第8章-平面问题的复变函数解.doc

第8章-平面问题的复变函数解.doc

《第8章-平面问题的复变函数解.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第8章-平面问题的复变函数解.doc（42页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第八章平面问题的复变函数解

知识点

双调和方程的复变函数表达形式

应力分量复变函数表达式

应力分量的单值条件

多连域的K-M函数

无穷远应力与K-M函数

位移分量的曲线坐标表达

保角变换公式与K-M函数

柯西积分确定K-M函数

孔口应力

裂纹前缘应力分布

双调和函数的复变函数形式

位移分量的复变函数表达形式

位移分量的单值条件

无限大多连域中K-M函数的一般形式

保角变换和曲线坐标

应力分量的曲线坐标表达式

利用孔口边界条件确定K-M函数

椭圆孔口的保角变换

裂纹—短轴为零的椭圆

切应力作用的裂纹前缘应力

一、内容介绍

通过直角坐标和极坐标系，可以求解一些弹性力学平面问题。

但是，这些方法只能用于某些边界比较特殊的平面问题，特别是对于多连域问题更显得无能为力。

本章介绍复变函数解法，实质仍然是在给定的边界条件下求解双调和方程的问题，但应用中成为在给定的边界条件下寻找两个解析函数K-M函数的问题。

求解分析步骤为：

1、分别将应力函数、应力分量、位移和边界条件等表示为复变函数形式，就是用K-M函数表示；

2、探讨无限大多连域中，K-M函数的表达形式，将其表示为级数形式；

3、利用保角变换将无限大多连域映射为单位圆，使得问题的边界条件简化；

4、将边界条件转化为柯西积分，求解级数系数，从而使得问题求解。

如果你还没有学习复变函数课程，请你学习附录2或者查阅有关参考资料。

二、重点

1、K-M函数与应力函数、应力分量、位移和边界条件等；2、无限大多连域的K-M函数形式；3、保角变换与曲线坐标；4、椭圆孔口与平面裂纹问题。

§8.1应力函数的复变函数表示

学习思路：

弹性力学应力解法的基本方程是双调和方程，问题求解的关键是建立满足边界条件的双调和函数。

对于复变函数解，重要的问题是将双调和函数表达为复变函数形式。

本节首先将双调和方程表示为复变函数形式；然后通过积分用解析函数表示双调和函数。

学习时应该注意：

应力函数为实函数，通过复变函数表达的双调和函数也是实函数，因此应力函数虚部等于零。

上述分析的结果是使得应力函数通过两个单值解析函数和y（z）表示。

和y（z）称为克罗索夫－穆斯赫利什维利函数，简称K-M函数；或者称为复位势函数。

学习要点：

1、双调和方程的复变函数表达形式；2、双调和函数的复变函数形式

1、双调和方程的复变函数表达形式

在弹性力学的复变函数求解中，应力函数用U（x，y）表示，有其它定义。

设应力函数U（x，y）为双调和函数，首先考虑变形协调方程的复变函数表达形式。

对于复变函数z=x+iy，取其共轭，则=x-iy。

因此z和均为x，y的函数。

复变函数z可以写作z=reij，其共轭=re-ij，因此z和又可以表示为坐标r和j的函数。

同理，x，y也可以表示为z和的函数，有

因此，应力函数也可以表示为复变函数z和的函数，有

注意到

应力函数U（x，y）对坐标x，y的导数也可以表示为对复变函数z和的求导运算，有

将上式的后两式相加，可以得到调和方程的复变函数表达形式

双调和方程的复变函数表达式为

2、双调和函数的复变函数形式

对于应力函数U（z）的复变函数表示。

将双调和方程的复变函数表达式

乘以2，并对作积分，可得

对再作一次积分，可得

对z作一次积分，可得

对z再作积分一次，可得

应力函数U（z）的复变函数表达式中，有四个待定函数。

注意到应力函数为实函数，因此公式右边的复变函数的虚部必须为零。

所以上述函数必须是两两共轭的，即

或者

因此应力函数可以用两个待定函数表示为

或者

上述公式称为古尔萨（Goursat）公式。

公式将双调和函数通过两个复变函数

和c（z）表达。

和c（z）称为克罗索夫－穆斯赫利什维利函数，简称K-M

函数，均为单值解析函数。

Re为表示复变函数实部的符号。

§8.2应力分量的复变函数表示

学习思路：

应力函数已经通过K-M函数表示，但是这还不够，为了下一步的工作，本节的工作是将应力分量表示为复变函数形式，即使用K-M函数表示应力分量。

这一工作的主要内容是写出K-M函数对直角坐标的偏导数，应该注意，本章应力分量表达式也是写作复变函数表达形式的。

本节引入复变函数

，和

这主要是简化公式的描述，并没有增加未知函数。

上述函数均称为K-M函数。

学习要点：

1、K-M函数对直角坐标导数的复变函数表示；2、应力分量表达式

1、K-M函数对直角坐标导数的复变函数表示

对于无体力的弹性力学问题。

如果选取的应力分量满足

则上述应力分量自然是满足平衡微分方程的。

这里的问题是选取的应力函数是复变函数形式表达的，而且是由K-M函数描述的。

因此，应力分量也必须通过K-M函数表达。

根据公式

有

将上述两式相加，可以得到

将上式分别对x和y求一阶导数，可得

其中

2、应力分量表达式

上述公式

的第一式减去第二式乘以i，可得

即

将公式的第一式加上第二式乘以i，可得

取其共轭，则

上述公式推导中，引入和。

公式是用单值解析函数和y（z）表示的应力分量，自然满足平衡微分方程和变形协调方程。

§8.3位移的复变函数表示

学习要点与思路：

本节工作是将位移分量表示为复变函数形式，通过K-M函数表达弹性体位移。

对于应力解法，如果应力函数满足变形协调方程，则单连域问题应力函数描述的变形已经是协调的。

一般的讲，不需要专门分析位移。

但是对于复变函数弹性力学解，处理的问题均为多连域问题，因此位移单值连续条件即使对于应力解法也是不可缺省的。

在位移的复变函数表达式推导中，首先将几何方程代入物理方程的前两式，得到位移偏导数的表达式，这是K-M函数对x，y坐标的偏导数。

积分确定位移表达式，并且根据物理方程的第三式，确定弹性体的刚体位移，写出K-M函数表达的位移复变函数表达形式。

学习要点：

1、K-M函数表达的位移偏导数表达式；2、积分确定位移分量；3、位移分量的复变函数表达形式

1、K-M函数表达的位移偏导数表达式

对于平面应力问题，根据物理方程和几何方程的前两式，可得

其中

设。

由于K-M函数为解析函数，其连续可导，应满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件，即

由于

取其共轭

因此可得

即

将上式代入公式

可得

2、积分确定位移分量

将公式

分别对x和y积分，可得

根据几何方程的第三式和切应力表达式代入切变胡克定理，上式可以写作

将位移表达式代入上式，则

整理可得

根据柯西-黎曼条件，公式左边第一项为零，所以

因此，g（x）=wx+v0,f（x）=-wy+u0。

这一结果说明：

g（x）和f（y）表示刚体位移，因此对于变形分析，可以略去不计。

即公式可以表示为

3、位移分量的复变函数表达形式

将上述两式

相加，则可得K-M函数表示的位移分量。

有

整理可得

或者写作

上述分析表明，如果已知K-M函数和y（z）时，则平面应力状态下的位移分量也是确定的。

对于平面应变问题，只须将弹性模量和泊松比

做对应的替换则可。

§8.4边界条件的复变函数表示

学习思路：

边界条件应用是弹性力学分析的重要步骤，本节讨论应用K-M表示面力边界条件。

由于应力和位移分量都是复变函数表示的，为方便进一步的分析，面力边界条件也需要用K-M函数表达。

在直角坐标系中，边界条件是以函数形式表示的，对应于一点的边界条件。

而在复变函数解中，更多使用边界线段的表达形式，这是复变函数性质决定的。

用复变函数描述的面力边界条件有三个。

显然，这三个关系式不是独立的，仅有两个独立关系。

学习要点：

1、任意一点的面力边界条件复变函数表达；

2、边界线段AB的面力边界条件：

3、边界力矩与K-M函数的关系：

4、位移边界条件：

思考题：

1、根据上述面力边界条件说明：

对于单连域弹性体，K-M函数为单值解析函数，而对于多连域，K-M函数将不再是单值的。

（解答）

1、任意一点的面力边界条件复变函数表达

对于弹性力学平面问题，其面力边界条件为

将复变函数表示的应力分量表达式

代入上式，则

设AB为弹性体的任意一段边界，而s是从边界上一点A量取的弧长（边界的外法线n指向弧长的右边），如图所示

则由几何关系

将上式代入公式

可得

将上述面力矢量用复数形式表达为Fsx+iFsy，则

将公式

代入上式，可得

即

2、边界线段AB的面力边界条件

公式的左边表示边界面力矢量在微分线段ds上的主矢量。

将公式沿边界从定点A到动点B（设B点的坐标为z）积分，则可得边界面力矢量在弹性体边界线段AB上的主矢量

由于在K-M函数和y（z）中，增加或减少一个复常数并不影响应力值，因此可以适当的选取K-M函数，使上式的常数为零。

则

上述公式表示了边界面力矢量与K-M函数和y（z）之间的关系。

显然对于给定的面力矢量，公式的右边为边界点的确定的函数，即已知函数；而左边为坐标z从弹性体区域内部向区域的边界趋近时的复位势函数值。

3、边界力矩与K-M函数的关系

如果将边界线段AB的面力矢量对坐标原点取矩，并利用关系式

可以得到

对上式作分部积分，可得

注意到

和

回代可得

公式的左边在外力给定的条件下，为边界点的确定函数。

公式的右边为K-M函数由弹性体内部向边界趋近时的数值。

4、位移边界条件

下面再讨论位移边界条件，当边界位移给定时，设边界位移为

u=u,v=v

则根据位移边界条件，有

上式即为K-M函数表示的位移边界条件。

到此为止，求解弹性力学平面问题，由在给定的边界条件下求解双调和方程的问题，变换为在给定的边界条件下寻找解析函数和y（z）的问题。

思考题：

1、根据上述面力边界条件说明：

对于单连域弹性体，K-M函数为单值解析函数，而对于多连域，K-M函数将不再是单值的。

解答：

如讨论的物体为单连域，由于和均为单值解析函数。

因此，当A和B重合时，也就是说积分曲线闭合时，则

＝0，这表明作用在物体边界上的边界面力，必组成一个平衡力系。

这一结论是必然的，要使问题有解，边界上的面力必须满足这个条件。

§8.5多连域中φf（z）和y（z）的一般表达式

学习思路：

本节的主要任务是确保描述应力和位移分量的K-M函数的单值性。

单连域中的单值解析函数和y（z）在多连域可能不再是单值的。

因此K-M函数和y（z）表示的应力和位移形式也可能不再单值。

要保证应力和位移分量的单值性，必须讨论K-M函数和y（z）在多连域中的可能形式。

   首先分别根据应力分量的单值条件，将K-M函数和y（z）分解为单值解析