《32 一元二次不等式》教学案.docx

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《32一元二次不等式》教学案

3.2一元二次不等式

第1课时《一元二次不等式的解法》教学案

教学教法分析

（教师用书独具）

●三维目标

1.知识与技能

（1）通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；

（2）掌握利用因式分解和讨论来求解一元二次不等式的方法及这种方法的推广运用；

（3）会解含参数的一元二次不等式和可化为一元二次不等式的不等式；

（4）培养数形结合、分类讨论、等价转化的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化力，“由具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力．

2.过程与方法

经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法．

3．情感、态度与价值观

（1）激发学生学习数学的热情，培养勇于探索的精神，培养学生的合作意识和创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想；通过等与不等的对立统一关系的认识，对学生进行辨证唯物主义教育；

（2）创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用.

●重点、难点

重点：

从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，学会解一元二次不等式，突出体现数形结合的思想．

难点：

含参数的一元二次不等式解法．

对于本节内容而言，学生学习不会感到太大的困难，但要理解掌握本节内容所涉及的数学知识和方法，则要经历观察、思考、归纳、比较、探究的过程．含参数的一元二次不等式的解法是学生学习本节课的难点，为突破此难点学习时应采取由易到难，由浅入深的方法，先从简单的讨论开始，再进行复杂的讨论．

教学方案设计

（教师用书独具）

●教学建议

一元二次不等式解集的求法对学生而言并不会感到困难，但理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系，则需要经历观察、思考、探究的过程，教学中要遵循人们认识事物的一般规律——从特殊到一般，从具体的二次函数与一元二次方程的关系出发，利用二次函数图象的直观性，借助方程的根是二次函数的两个零点，引导学生观察二次函数图象上任意一点P（x，y）在图象上移动，随着点P的横坐标x变化，点P的纵坐标y的变化情况，在获得感性认识的前提下，归纳出一般的一元二次不等式解集的求法．

本节课需要给学生的思维活动留足够的时间和空间，帮助学生了解知识形成的过程，加深对知识的理解，领悟隐藏在知识发生过程中的数学思想方法．

●教学流程

课标解读

1.能从实际情境中抽象出一元二次不等式．

2.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．（难点）

3.掌握一元二次不等式的解法．重点）

知识1

一元二次不等式

【问题导思】　

观察下列不等式：

（1）x2＞0；

（2）－x2＋3x≤0；（3）x2－3x＋2＞0.

上述不等式各有几个未知数，并且未知数的最高次数是多少？

【提示】　各有一个未知数，未知数的最高次数为2.

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式．

知识2

一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系

【问题导思】　

1．二次函数y＝x2－2x的图象与二次方程x2－2x＝0的根有何内在联系？

【提示】　零点的横坐标是方程的根．

2．当x满足什么条件时，函数y＝x2－2x的图象在x轴上方？

【提示】　x＞2或x＜0.

3．能否根据问题2得出不等式x2－2x＞0的解集？

【提示】　能，解集为{x|x＞2或x＜0}．

4．不等式x2－2x＜0的解集呢？

【提示】　{x|0＜x＜2}．

Δ＝b2－4ac

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

y＝ax2＋bx＋c

（a＞0）的图象

ax2＋bx＋c＝0

（a＞0）的根

有两个不相等的实数根x1，x2且x1＜x2

有两个相等的

实数根x1，x2

没有实数根

ax2＋bx＋c＞0

（a＞0）的解集

{x|x＞x2或x＜x1}

{x|x≠－}

R

ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集

{x|x1＜x＜x2}

∅

∅

课堂互动探究

类型1

一元二次不等式的基本解法

例1　解下列不等式：

（1）2x2－3x－2＞0；

（2）x2－3x＋5＞0；

（3）－6x2－x＋2≥0；（4）－4x2≥1－4x；

（5）2x2－4x＋7＜0；（6）x2－6x＋9＞0.

【思路探究】　化一边为0→二次项系数化为正→求对应方程的根→二次函数图象与解集

【自主解答】　

（1）∵Δ＝（－3）2－4×2×（－2）＝25＞0，

∴方程2x2－3x－2＝0的两根是－，2.

∴原不等式的解集为.

（2）∵Δ＝（－3）2－4×5＝9－20＜0，

∴不等式x2－3x＋5＞0的解集为R.

（3）原不等式可化为6x2＋x－2≤0，

∵Δ＝12－4×6×（－2）＞0，

∴方程6x2＋x－2＝0的两根是－，.

∴原不等式的解集为.

（4）原不等式可化为4x2－4x＋1≤0，即（2x－1）2≤0.

∴原不等式的解集是.

（5）∵Δ＝（－4）2－4×2×7＜0，

∴不等式2x2－4x＋7＜0的解集为∅.

（6）∵原不等式可化为（x－3）2＞0.

∴原不等式的解集是{x|x∈R，且x≠3}．

规律方法

1．本题给出了解一元二次不等式的各种常见类型，要认真体会．

2．一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式，尤其要注意“>”与“≥”，“<”与“≤”符号的区分．

变式训练

解下列不等式．

（1）x2＞14＋5x；

（2）－x2＋7x＞6；

（3）x2＋x＞－.

【解】　

（1）先将不等式化为x2－5x－14＞0，

∵方程x2－5x－14＝0⇔（x－7）（x＋2）＝0，其根为x1＝－2，x2＝7.

结合二次函数y＝x2－5x－14的图象易得不等式的解集为{x|x＜－2或x＞7}．

（2）先将不等式化为x2－7x＋6＜0，即（x－1）（x－6）＜0，∴1＜x＜6，

故不等式的解集为{x|1＜x＜6}．

（3）原不等式化为x2＋x＋＞0，

∵方程x2＋x＋＝0的判别式Δ＝0，∴方程有两相等实根，为x1＝x2＝－，

∴原不等式的解集为.

类型2

含参数的一元二次不等式的解法

例2　解关于x的不等式：

ax2－（a＋1）x＋1＜0（a∈R）．

【思路探究】　当a＝0时，不等式的解集→

a＜0时，不等式的解集→a＞0时不等式的解集

【自主解答】　若a＝0，原不等式可化为－x＋1＜0，

即x＞1.

若a＜0，原不等式可化为（x－）（x－1）＞0，

即x＜或x＞1.

若a＞0，原不等式可化为（x－）（x－1）＜0.（*）

其解的情况应由与1的大小关系决定，故

（1）当a＝1时，由（*）式可得x∈∅；

（2）当a＞1时，由（*）式可得＜x＜1；

（3）当0＜a＜1时，由（*）式可得1＜x＜.

综上所述：

当a＜0时，解集为{x|x＜或x＞1}；

当a＝0时，解集为{x|x＞1}；

当0＜a＜1时，解集为{x|1＜x＜}；

当a＝1时，解集为∅；

当a＞1时，解集为{x|＜x＜1}．

规律方法

1．含参数的一元二次不等式中，若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．

2．其次对方程的根比较大小，由根的大小确定参数的范围，然后根据范围对参数分类讨论．

互动探究

若把题目中的条件“a∈R”改为“a＜1”解集又怎样？

【解】　

（1）若a＝0，则原不等式可化为－x＋1<0，

即x>1；

（2）若a<0，则原不等式化为（x－）（x－1）>0，

即x<或x>1；

（3）若0

综上所述：

当a<0时，解集为{x|x<或x>1}；

当a＝0时，解集为{x|x>1}；

当0

类型3

可化为一元二次不等式的不等式

例3　解下列不等式：

（1）2x2－3x＋1≤；

（2）≤2.

【思路探究】　

（1）化为同底→利用y＝2x单调递增→转化为一元二次不等式

（2）移项→通分→等价转化为一元二次不等式

【自主解答】　

（1）原不等式可转化为2x2－3x＋1≤2－1，

∴x2－3x＋1≤－1，即x2－3x＋2≤0，

∴不等式的解集为{x|1≤x≤2}．

（2）移项，得－2≤0，

左边通分并化简，得≤0，即≥0，

它的同解不等式为∴x<2或x≥5.

∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．

规律方法

1．通过本例可以看出：

指对数不等式和分式不等式都可以转化为一元二次不等式进行求解．

2．分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组．

变式训练

解下列不等式：

（1）log2（x2－5x－4）＞1；

（2）＜0.

【解】　

（1）原不等可转化为：

log2（x2－5x－4）＞log22.

∴x2－5x－4＞2，x2－5x－6＞0，

∴（x＋1）（x－6）＞0，

∴原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞6}．

（2）原不等式可化为：

＞0.

它的同解不等式为

∴x＜－2或x＞1，

∴原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}.

易错易误辨析

忽略二次项系数的符号导致错误

典例　解不等式－6x2－x＋2≥0.

【错解】　∵方程－6x2－x＋2＝0的两个根为x1＝－，x2＝，

∴不等式的解集为.

【错因分析】　没有注意到二次项系数小于0这个情况，此时应先把二次项系数化为正数，再进行求解．

【防范措施】　解一元二次不等式时应先看二次项系数，当二次项系数为正时，可以按照“当不等式＞0，解在两根之外，当不等式＜0，解在两根之间”这一规律写出解集．当二次项系数为负时要先化成正数，再进行求解．

【正解】　不等式可转化为6x2＋x－2≤0.

∵方程6x2＋x－2＝0的两个根为x1＝－，x2＝，

∴不等式的解集为.

1．基础知识：

（1）一元二次不等式；

（2）一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系．

2．基本技能：

（1）一元二次不等式的基本解法；

（2）含参数的一元二次不等式的解法；

（3）可化为一元二次不等式的不等式的解法．

3．思想方法：

（1）分类讨论思想；

（2）转化与化归思想；

（3）函数与方程思想.

当堂双基达标

1．下列不等式：

①x2＞0；②－x2－x≤5；③ax2＞2；④x3＋5x－6＞0；⑤mx2－5y＜0；⑥ax2＋bx＋c＞0.其中是一元二次不等式的有________．（填序号）

【解析】　由一元二次不等式的定义判断：

③、⑥中最高次项是二次项但其系数为参数a，当a＝0时就不是一元二次不等式；④的最高次项为三次项不符合；⑤中含有x，y两个未知数也不符合．故只有①②是一元二次不等式．

【答案】　①②

2．不等式2x2－x－1＞0的解集是________．

【解析】　不等式对应方程2x2－x－1＝0可化为

（x－1）（2x＋1）＝0，故两根为x1＝－，x2＝1，

∴原不等式解集为{x|x＜－或x＞1}．

【答案】　{x|x＜－或x＞1}

3．不等式（x＋1）（2－x）≤0的解集是________．

【解析】　不等式左边是两个一次式联乘积，而第二个一次式中x项系数为负，所以展开后二次项系数为负，故应先化为（x＋1）（x－2）≥0再求解集．

【答案】　（－∞，－1]∪[2，＋∞）

4．（原创题）若0＜a＜1，求不等式x2－（a＋）x＋1≥0的解集．

【解】　原不等式可化为（x－a）（x－）≥0，

∴对应方程（x－a）（x－）＝0两根分别为：

x1＝a，x2＝.

又∵0＜a＜1，∴＞a，

∴原不等式解集为（－∞，a]