初二上学期复习.docx

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初二上学期复习

初二复习

第一章轴对称图形

1轴对称的性质

（1）如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。

（2）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

（3）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（4）画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：

找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

2线段、角的轴对称性

（1）角平分线上的点到角两边距离相等。

（2）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。

（3）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3等腰三角形的轴对称性 

（1）等腰三角形的性质：

等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。

（2）等腰三角形的判定：

等角对等边。

（3）等边三角形的三个内角相等，等于60°。

（4）等边三角形的判定：

 三个角都相等的三角形是等腰三角形； 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；有两个角是60°的三角形是等边三角形。

（5）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

（6）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 

轴对称习题

一、选择题

1．下列命题中：

①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.正确的说法有（　　）个A．1个B．2个C．3个D．4个

2．下列图形中：

①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形.其中是轴对称图形有（　　）个

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，P1与P关于OA对称，P2与P关于OB对称，则△P1OP2是（　　）

A．含30°角的直角三角形；B．顶角是30的等腰三角形；

C．等边三角形D．等腰直角三角形.

4．如图：

等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则

∠APE的度数是（　　）

A．45°B．55°　　C．60°D．75°

5.等腰梯形两底长为4cm和10cm，面积为21cm2，则这个梯形较小

的底角是（　　）度.

A．45°B．30°C．60°D．90°

6．已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则（　　）

A．PA+PB＞QA+QBB．PA+PB＜QA+QB

D．PA+PB＝QA+QBD．不能确定

7．已知△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，且BC与B1C1交与直线MN上一点O，

则（　　）

A．点O是BC的中点B．点O是B1C1的中点

C．线段OA与OA1关于直线MN对称

D．以上都不对

8．如图：

已知∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，

PD⊥OA，若PC=4，则PD=　（）

　A．4B．3

C．2D．1

9．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离

为5，Q是OB上任一点，则（　　）

A．PQ＞5B．PQ≥5

C．PQ＜5D．PQ≤5

10．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为（　　）

　A．3cm或5cmB．3cm或7cmC．3cmD．5cm

二．填空题

11．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴．

12．等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B=________．

13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若CD=4，则点D到AB的距离是__________．

14．等腰△ABC中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB上的高等于___________．

15．如图：

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，AD=5，BC=8，且AB∥DE，则△DEC的周长是____________．

16．等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一底角为

60°，则它的两底长分别为____________．

17．若D为△ABC的边BC上一点，且AD=BD，AB=AC=CD，

则∠BAC=____________．

18．△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC=115°，则∠EAF=___________．

三．解答题

19．如图：

已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．

20．如图：

AD为△ABC的高，∠B=2∠C，用轴对称图形说明：

CD=AB+BD．

21．有一本书折了其中一页的一角，如图：

测得AD=30cm,BE=20cm，∠BEG=60°，求折痕EF的长．

22．如图：

△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D，

①若△BCD的周长为8，求BC的长；

②若BC=4，求△BCD的周长．

23．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？

试说明你的结论．

Q

参考答案

第一章　轴对称图形

1．A　2．B　3．C　4．C　5．A　6．D　7．C　8．C　9．B　10．C

11．2　12．30°、75°、120°　13．4　14．5　15．15　16．4、6　17．72°　18．50°

19．提示：

作CD的中垂线和∠AOB的平分线，两线的交点即为所作的点P；

20．提示：

在CD上取一点E使DE＝BD，连结AE；

21．EF＝20㎝；　　22．①BC＝3，②　9；

23．提示：

△APQ为等边三角形，先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°即可.

补充习题

1.如图2，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点，求：

△BCD的周长。

图2　　　　　　　　　　　　图3

2．如图3，△BAC＝120°，∠C＝30°，DE是线段AC的垂直平分线，求：

∠BAD的度数。

答案

1.28cm

2.90°

第二章图形的全等

1探索三角形全等的条件

（1） 全等三角形的性质：

全等三角形对应边相等、对应角相等。

（2） 全等三角形的判定：

三边相等（SSS）、两边和它们的夹角相等（SAS）、两角和它们的夹边（ASA）、两角和其中一角的对边对应相等（AAS）、斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。

（3） 角平分线的性质：

角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等。

（4） 角平分线推论：

角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。

（5） 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：

①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；

②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么；

③、正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。

2角平分线的性质：

（1）角的平分线的性质：

角的平分线上的点到角两边的距离相等。

（2）角平分线的判定：

教的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

（3）三角形三个内角平分线的性质：

三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。

3寻找全等三角形对应边、对应角的规律：

1全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．  

2全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角．  

3有公共边的，公共边一定是对应边

4有公共角的，公共角一定是对应角． 

5有对顶角的，对顶角是对应角．

6全等三角形中的最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角） 

4找全等三角形的方法 

（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；   

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；   

（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；   

（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

5角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段。

6证明线段相等的方法：

（1）中点定义；   

（2）等式的性质； 

（3）全等三角形的对应边相等； 

（4）借助中间线段（即要证a=b,只需证a=c,c=b即可）。

随着知识深化，今后还有其它方法。

7证明角相等的方法：

（1） 对顶角相等； 

（2） 同角（或等角）的余角（或补角）相等；   

（3） 两直线平行，同位角、内错角相等；   

（4） 角的平分线定义；   

（5） 等式的性质；   

（6） 垂直的定义； 

（7） 全等三角形的对应角相等； 

（8） 三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。

随着知识的深化，今后还有其它的方法。

8证垂直的常用方法 

（1） 证明两直线的夹角等于90°；   

（2） 证明邻补角相等； 

（3） 若三角形的两锐角互余，则第三个角是直角；   

（4） 垂直于两条平行线中的一条直线，也必须垂直另一条。

（5） 证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等；   

（6） 邻补角的平分线互相垂直。

9全等三角形中几个重要结论 

（1） 全等三角形对应角的平分线相等；   

（2） 全等三角形对应边上的中线相等；   

（3） 全等三角形对应边上的高相等。

图形的习题

1已知，如图4，AB=AC，AD=AE，AB、DC相交于M，AC、BE相交于N，∠DAB=∠EAC，

试说明:

（1）△ACD≌△ABE；

（2）试说明AM=AN.

2如图5，已知：

∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE。

BF和EC是否相等？

并说明理由。

3如图6，已知：

AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，AC=CE，试说明：

（1）△ABC≌△CDE；

（2）AC⊥CE

答案

1.可以取AD=AE，AB=AC，AD⊥DC，AE⊥BE得到AM=AN：

由AD⊥DC，AE⊥BE得到∠ADC=∠AEB=90°，则根据“HL”可判断Rt△ADC≌Rt△AEB，得到∠C=∠B，然后根据“ASA”判断△AMC≌△ANB，所以AM=AN．

2.利用ASA证明三角形全等，得到对应边关系

3.利用HL证明全等，得到对应角关系即可

第三章勾股定理与平方根

1勾股定理

（1）勾股定理勾股定理：

如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c ，那么a2+b2=c2

（2）勾股定理的逆定理

如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 。

（3）勾股数

满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。

2平方根，立方根

（1）算术平方根：

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作x=

，a≥0 。

0的算术平方根为0，记作

=0；从定义可知，只有当a≥0时，a才有算术平方根。

（2）平方根：

一般地，如果一个数x的平方根等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根。

（3）正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。

（4）正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。

（5）

，

3实数的概念及分类

4近似数和有效数字

（1）有效数字：

从左边第一个不是0的数字起，到精确的那位为止。

勾股定理与平方根习题

题型一、直角三角形的判定

1、已知三角形的三边长分别为m2+1，2m和m2-1，则此三角形是（）

A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形

2、以5、12为边的直角三角形，则第三边为

题型二、利用勾股定理解决图形的折叠问题

3、已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，现将△ABC进行折叠，使顶点A,B重合，求DE的长。

题型三、最短路程

4、北京奥运会的主会场有一部分如图所示的三级台阶,每一级台阶的长、宽、高分别20m、3m、2m，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一运动员，想到B点喝点可口可乐，则该运动员沿着台阶面行走到B点的最短路程是

5、如图，一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是

6、已知，

，求x-y的值。

7、

的算术平方根是

8、城镇人口总数665575306人，用科学计数法表示约为（保留三个有效数字）

答案

1．B

2．13或√119

3．DE=15/8

4.由勾股定理得：

x2=202+[（2+3）×3]2=252，

解得：

x=25m．即25m

5.解：

a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：

52+122

=13．

即a的取值范围是12≤a≤13．

6．x=1,y=1,x-y=0

7．3

8．6.66×108

第四章数量、位置的变化

1在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。

平面内点的与有序实数对是一一对应的。

2平面直角坐标系及有关概念

1.平面直角坐标系：

在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。

它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

2.象限：

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：

x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。

3.点的坐标的概念：

对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。

点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，当

时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

4.不同位置的点的坐标的特征

（1）各象限内点的坐标的特征：

点P（x,y）在第一象限

点P（x,y）在第二象限

点P（x,y）在第三象限

点P（x,y）在第四象限

（2）坐标轴上的点的特征：

点P（x,y）在x轴上

，x为任意实数

点P（x,y）在y轴上

，y为任意实数

点P（x,y）既在x轴上，又在y轴上

x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点

（3）两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征：

点P（x,y）在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上

x与y相等

点P（x,y）在第二、四象限夹角平分线上

x与y互为相反数

（4）和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

（5）关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征：

点P与点p’关于x轴对称

横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）

点P与点p’关于y轴对称

纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）

点P与点p’关于原点对称

横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）

（6）点到坐标轴及原点的距离：

点P（x,y）到坐标轴及原点的距离：

（1）点P（x,y）到x轴的距离等于

（2）点P（x,y）到y轴的距离等于

（3）点P（x,y）到原点的距离等于

3坐标变化与图形变化的规律：

坐标（x，y）的变化

图形的变化

x×a或y×a

被横向或纵向拉长（压缩）为原来的a倍

x×a，y×a

放大（缩小）为原来的a倍

x×（-1）或y×（-1）

关于y轴或x轴对称

x×（-1），y×（-1）

关于原点成中心对称

x+a或y+a

沿x轴或y轴平移a个单位

x+a，y+a

沿x轴平移a个单位，再沿y轴平移a个单位

数量、位置的变化习题

题型一、根据象限内点的符号特点确定点的坐标

1、若点P在第二象限内，且到x轴、y轴的距离分别为3和4，则点P的坐标为（）

A、（-4,3）B、（4，-3）C、（3，-4）D、（-3,4）

题型二、确定符号条件的点的坐标

2、在平面直角坐标系中，已知点A（-5,0），B（3,0），△ABC的面积为12，试确定C点的坐标。

题型三、对称后图形的坐标变化

1、如图在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在点A1处，OB=8，OC=4，则△BDO的面积为，点A1的坐标为

答案

1．A

2.解：

设△ABC的高为h，

∵点A（-5，0），B（3，0），△ABC的面积为12，

∴1/2×8h=12，解得h=3，

∴点C在平行于x轴且到x轴的距离为3的两条直线上．

3．解：

（1）∵BC∥AO，

∴∠BOA=∠OBC，

根据翻折不变性得，

∠A1OB=∠BOA，

∴∠OBC=∠A1OB，

∴DO=DB．

设DO=DB=xcm，

则CD=（8-x）cm，

又∵OC=4，

∴（8-x）2+42=x2，

解得x=5．

∴BD=5，

∴S△BDO=10；

（2）设A1（a，4+b），作A1E⊥x轴于E，交DB于F，

∵BC∥x轴，

∴A1E⊥BC，

∵S△OAB=16，S△BDO=10．

∴S△A1BD=6，

解得A1F=12/5，

∴A点的纵坐标为32/5，

∵BD=5，B（8，4）

∴D点坐标为（3，4），

∴过OD两点直线解析式为y=4/3x，

把A点的坐标（a，32/5）代入

解得a=24/5，

∴A点的坐标为（24/5，32/5）．

故答案为：

10，（24/5，32/5）．

第五章一次函数

1、一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-

，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

2、同一平面内，不重合的两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系

（1）两直线平行

且

（2）两直线重合

且

（3）两直线垂直

（4）两直线相交

题型一、一次函数的图像及概念题

1．无论实数m取什么值，直线y=x+

m与y=－x+5的交点都不能在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．当m_____________时，

是一次函数；

3．一次函数y=（k-1）x+|k|-1，是正比例函数，则k=

4．2y-3与3x+1成正比例，且x=2,y=12,则函数解析式为

5．当m_____________时，函数y=-（m-2）x

+（m-4）是一次函数.

6．函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）

ABCD

7．一次函数y=kx+b与y=kbx，它们在同一坐标系内的图象可能为（）

8．将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线；再将直线向左平移3个单位后，得到的直线是

9．如图，点P按A→B→C→M的顺序在边长为1的正方形边上运动，

M是CD边上的中点.设点P经过的路程x为自变量，△APM的面积

为y，则函数y的大致图像是（）

10．如图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，提供的信息，给出下列说法：

①汽车共行驶了120千米；②汽车在途中停留了0.5小时；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为

千米/时；④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少.其中正确的说法共有（　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

题型二、一次函数与一次方程、一次不等式

11．如图，是直线

的图像，点P（2，m）在该直线的上方，则m的取值范围是。

12．如图，函数

和

的图像相交于A（m，3），则不等式

的解集。

13．函数y1＝x+1与y2＝ax+b（a≠0）的图象如图所示，这两个函数图象的交点在y轴上，那么使y1，y2的值都大于零的x的取值范围是___________

答案

1．解：

因为直线y=-x+5的函数图象不经过第三象限，因此无论m为何值，两直线的交点都不在第三象限；

故选C

2．m=-1/2

3．k=-1

4．y=9/2x+3

5．m=-2

6．C

解：

分四种情况：

①当a＞0，b＞0时，y=ax+b的图象经过第一、二、三象限，y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，无选项符合；

②当a＞0，b＜0时，y=ax+b的图象经过第一、三、四象限；y=bx+a的图象经过第一、二、四象限，C选项符合；

③当a＜0，b＞0时，y=ax+b的图象经过第一、二、四象限；y=bx+a的图象经过第一、三、四象限，无选项符合；

④当a＜0，b＜0时，y=ax+b的图象经过第二、三、四象限；y=bx+a的图象经过第二、三、四象限，无选项符合．

故选C．

7．A

解：

根据一次函数的图象分析可得：

A、由一次函数y=kx+b图象可知k＜0，b＞0；一次函数y=k的图象可知kb＜0，两函数解析式均成立；

B、由一次函数y=kx+b图象可知k＜0，b＞0；即kb＜0，与次函数y=k的图象可知kb＞0矛盾；

C、由一次函数y=kx+b图象可知k＞0，b＜0；即kb＜0，与次函数y=k的图象可知kb＞0矛盾；

D、由一次函数y=kx+b图象可知k＞0，b＞0；即kb＞0，与次函数y=k的图象可知kb＜0矛盾．

故选A．

8．y=-x；y=-x-3

9．A

解：

根据题意和图形可知：

点P按A⇒B⇒C⇒M的顺序在边长为1的正方形边上运动，△APM的面积分为3段；当点在AB上移动时，高不变底边逐渐变大，故面积逐渐变大；当点在BC上移动时，底边不变，高逐渐变小故面积变小；当点在CD上时，高不变，底边变小故面积越来越小直到0为止．

故选A．

10．A

解：

由图象可知，汽车走到距离出发点120千米的地方后又返回出发点，所以汽车共行驶了240千米，①错；

从1.5时开始到2时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了2-1.5=0.5小时，②对；

汽车用4.5小时走了240千米，平均速度为：

240÷4.5=160/3千米/时，③错．

汽车自出发后3小时至4.5小时，图象是直线形式，说明是在匀速前进，④错．

故选A．

11．m>-1

12．x<3/2

13．-1