湖南三校高二数学联考试题文科含答案.docx

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湖南三校高二数学联考试题文科含答案

湖南三校2017-2018高二数学12月联考试题（文科含答案）

浏阳一中醴陵一中南方中学2017下学期高二年级联考

文科数学

总分：

150分时量：

120分钟考试时间：

2017年12月12日

命题人：

审题人：

一．选择题（共12小题，每题5分）

1．已知命题p：

若a＞b＞0，则a2＞b2；命题q：

若x2=4，则x=2，．下列说法正确的是（）

A．“p∨q”为假命题B．“p∧q”为假命题

C．“p”为真命题D．“q”为假命题

2．椭圆的离心率为（）

A．B．C．2D．4

3．下列命题的说法错误的是（）

A．对于命题p：

∀x∈R，x2+x+1＞0，则p：

∃x0∈R，x02+x0+1≤0．

B．“x=1“是“x2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．

C．“ac2＜bc2“是“a＜b“的必要不充分条件．

D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：

“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．

4．在等比数列中，已知a3=6，a3+a5+a7=78，则a5=（）

A．12B．18C．24D．36

5．已知函数f（x）=xex，则f′

（2）等于（）

A．e2B．2e2C．3e2D．2ln2

6．已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）

A．x±y=0B．C．D．2x±y=0

7．已知a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是（）

A．a2＜abB．|a|＜|b|C．D．

8．已知某生产厂家的年利润y（单位：

万元）与年产量x（单位：

万件）的函数关系式为y=﹣+36x+126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（）

A．11万件B．9万件C．6万件D．7万件

9．函数y=的图象大致是（）

A．B．C．D．

10．已知等差数列的公差和首项都不等于，且，，成等比数列，则等于（）

A.B.C.D.

11．已知抛物线C：

y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）

A．3B．C．D．

12．已知定义在R上的函数f（x）=ex+mx2﹣m（m＞0），当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f

（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（）

A．（﹣∞，0）B．C．D．（1，+∞）

二．填空题（共4小题，每题5分）

13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为．

14．已知m＞0，n＞0且n+2m=4，则+的最小值是．

15．如图是某算法的程序框图，若任意输入[，19]中的实数x，则输出的x大于49的概率为．

16．f（x）=ax3﹣x2+x+2，，∀x1∈（0，1]，∀x2∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是．

三．解答题（共6小题，总共70分）

17．已知函数f（x）=x3﹣12x．

（1）求在点（1，f

（1））处的切线方程；

（2）求函数f（x）的极值．

18．在等差数列中，a1=﹣2，a12=20．

（Ⅰ）求通项an；

（Ⅱ）若，求数列的前n项和．

19．某家电公司销售部门共有200位销售员，每位部门对每位销售员都有1400万元的年度销售任务，已知这200位销售员去年完成销售额都在区间[2，22]（单位：

百万元）内，现将其分成5组，第1组，第2组，第3组，第4组，第5组对应的区间分别为[2，6），[6，10），[10，14），[14，18），[18，22]，绘制出频率分布直方图．

（1）求a的值，并计算完成年度任务的人数；

（2）用分层抽样从这200位销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；

（3）现从

（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2位，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2位销售员在同一组的概率．

20．已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）经过点，一个焦点是F（0，1）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若倾斜角为的直线l与椭圆C交于A、B两点，且|AB|=，求直线l的方程．

21．已知抛物线C顶点为O（0，0），焦点为F（1，0），A为抛物线C上第一象限的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|，延长AF交曲线C于点E．过点E作直线l1平行于l，设l1与此抛物线准线交于点Q．

（Ⅰ）求抛物线的C的方程；

（Ⅱ）设点A、B、E的纵坐标分别为yA、yB、yE，求的值；

（Ⅲ）求△AEQ面积的最小值．

22．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R

（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围．

浏阳一中醴陵一中南方中学2017下学期高二年级联考文科数学

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

题号123456789101112

答案BBCBCCCCDDAD

12.【解答】解：

∵不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f

（1）恒成立，

∴不等式f（x1）﹣f（x2）＞f

（1）﹣f（0）恒成立，

又∵x1+x2=1，

∴不等式f（x1）﹣f（1﹣x1）＞f

（1）﹣f（1﹣1）恒成立，

设g（x）=f（x）﹣f（1﹣x），

∵f（x）=ex+mx2﹣m（m＞0），

∴g（x）=ex﹣e1﹣x+m（2x﹣1），

则g′（x）=ex+e1﹣x+2m＞0，∴g（x）在R上单调递增，

∴不等式g（x1）＞g

（1）恒成立，∴x1＞1，故选：

D．

二．填空题（共4小题）

13．914．15．16．[﹣2，+∞）

16.【解答】解：

g′（x）=，而x∈（0，1]，

故g′（x）＞0在（0，1]恒成立，

故g（x）在（0，1]递增，

g（x）max=g

（1）=0，

若∀x1∈（0，1]，∀x2∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2），

只需f（x）min≥g（x）max即可；

故ax3﹣x2+x+2≥0在（0，1]恒成立，

即a≥在（0，1]恒成立，令h（x）=，x∈（0，1]，

h′（x）=＞0，h（x）在（0，1]递增，

故h（x）max=h

（1）=﹣2，故a≥﹣2，故答案为：

[﹣2，+∞）．

三．解答题（共6小题）

17.【解答】解：

（1）∵f（x）=x3﹣12x，∴f

（1）=﹣11，

f′（x）=3x2﹣12，f′

（1）=﹣9，

故函数f（x）在（1，﹣11）处的切线方程是：

y+11=﹣9（x﹣1），

即9x+y+2=0；

（2）∵f（x）=x3﹣12x，

∴f′（x）=3x2﹣12，

令f′（x）＞0，解得：

x＞2或x＜﹣2，

令f′（x）＜0，解得：

﹣2＜x＜2，

∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）递增，在（﹣2，2）递减，

∴f（x）极大值=f（﹣2）=16，f（x）极小值=f

（2）=﹣16．

18.【解答】解：

（Ⅰ）因为an=﹣2+（n﹣1）d，

所以a12=﹣2+11d=20．

于是d=2，所以an=2n﹣4．

（Ⅱ）因为an=2n﹣4，

所以．

于是，

令，则．

显然数列是等比数列，且，公比q=3，

所以数列的前n项和．

19【解答】解：

（1）2a=0.25﹣（0.02+0.08+0.09），解得a=0.03，

完成完成年度任务的人数200×4×（0.03+0.03）=48人，

（2）这5组的人数比为0.02：

0.08：

0.09：

0.03：

0.03=2：

8：

9：

3：

3，

故这5组分别应抽取的人数为2，8，9，3，3人

（3）设第四组的4人用a，b，c表示，第5组的3人用A，B，C表示，

从中随机抽取2人的所有情况如下ab，ac，aA，aB，aC，bc，bA，bB，bC，cA，cB，cC，AB，AC，BC共15种，其中在同一组的有ab，ac，bc，AB，AC，BC共6种，

故获得此奖励的2位销售员在同一组的概率=．

20【解答】解：

（1）椭圆C：

=1（a＞b＞0）经过点，

则：

①

椭圆的一个焦点是F（0，1）．则a2﹣b2=1②

由①②得：

a2=4b2=3

椭圆C的方程：

③

（2）根据题意可知：

设直线l的方程为：

y=x+b④

联立③④得：

3（x+b）2+4x2=12

整理得：

7x2+6bx+3b2﹣12=0

∴

∵|AB|===

解方程得：

b=±2∴直线l的方程为：

y=x±2

故答案为：

（1）

（2）直线l的方程为：

y=x±2

21.【解答】解：

（Ⅰ）由抛物线C顶点为O（0，0），焦点为F（1，0），

即有抛物线的方程为y2=4x；

（Ⅱ）设，，

∵|AF|=|DF|∴，∴，

∴直线AD的方程为，

1）当

2）当直线AE的方程为，

由，可得∵yA=t，∴，

由，可得∵yA=t∴

∴；综上所得

（Ⅲ）直线l1方程为y=﹣x﹣，

令x=﹣1，可得Q（﹣1，﹣），yE=，取AE的中点G，

QG∥x轴，则S△AQE=|QG||yA﹣yE|，

|QG|=（++2）=（+）2，即有S△AQE=（t+）3≥

（2）3=4，

则S△AQE的最小值为4，当且仅当t=2取等号．

22.【解答】解：

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，

若a≤0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，

若a＞0，则由f′（x）=0，得x=，

当x∈（0，）时，f′（x）＞0，

当x∈（）时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．

所以当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，

当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．

（Ⅱ）f（x）﹣=，

令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），

g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，

，

①若a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）上递增，

g′（x）≥g′

（1）=1﹣2a＞0，

∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g

（1）=0，

从而f（x）﹣不符合题意．

②若0＜a＜，当x∈（1，），F′（x）＞0，

∴g′（x）在（1，）上递增，

从而g′（x）＞g′

（1）=1﹣2a，

∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g

（1）=0，

从而f（x）﹣不符合题意．

③若a，F′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，

∴g′（x）在[1，+∞）上递减，g′（x）≤g′

（1）=1﹣2a≤0，

从而g（x）在[1，+∞）上递减，

∴g（x）≤g

（1）=0，f（x）﹣≤0，

综上所述，a的取值范围是[）．