《13交集并集》教学案.docx

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《13交集并集》教学案

《交集、并集》教学案

学习目标

1．知识与技能

（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．

（2）能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．

2．过程与方法

学生通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算．

3．情感、态度与价值观

（1）进一步树立数形结合的思想．

（2）进一步体会类比的作用．

（3）感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确．

教学重点、难点

重点：

交集与并集的概念．

难点：

理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系．

教学过程

1．关于交集与并集概念的教学

建议教师一方面可通过Venn图画两集合所表示的两条封闭曲线“相离”、“相交”、“内含”、“相重合”等情形，全面揭示两集合的交集或并集的所有情形；另一方面，在交集、并集概念的教学中，对“且”和“或”这两个联结词必须使学生明确其涵义，学会正确使用，使学生对交集、并集的定义有一个准确的认识．

2．关于集合运算时的常用技巧的教学

建议教师通过教学引导学生进行集合运算时一般先化简再运算．当给出的集合形式较为复杂时，注意先化简，化简时注意保证化简前后集合的等价性．另外须注意对于含有参数的方程问题，一般需对参数进行讨论．要特别注意检验集合的元素是否满足“三性”，还要提防“空集”这一隐形陷阱．

课标解读

1.理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系（重点）．

2．掌握求两个简单集合的交集与并集的方法（重点）．

3．会借助Venn图理解集合的交并运算，培养数形结合的思想（难点）.

知识点1

交集与交集的性质

【问题导思】　

已知集合A＝{－1，1，2，3}，B＝{0，－1，1}，C＝{－1，1}．

1．集合A与集合B有公共元素吗？

它们组成的集合是什么？

【提示】　有　{－1，1}．

2．集合C中的元素与集合A、B有何关系？

【提示】　集合C中的元素属于A且属于B.

1．交集

（1）文字语言：

一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B（读作“A交B”）．

（2）符号语言：

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

（3）Venn图

　　　　　①　　　　　　②　　　　　③

2．交集的性质

（1）A∩B＝B∩A；

（2）A∩B⊆A；（3）A∩B⊆B；（4）A∩A＝A；（5）A∩∅＝∅.

知识点2

并集与并集的性质

【问题导思】　

已知集合A＝{－1，2，6}，B＝{－2，－1，4，6}，C＝{－1，－2，2，4，6}．

1．集合A与B中的公共元素是什么？

【提示】　－1，6.

2．集合C中的元素与集合A、B有什么关系？

【提示】　C中的元素属于集合A或属于集合B.

1．并集

（1）文字语言：

一般地，由所有属于集合A或者属于集合B

的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B（读作“A并B”）．

（2）符号语言：

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．

（3）Venn图

　　　　　①　　　　　　②　　　　③

2．并集的性质

（1）A∪B＝B∪A；

（2）A⊆A∪B；（3）B⊆A∪B；（4）A∪A＝A；（5）A∪∅＝A.

知识点3

区间

设a，b∈R，且a

[a，b]＝{x|a≤x≤b}，（a，b）＝{x|a

[a，b）＝{x|a≤x

（a，＋∞）＝{x|x>a}，（－∞，b）＝{x|x

[a，b]，（a，b）分别叫做闭区间、开区间；

[a，b），（a，b]叫做半开半闭区间；

a，b叫做相应区间的端点.

知识点4

集合的交集运算

例1　

（1）已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|－1

（2）已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{－1，0，2}，则A∩B＝________.

【思路探究】　

（1）利用数轴求集合A、B的公共元素，

（2）利用定义或Venn图求集合A、B的公共元素．

【自主解答】　

（1）如图所示：

∴A∩B＝{x|x>1}∩{x|－1

（2）法一　A∩B＝{－1，1，2，4}∩{－1，0，2}＝{－1，2}．

法二　如图所示：

∴A∩B＝{－1，2}．

【答案】　

（1）{x|1

（2）{－1，2}

规律方法

求两个集合的交集就是找出这两个集合的公共元素：

（1）对于用描述法表示的实数组成的数集一般利用数轴分析求解；

（2）对于用列举法表示的实数组成的数集一般利用定义或Venn图法求解．

知识点5

集合的并集运算

例2　设A＝{x|2x2－px＋q＝0}，B＝{x|6x2＋（p＋2）x＋5＋q＝0}，若A∩B＝{

}，求A∪B.

【思路探究】　利用交集的定义，可以得到两个含有p，q的方程，并解出它们，可以进一步求出集合A，B，在求并集时，必须注意并集中元素应该满足互异性．

【自主解答】　∵A∩B＝{

}，∴

∈A，

∈B.

将

分别代入方程2x2－px＋q＝0及6x2＋（p＋2）x＋5＋q＝0中，

联立得方程组

解得

∴A＝{x|2x2＋7x－4＝0}＝{－4，

}，

B＝{x|6x2－5x＋1＝0}＝{

，

}，

∴A∪B＝{－4，

，

}．

规律方法

1．解答本题关键是确定出集合A，B中的元素．

2．求集合的并集时，若集合是用列举法给出的，可直接利用并集的定义求解，需特别注意相同元素只能按一个书写；若集合是用描述法表示的无限集，求解时可借助数轴完成，需特别注意界点的虚实．

知识点6

交集、并集的性质及应用

例3　集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|2x2－4x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．

【思路探究】　

→

→

→

【自主解答】　A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，

∵A∪B＝A，∴B⊆A.

（1）当B＝∅时，Δ＝（－4）2－4×2a＝16－8a<0，

∴a>2；

（2）当B中只有一个元素时，

即B＝{1}或{2}时，

Δ＝16－8a＝0，∴a＝2，

此时，B＝{x|2x2－4x＋2＝0}＝{1}，符合题意；

（3）当B＝{1，2}时，

1，2是方程2x2－4x＋a＝0的两根，

∴应有1＋2＝－

，显然不成立，

∴此种情况不存在．

综上，实数a的取值范围为{a|a≥2}．

规律方法

在集合与集合的关系中，若集合B为双元素集合，且A⊆B，则可对集合A按元素的个数分类，即A为空集，A为单元素集合，A为双元素集合；若集合B为三元素集合，则可依此类推．这样才能标准统一，不重不漏．

变式训练

设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0}．

（1）若A∩B＝B，求a的取值范围；

（2）若A∪B＝B，求a的值．

【解】　A＝{0，－4}．

（1）∵A∩B＝B，∴B⊆A.

①若0∈B，则a2－1＝0，解得a＝±1.

当a＝1时，B＝{x|x2＋4x＝0}＝A；

当a＝－1时，B＝{0}A.

②若－4∈B，则a2－8a＋7＝0，解得a＝7或a＝1.

当a＝7时，B＝{x|x2＋16x＋48＝0}＝{－12，－4}

A.

③若B＝∅，则Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）<0，解得a<－1.

综上所述，a≤－1或a＝1.

（2）∵A∪B＝B，∴A⊆B.

∵A＝{0，－4}，而B中最多有两个元素，

∴A＝B，即a＝1.

知识点7

已知集合的交集、并集求参数范围

例4　已知集合A＝{x|2

【思路探究】　先借助于数轴的直观性进行分析，然后列出参数a的方程或不等式，进而求相应a的取值范围．

【自主解答】　有两类情况，

一类是B≠∅⇒a>0.

此时，又分两种情况：

①B在A的左边，如图中B所示；

②B在A的右边，如图中B′所示．

集合B在图中B或B′位置均能使A∩B＝∅成立，

即0<3a≤2或a≥4，解得0

或a≥4.

另一类是B＝∅，即a≤0时，显然A∩B＝∅成立．

综上所述，a的取值范围是{a|a≤

或a≥4}．

规律方法

1．若A∩B＝∅，则A、B可能的情况为：

（1）A、B非空但无公共元素；

（2）A、B均为空集；（3）A与B中只有一个是空集．

2．依据数形结合的数学思想，利用数轴分析法是解决有关交集、并集问题，特别是一些字母范围问题的常用方法．

互动探究

将本题条件“A∩B＝∅”改为“A∩B＝{x|3

【解】　因为A＝{x|2

集合B若要符合题意，显然有a＝3，此时，B＝{x|3

错误理解交、并集的概念致误

典例　设A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1，7}，且A∩B＝C，求x，y的值．

【错解】　令7＝x2－x＋1，解得x＝－2，或x＝3，

令2y＝7，解得y＝

，

令2y＝－1，解得y＝－

，而由x＋4＝7得x＝3，

由x＋4＝－1得x＝－5.

综上可知x＝－2，或x＝3，或x＝－5，y＝

，或y＝－

.

【错因分析】　没有正确理解A∩B＝C，即集合A，B中有且仅有－1，7这两个公共元素，在求出x，y的值后应进行检验．

【防范措施】　正确理解集合中交、并集的概念，若给出集合与集合的交集或并集，求解过程中应注意检验．

【正解】　∵A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1，7}，

又∵A∩B＝C，∴7∈A，7∈B，－1∈B.

当7∈A时，有x2－x＋1＝7，

解得x＝－2，或x＝3.

下面检验x＝－2与x＝3的合理性：

若x＝－2，则在B中，x＋4＝－2＋4＝2，则2∈B.

∵2∈A，∴2∈A∩B＝C＝{－1，7}，这是矛盾的，

∴x≠－2，

当x＝3时，在B中，x＋4＝7，符合题意，

∴2y＝－1，解得y＝－

.

综上可得x＝3，y＝－

.

本节的重点是交集与并集的概念，只要结合图形，抓住概念中的关键词“且”、“或”，理解它们并不困难．

（1）A与B的交集是由A与B所有的公共元素组成的集合．当两个集合A与B无公共元素时，A∩B＝∅.

（2）A与B的并集是由A的所有元素和B的所有元素组成的集合，当两个集合有公共元素时，公共元素在A∪B中只能出现一次．

（3）利用数形结合，将满足条件的集合用Venn图或数轴一一表示出来，从而求出集合的交集、并集．这是既简单直观且最基本、最常见的方法，要注意灵活运用.

1．集合{x|2

【解析】　{x|2

【答案】　（2，5]

2．已知集合A＝{x|（x－1）（x＋2）＝0}，B＝{x|（x＋2）（x－3）＝0}，则集合A∪B＝________.

【解析】　∵A＝{－2，1}，B＝{－2，3}，

∴A∪B＝{－2，1，3}．

【答案】　{－2，1，3}

3．设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．

【解析】　因为A∩B＝{3}，当a2＋4＝3时，a2＝－1无意义，

当a＋2＝3，即a＝1时，B＝{3，5}满足题意，故a＝1.

【答案】　1

4．已知A＝{x|x<3}，B＝{x|x

（1）若A∩B＝B，求a的取值范围；

（2）若A∪B＝B，求a的取值范围．

【解】　

（1）∵A∩B＝B，

∴B⊆A，借助于数轴知，

∴a≤3.

（2）∵A∪B＝B，

∴A⊆B，借助于数轴知，

∴a≥3.