点线面之间的位置关系.docx

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点线面之间的位置关系

§1．2　点、线、面之间的位置关系

1．2．1　平面的基本性质与推论

课时目标

　1．掌握平面的基本性质和三个推论，会用三种语言表述性质与推论．

2．了解异面直线的概念，能用符号语言描述点、直线、平面之间的相互位置关系．

1．平面的基本性质

（1）基本性质1：

如果一条直线上的______点在一个平面内，那么这条直线上的________点都在这个平面内，这时我们说直线在平面内或______________．

（2）基本性质2：

经过______________________的三点，有且只有一个平面．

也可简单说成，__________三点确定一个平面．

（3）基本性质3：

如果不重合的两个平面有________公共点，那么它们有且只有______过这个点的公共直线．

如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面________．这条公共直线叫做两个平面的________．

2．平面基本性质的推论

（1）推论1　经过__________________________，有且只有一个平面．

（2）推论2　经过______________有且只有一个平面．

（3）推论3　经过______________有且只有一个平面．

3．共面和异面直线

如果两直线共面，那么它们________或者________，否则称它们为____________．

一、选择题

1．下列命题：

①书桌面是平面；

②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；

③有一个平面的长是50m，宽是20m；

④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．

其中正确命题的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作（　　）

A．M∈b∈βB．M∈b⊂β

C．M⊂b⊂βD．M⊂b∈β

3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有（　　）

A．1条或2条B．2条或3条

C．1条或3条D．1条或2条或3条

4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是（　　）

A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β

B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN

C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A

D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合

5．空间中可以确定一个平面的条件是（　　）

A．两条直线B．一点和一直线

C．一个三角形D．三个点

6．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（　　）

A．异面或平行B．异面或相交

C．异面D．相交、平行或异面

二、填空题

7．把下列符号叙述所对应的图形（如图）的序号填在题后横线上．

（1）A

α，a⊂α________．

（2）α∩β＝a，P

α且P

β________．

（3）a⊄α，a∩α＝A________．

（4）α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．

8．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．

9．下列四个命题：

①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；

②经过空间任意三点有且只有一个平面；

③过两平行直线有且只有一个平面；

④在空间两两相交的三条直线必共面．

其中正确命题的序号是________．

三、解答题

10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．

11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD（或延长线）分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：

E，F，G，H必在同一直线上．

能力提升

12．已知空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，求证此三条直线必相交于一点．

13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．

求证：

（1）C1、O、M三点共线；

（2）E、C、D1、F四点共面；

（3）CE、D1F、DA三线共点．

1．证明几点共线的方法：

先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．

2．证明点线共面的方法：

先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点（或线）在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．

3．证明几线共点的方法：

先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．

§1．2　点、线、面之间的位置关系

1．2．1　平面的基本性质与推论

答案

知识梳理

1．

（1）两　所有　平面经过直线　

（2）不在同一条直线上　不共线的　（3）一个　一条　相交　交线

2．

（1）一条直线和直线外的一点　

（2）两条相交直线

（3）两条平行直线

3．平行　相交　异面直线

作业设计

1．A　[由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确，故选A．]

2．B　3．D

4．C　[∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β．

由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．

故α∩β＝A的写法错误．]

5．C

6．D　[异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．]

7．

（1）C　

（2）D　（3）A　（4）B

8．A∈m

解析　因为α∩β＝m，A∈a⊂α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．

9．③

10．解　很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．

∵E∈AC，AC⊂平面SAC，

∴E∈平面SAC．

同理，可证E∈平面SBD．

∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，

直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．

11．证明　因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，所以H必在平面AC与平面α的交线上．

同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，

因此E，F，G，H必在同一直线上．

12．证明　

∵l1⊂β，l2⊂β，l1

l2，

∴l1∩l2交于一点，记交点为P．

∵P∈l1⊂β，P∈l2⊂γ，

∴P∈β∩γ＝l3，

∴l1，l2，l3交于一点．

13．证明　

（1）∵C1、O、M∈平面BDC1，

又C1、O、M∈平面A1ACC1，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，

∴C1、O、M三点共线．

（2）∵E，F分别是AB，A1A的中点，

∴EF∥A1B．

∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．

∴E、C、D1、F四点共面．

（3）由

（2）可知：

四点E、C、D1、F共面．

又∵EF＝

A1B．

∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．

则P∈D1F⊂平面ADD1A1，

P∈CE⊂平面ADCB．

∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．

∴CE、D1F、DA三线共点．

1．2．2　空间中的平行关系

第1课时　平行直线

课时目标

　理解平面的基本性质及等角定理，并能应用它们进行有关的证明．

1．____________________________的两条直线叫做平行直线，过直线外一点有且只有________直线和已知直线平行．

2．基本性质4：

__________________________________，用符号表述为____________________________．

3．等角定理：

如果一个角的两边与另一个角的两边____________________________，那么这两个角相等．

4．顺次连接不共面的四点A，B，C，D所构成的图形叫做________________，这四个点中的各个点叫做空间四边形的________，所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的______，连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的__________．

一、选择题

1．经过平面α外的两个点作该平面的平行平面，可以作出（　　）

A．0个B．1个

C．0个或1个D．1个或2个

2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是（　　）

A．OB∥O1B1且方向相同

B．OB∥O1B1

C．OB与O1B1不平行

D．OB与O1B1不一定平行

3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（　　）

A．一定平行B．一定相交

C．一定异面D．相交或异面

4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q分别为AA1、CC1的中点，则四边形D1PBQ是（　　）

A．正方形B．菱形

C．矩形D．空间四边形

5．给出下列四个命题：

①垂直于同一直线的两条直线互相平行；

②平行于同一直线的两直线平行；

③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；

④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．

其中假命题的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

6．如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是（　　）

A．MN≥

（AC＋BD）

B．MN≤

（AC＋BD）

C．MN＝

（AC＋BD）

D．MN<

（AC＋BD）

二、填空题

7．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．

8．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：

（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

（4）直线AB与直线B1C的位置关系是________．

9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；

②AB∥CM；

③EF与MN是异面直线；

④MN∥CD．

以上结论中正确结论的序号为________．

三、解答题

10．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．

求证：

（1）四边形MNA1C1是梯形；

（2）∠DNM＝∠D1A1C1．

11．如图所示，P是△ABC所在平面外一点，D、E分别是△PAB、△PBC的重心．求证：

DE∥AC，DE＝

AC．

能力提升

12．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________（填序号）．

13．如图所示，在三棱锥A—BCD中，E，F，G分别是棱AB，AC，AD上的点，且满足

＝

＝

．

求证：

△EFG∽△BCD．

1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．

2．

—

3．注意：

等角定理的逆命题不成立．

1．2．2　空间中的平行关系

第1课时　平行直线

答案

知识梳理

1．在同一平面内不相交　一条

2．平行于同一条直线的两条直线互相平行　如果a∥b，c∥b，那么a∥c

3．分别对应平行，并且方向相同

4．空间四边形　顶点　边　对角线

作业设计

1．C

2．D　[等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB与O1B1有可能平行，也可能不在同一平面内，位置关系不确定．]

3．D

4．B　[设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为

，又D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形．]

5．B　[①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．

④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；

当点A在直线a上运动（其余三点不动），会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．]

6．D

　[如图所示，取BC的中点E，连接ME、NE，

则ME＝

AC，NE＝

BD，

所以ME＋NE

＝

（AC＋BD）．

在△MNE中，有ME＋NE>MN，

所以MN<

（AC＋BD）．]

7．60°或120°

8．

（1）平行　

（2）异面　（3）相交　（4）异面

9．①②③

解析　

把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①②③正确．

10．证明　

（1）如图，连接AC，

在△ACD中，

∵M、N分别是CD、AD的中点，

∴MN是三角形的中位线，

∴MN∥AC，MN＝

AC．

由正方体的性质得：

AC∥A1C1，AC＝A1C1．

∴MN∥A1C1，且MN＝

A1C1，即MN≠A1C1，

∴四边形MNA1C1是梯形．

（2）由

（1）可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，

∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．

而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，

∴∠DNM＝∠D1A1C1．

11．

证明　连接PD并延长交AB于M，

连接PE并延长交BC于N，则M为AB的中点，N为BC的中点，

∴MN∥AC，又

＝

＝

，

∴DE∥MN，∴DE∥AC．

又

＝

＝

，

∴DE＝

MN，又因MN＝

AC，

∴DE＝

AC．

12．②④

解析　①中HG∥MN．③中GM∥HN且GM≠HN，∴HG、MN必相交．

13．证明　在△ABC中，∵

＝

，

∴EF∥BC且

＝

．

同理，EG∥BD且

＝

．

又∵∠FEG与∠CBD的对应两边方向相同，

∴∠FEG＝∠CBD．∵

＝

，

∴△EFG∽△BCD．

第2课时　直线与平面平行的判定

课时目标

　1．理解直线与平面平行的判定定理的含义．2．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．

1．一条直线a和一个平面α有且仅有__________________________三种位置关系．（用符号语言表示）

2．直线与平面平行的判定定理：

如果________一个平面内的一条直线和平面的一条直线________，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α．

一、选择题

1．以下说法（其中a，b表示直线，α表示平面）

①若a∥b，b⊂α，则a∥α；

②若a∥α，b∥α，则a∥b；

③若a∥b，b∥α，则a∥α；

④若a∥α，b⊂α，则a∥b．

其中正确说法的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是（　　）

A．b∥αB．b与α相交

C．b⊂αD．b∥α或b与α相交

3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是（　　）

A．平行B．相交

C．平行或相交D．AB⊂α

4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是（　　）

A．平行B．相交

C．在内D．不能确定

5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面（　　）

A．不存在B．只能作出一个

C．能作出无数个D．以上都有可能

6．能得出直线a与平面α平行的条件是（　　）

A．a⊄α，b⊂α，a∥b

B．b⊂α，a∥b

C．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c

D．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD

二、填空题

7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．

8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：

（1）与直线AB平行的平面是__________；

（2）与直线AA1平行的平面是____________；

（3）与直线AD平行的平面是____________．

9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是______．

三、解答题

10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．

求证：

EF∥平面BDD1B1．

11．如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．

求证：

EF∥平面PBC．

能力提升

12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．（写出所有符合要求的图形序号）

13．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ．求证PQ∥平面BCE．（用两种方法证明）

直线与平面平行的判定方法

（1）利用定义：

证明直线a与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．

（2）利用直线和平面平行的判定定理：

a⊄α，a∥b，b⊂α，则a∥α．使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．

第2课时　直线与平面平行的判定答案

知识梳理

1．a⊂α，a∩α＝A或a∥α

2．不在　平行

作业设计

1．A　[①a⊂α也可能成立；②a，b还有可能相交或异面；③a⊂α也可能成立；④a，b还有可能异面．]

2．D　3．C　4．A　5．D　6．A

7．无数

8．

（1）平面A1C1和平面DC1　

（2）平面BC1和平面DC1　（3）平面B1C和平面A1C1

9．平行

解析　设BD的中点为F，则EF∥BD1．

10．证明　取D1B1的中点O，

连接OF，OB．

∵OF綊

B1C1，BE綊

B1C1，

∴OF綊BE．

∴四边形OFEB是平行四边形，

∴EF∥BO．

∵EF⊄平面BDD1B1，

BO⊂平面BDD1B1，

∴EF∥平面BDD1B1．

11．证明　连接AF延长交BC于G，

连接PG．

在▱ABCD中，

易证△BFG∽△DFA．

∴

＝

＝

，

∴EF∥PG．

而EF⊄平面PBC，

PG⊂平面PBC，

∴EF∥平面PBC．

12．①③

13．证明　方法一　如图

（1）所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN．

∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，

∴AE＝BD．

又∵AP＝DQ，∴PE＝QB．

又∵PM∥AB∥QN，∴

＝

，

＝

．

∴PM綊QN．

∴四边形PQNM是平行四边形．∴PQ∥MN．

又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，

∴PQ∥平面BCE．

方法二　如图

（2）所示，连接AQ并延长交BC（或其延长线）于K，连接EK．

∵KB∥AD，∴

＝

．∵AP＝DQ，AE＝BD，

∴BQ＝PE．

∴

＝

．∴

＝

．∴PQ∥EK．

又PQ⊄面BCE，EK⊂面BCE，∴PQ∥面BCE．

第3课时　直线与平面平行的性质

【课时目标】　1．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．2．能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．

直线与平面平行的性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，经______________________________________，那么这条直线就和两平面的交线平行．

（1）符号语言描述：

⇒a∥b．

（2）性质定理的作用：

可以作为直线和直线平行的判定方法，也提供了一种作平行线的方法．

一、选择题

1．a，b是两条异面直线，P是空间一点，过P作平面与a，b都平行，这样的平面（　　）

A．只有一个B．至多有两个

C．不一定有D．有无数个

2．两条直线都和一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（　　）

A．平行B．相交

C．异面D．以上均可能

3．

如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（　　）

A．AC⊥BD

B．AC∥截面PQMN

C．AC＝BD

D．异面直线PM与BD所成的角为45°

4．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是（　　）

A．平行B．相交

C．异面D．平行和异面

5．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线（　　）

A．至少有一条B．至多有一条

C．有且只有一条D．没有

6．如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是（　　）

A．l1平行于l3，且l2平行于l3

B．l1平行于l3，且l2不平行于l3

C．l1不平行于l3，且l2不平行于l3

D．l1不平行于l3，但l2平行于l3

二、填空题

7．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：

①m∥n；②m∥α；③n∥α．以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：

______________．（用序号表示）

8．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝

，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．

9．已知（如图）A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________________．

三、解答题

10．ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：

AP∥GH．

11．如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．

求证：

CD∥平面EFGH．

能力提升

12．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________．

13．如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．

（1）求证：

BC∥l；

（2）MN与平面PAD是否平行试证明你的结论．