絕對值符號｜｜的使用作運算；例如：

｜5｜＝5，｜－5｜＝5。

3.正數的絕對值為其本身，負數的絕對值為去除負號之後的值（即為其相反數）。

教學活動參考解答：

活動二參考解答：

如3.5與-3.5互為相反數，且在數線上與原點的距離均為3.5個單位長（一左一右）。

想想看解答：

沒有其他的數。

活動三（例1）參考解答：

（1）－5.1　

（2）4（3）12.3　（4）－

活動三（隨堂練習1）參考解答：

（1）13.7　

（2）－27　（3）－

　（4）51

活動四參考解答：

是　－a與－b，圖示如下：

－a的相反數為ａ

－（－a）＝a

不影響其答案

－（－5）＝5，－（－

）＝

0的相反數＝0

活動六（例2）參考解答：

（1）7　

3.5　

（2）2.2　39　－39

活動六（隨堂練習2）參考解答：

（1）｜9.3｜＝9.3　

（2）｜3－10｜＝7　（3）｜－

｜＝

故｜9.3｜＞｜3－10｜＞｜－

｜

◎註：

此處需要求學生將其值計算後加上絕對值運算符號，避免書寫出「－

＝

」的結果。

活動六（例3）參考解答：

（1）5的相反數為－5，｜5｜＝5；

（2）－5的相反數為5，｜－5｜＝5

活動六（隨堂練習3）參考解答：

正數的相反數與絕對值互為相反數，例如：

3的相反數

－3與｜3｜＝3互為相反數；

負數的相反數與絕對值相同，例如：

－3的相反數3與

｜－3｜＝3相同。

活動七（例4）參考解答：

｜2011｜＝2011，｜－2011｜＝2011。

活動七（隨堂練習4）參考解答：

｜3.5｜＝3.5，｜－3.5｜＝3.5

當兩數互為相反數時，兩數的絕對值相同。

活動七（例5）參考解答：

因｜a｜代表的是與原點距離

的點，故a的值為

或－

。

活動七（隨堂練習5）參考解答：

　｜a｜＝｜－

｜＝

　｜

－

｜＝

＝

｜a＋c｜＝｜－

＋

｜＝｜0｜＝0

活動七（例6）參考解答：

因｜a｜＜

代表的是與原點距離小於

的點，而比

小的正整數有0,1,2,3；故a可能的值為－3,－2,－1,0,1,2,3共7個答案。

活動七（隨堂練習6）解答：

比2大比8小的正整數計3,4,5,6,7共5個數，故a可能的值有－3,－4,－5,－6,－7,3,4,5,6,7共10個數，繪製於數線如下：

活動八參考解答：

21個，其和為0　49個，其和為0　2×b+1個

七、指定作業：

1.計算後說明下列各數的相反數與絕對值：

　－3　5.2＋2.5　3－10

2.若一個數的相反數與絕對值相同，則這個數可能是哪些數？

3.如圖所示，數線上A、B、C、D各點所表示的數分別為a、b、c、d，試比較a、b、c、d各數絕對值的大小：

4.若ａ、ｂ為正整數，且絕對值小於ａ的整數有13個，絕對值小於b的整數有21個，求－｜a＋b｜之值。

指定作業參考解答：

1.相反數＝3，絕對值＝3　相反數＝－7.7，絕對值＝7.7

　相反數＝7，絕對值＝7

2.0或負數（與絕對值的定義不同，可提醒學生注意）

3.｜a｜>｜d｜>｜b｜>｜c｜（此題應確認學生讀題與絕對值的概念是否清楚，其中ｂ、ｄ兩點絕對值的大小比較，主要是強調絕對值比大小未必需要實際計算出值的大小，也為了接下來兩點距離的概念作準備）

4.a＝7，b＝11（注意有些學生的答案會寫成a＝6，b＝10，主要是<與≤兩種符號與概念的混淆，教師再加以說明提醒即可），故－｜7＋11｜＝－18（絕對值的運算雖非負，但加上負號後仍為負數）

八、教學注意事項：

1.本主題的教學內容，主要是參考各版本第一冊課本，以及個人教學經驗設計而成，資訊融入非必要，可直接於黑板上討論作答即可。

2.指導說明讀題時間每題約1分鐘。

3.活動一～活動六各約5~7分鐘；活動七、八約10~15分鐘。

4.隨堂練習約2~3分鐘。

5.結論時間：

5分鐘。

6.指定作業（含提示與檢討）：

15分鐘。

7.在各活動間，教師宜巡堂走動，加強瞭解學生學習情形。

8.在各活動進行時，可視題目難易度隨機指定學生口頭回答或上台作答。

答對時給予言語上的獎勵，答錯時另請其它同學作答，再答錯老師應加強解說。

9.活動一進行時，教師可說明相反數的引入，是為了接下來要介紹的絕對值概念預作鋪陳。

10.教師應特別加強解說，相反數與絕對值以及整數加減的關係。

11.活動二的目的是為了確認學生均能了解相反數的意義，並能判斷其他同學答案是否正確；進一步再說明a與－a互為相反數的概念。

在強調相反數以原點為基準在數線上的意義，並強調其存在的唯一性後，便能為接下來－（－a）＝a作接軌。

12.活動四教學建議：

此處的題目設計，主要為了將來要介紹絕對值的代數意義預作舖陳，當學生的概念與運算尚未熟捻前，教師不宜特別強調；

至於的題目設計，配合圖形的觀察與教師的說明，透過a的相反數為－a（不論a的正負）的規定與說明，可推出－a的相反數有二：

－（－a）與a，加上活動三強調相反數的唯一性，便可導出－（－a）＝a的結論，並進行第題的練習。

進一步於第題透過0與原點的距離為0（不分左右），說明0的相反數＝0（也為接下來｜0｜＝0的結果預作鋪陳）；另外－（－a）＝a將與第三章「式子的運算」的概念：

「（－1）×（－a）＝a」再作比較。

此外相反數的介紹，將作為下一節「整數的加減」的基本工具，務必確實要求學生了解與熟練。

13.活動六的安排，主要是承接之前相反數的概念，比較正、負數相反數與絕對值運算的結果有何差異，進一步應用於接下來活動的設計。

14.活動八教學建議：

（1）此處延伸思考題型主要將例題4的概念作進一步應用，若學生前面的練習較不熟悉，此處可先不練習，待後續相關運算較為熟練後，教師再行加強；

（2）此處三個小題主要在討論絕對值小於a（a>0）的整數的對稱性，進一步作數的大小比較，並讓學生有同值異號的正負數互相抵消的概念；

（3）關於｜a｜＝－a（a<0）的討論，此處不宜直接與學生討論，避免與「絕對值計算的結果恆為非負數」的結論造成混淆；教師可待學生的未知數概念較清楚後，再與學生進行討論；

（4）至於兩點距離的討論（如：

｜x－3｜＝1，則x的值為何？

），宜放在下一章節「整數的加減計算」學習完畢後，再進行補充與加強。

15.透過相反數的引入，一方面為接下來要學習的絕對值作搭配，另一方面也為下一章節「整數的加減」作鋪路；

16.絕對值的非負性質在數學的後續學習是極為重要的，可從不同兩個角度（幾何與代數，詳見底下參考資料：

2.絕對值教學目標）進行切入教學，然而為避免學生產生混淆，在教學中，應只強調一種定義（一般建議由幾何意義先學起，如本節內容安排方式），另一種定義宜由學生自行觀察，或待學生相關概念與練習較為上手，再由老師進行補充（代數意義：

一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；零的相反數是零）；主要因為利用幾何方式解釋絕對值大小與零的絕對值都較為直觀。

至於「非負數」名詞的引入，也期待在學生的觀察理解後，由教師的歸納適當提出。

九、教學參考資料：

1.各版本99年第一冊數學課本；

2.絕對值教學目標：