1718版 第9章 第44课 两条直线的位置关系.docx

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1718版第9章第44课两条直线的位置关系

第44课两条直线的位置关系

[最新考纲]

内容

要求

A

B

C

直线的平行关系与垂直关系

√

两条直线的交点

√

两点间的距离、点到直线的距离

√

1．两条直线平行与垂直的判定

（1）两条直线平行

①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.

②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.

（2）两条直线垂直

①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.

②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.

2．两条直线的交点的求法

直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0，l2：

A2x＋B2y＋C2＝0（A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数），则l1与l2的交点坐标就是方程组

的解．

3．距离

P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点之间的距离|P1P2|

d＝

点P0（x0，y0）到直线l：

Ax＋By＋C＝0的距离

d＝

平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离

d＝

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.（　　）

（2）如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.（　　）

（3）点P（x0，y0）到直线y＝kx＋b的距离为

.（　　）

（4）已知直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0，l2：

A2x＋B2y＋C2＝0（A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数），若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.（　　）

（5）若点P，Q分别是两条平行线l1，l2上的任意一点，则P，Q两点的最小距离就是两条平行线的距离．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√　（5）√

2．（教材改编）已知点（a,2）（a>0）到直线l：

x－y＋3＝0的距离为1，则a等于________．

－1　[由题意得

＝1，即|a＋1|＝

，

又a>0，∴a＝

－1.]

3．直线l：

（a－2）x＋（a＋1）y＋6＝0，则直线l恒过定点________．

（2，－2）　[直线l的方程变形为a（x＋y）－2x＋y＋6＝0，

由

解得x＝2，y＝－2，

所以直线l恒过定点（2，－2）．]

4．已知直线l1：

ax＋（3－a）y＋1＝0，l2：

x－2y＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________．

2　[由

＝－2，得a＝2.]

5．若直线l1：

x＋ay＋6＝0与l2：

（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为________．

　[由l1∥l2，得a（a－2）＝1×3，

∴a＝3或a＝－1.

但a＝3时，l1与l2重合，舍去，

∴a＝－1，则l1：

x－y＋6＝0，l2：

x－y＋

＝0.

故l1与l2间的距离d＝

＝

.]

两条直线的平行与垂直

（1）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：

ax＋2y－1＝0与直线l2：

x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的________条件.【导学号：

62172240】

（2）过点（－1,3）且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为________．

（1）充分不必要　

（2）2x＋y－1＝0　[

（1）当a＝1时，显然l1∥l2，

若l1∥l2，则a（a＋1）－2×1＝0，

所以a＝1或a＝－2.

所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．

（2）直线x－2y＋3＝0的斜率为

，从而所求直线的斜率为－2.

又直线过点P（－1,3），

所以所求直线的方程为y－3＝－2（x＋1），即2x＋y－1＝0.]

[规律方法]　1.判定直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．

2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论．另外当A2B2C2≠0时，比例式

与

，

的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便．

[变式训练1]　已知过点A（－2，m）和点B（m,4）的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为________．

－10　[∵l1∥l2，∴kAB＝

＝－2，解得m＝－8.

又∵l2⊥l3，∴

×（－2）＝－1，

解得n＝－2，∴m＋n＝－10.]

两直线的交点与距离问题

（1）直线l过点P（－1,2）且到点A（2,3）和点B（－4,5）的距离相等，则直线l的方程为________．

（2）过点P（3,0）作一直线l，使它被两直线l1：

2x－y－2＝0和l2：

x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程.【导学号：

62172241】

（1）x＋3y－5＝0或x＝－1　[法一：

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k（x＋1），即kx－y＋k＋2＝0.

由题意知

＝

，

即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－

，

∴直线l的方程为y－2＝－

（x＋1），即x＋3y－5＝0.

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．

法二：

当AB∥l时，有k＝kAB＝－

，直线l的方程为

y－2＝－

（x＋1），即x＋3y－5＝0.

当l过AB中点时，AB的中点为（－1,4），

∴直线l的方程为x＝－1.

故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.]

（2）设直线l与l1的交点为A（x0，y0），则直线l与l2的交点B（6－x0，－y0），

由题意知

解得

即A

，从而直线l的斜率k＝

＝8，

直线l的方程为y＝8（x－3），即8x－y－24＝0.

[规律方法]　1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数．

2．利用距离公式应注意：

①点P（x0，y0）到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．

[变式训练2]　若直线l过点A（1，－1）与已知直线l1：

2x＋y－6＝0相交于B点，且AB＝5，求直线l的方程．

[解]　①过点A（1，－1）与y轴平行的直线为x＝1.

解方程组

求得B点坐标为（1,4），

此时AB＝5，即直线l的方程为x＝1.

②设过点A（1，－1）且与y轴不平行的直线为y＋1＝k（x－1），

解方程组

得x＝

且y＝

（k≠－2，否则l与l1平行）．

则B点坐标为

.

又A（1，－1），且AB＝5，

所以

2＋

2＝52，解得k＝－

.

因此y＋1＝－

（x－1），即3x＋4y＋1＝0.

综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.

对称问题

（1）平面直角坐标系中直线y＝2x＋1关于点（1,1）对称的直线方程是________．

（2）光线从A（－4，－2）点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D（－1,6），则BC所在的直线方程是________．

（1）y＝2x－3　

（2）10x－3y＋8＝0　[

（1）法一：

在直线l上任取一点P′（x，y），其关于点（1,1）的对称点P（2－x,2－y）必在直线y＝2x＋1上，

∴2－y＝2（2－x）＋1，即2x－y－3＝0.

因此，直线l的方程为y＝2x－3.

法二：

由题意，l与直线y＝2x＋1平行，设l的方程为2x－y＋c＝0（c≠1），则点（1,1）到两平行线的距离相等，

∴

＝

，解得c＝－3.

因此所求直线l的方程为y＝2x－3.

法三：

在直线y＝2x＋1上任取两个点A（0,1），B（1,3），则点A关于点（1,1）对称的点M（2,1），B关于点（1,1）对称的点N（1，－1）．由两点式求出对称直线MN的方程为

＝

，即y＝2x－3.

（2）作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，

则易得A′（－2，－4），D′（1,6）．

由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.

故BC所在的直线方程为

＝

，即10x－3y＋8＝0.]

[迁移探究1]　在题

（1）中“将结论”改为“求点A（1,1）关于直线y＝2x＋1的对称点”，则结果如何？

[解]　设点A（1,1）关于直线y＝2x＋1的对称点为A′（a，b），

则AA′的中点为

，

所以

解得

故点A（1,1）关于直线y＝2x＋1的对称点为

.

[迁移探究2]　在题

（1）中“关于点（1,1）对称”改为“关于直线x－y＝0对称”，则结果如何？

[解]　在直线y＝2x＋1上任取两个点A（0,1），B（1,3），则点A关于直线x－y＝0的对称点为M（1,0），点B关于直线x－y＝0的对称点为N（3,1），

∴根据两点式，得所求直线的方程为

＝

，即x－2y－1＝0.

[规律方法]　1.第

（1）题求解的关键是利用中点坐标公式，将直线关于点的中心对称转化为点关于点的对称．

2．解决轴对称问题，一般是转化为求对称点问题，关键是要抓住两点，一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上．

[变式训练3]　直线x－2y＋1＝0关于直线x＋y－2＝0对称的直线方程是________．

2x－y－1＝0　[由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0的交点坐标为（1,1）．

在直线x－2y＋1＝0上取点A（－1,0），

设A点关于直线x＋y－2＝0的对称点为B（m，n），

则

解得

故所求直线的方程为

＝

，即2x－y－1＝0.]

[思想与方法]

1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．

2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，点与线的对称，利用坐标转移法．

[易错与防范]

1．判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．

2．

（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式；

（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．

课时分层训练（四十四）

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、填空题

1．已知点A（1，－2），B（m,2）且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是________．

3　[因为线段AB的中点

在直线x＋2y－2＝0上，代入解得m＝3.]

2．（2016·北京高考改编）圆（x＋1）2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为________．

　[圆心坐标为（－1,0），所以圆心到直线y＝x＋3即x－y＋3＝0的距离为

＝

＝

.]

3．若直线（a＋1）x＋2y＝0与直线x－ay＝1互相垂直，则实数a的值等于________．

1　[由

×

＝－1，得a＋1＝2a，故a＝1.]

4．（2017·苏州模拟）已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos

的值为________．

　[依题设，直线l的斜率k＝2，