全距四分位距百分位距.docx

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全距四分位距百分位距

第一节　全距、四分位距、百分位距

一、全距（Range）

1、概念

全距是一组数据中最大值与最小值之差，故又称两极差，简称极差。

用符号R表示。

它是表示一组数据离散程度的最简单、最易理解的一种差异量数。

2、计算

全距计算比较简单。

对于原始数据求全距的方法是：

找出最大值、最小值，然后用公式：

R＝最大值－最小值　

对于频数分布表求全距的方法：

最大一组与最小一组组中值之差；

或者是最大一组上限与最小一组下限之差。

注意：

如果数据是连续型，必须用精确上下限。

极差（概念要点及计算公式）

1. 一组数据的最大值与最小值之差

2. 离散程度的最简单测度值

3. 易受极端值影响

4. 未考虑数据的分布

计算公式为

未分组数据   R=max（Xi）-min（Xi）

组距分组数据 R= 最高组上限-最低组下限

全距

3应用条件及优缺点

全距概念清楚,意义明确,计算简单,是其明显的优点.

但因它仅由最大值与最小值求得,易受两极端数值的影响.如果两极端有偶然性或属异常值时,全距不稳定、不可靠。

它不考虑中间数值的差异，即其它数据未起作用，反应不灵敏。

它明显地受取样变动的影响。

由于上述原因，全距只是一种低效的差异量数，只能作为差异量的粗略指标。

它的用处一般只用于研究的预备阶段，用它检查数据的大概散布范围，以便确定统计分组。

即在编制频数分布表时决定全距范围之用。

二、四分位距（四分差）

1、四分位距的概念

为了避免全距受两极端数值影响的缺点，则用按一定顺序排列的一组数据中间部位50％个频数距离的一半作为差异量指标，即四分位距，又称四分差，用Q表示。

若将从小到大排列的一组数据分成频数相等的四段，第一与第二段的分界点称第一个四分位数（Q1）。

第三与第四段的分界点称第三个四分位数（Q3）。

则四分位距就是第三个四分位数（第75％百分位数）与第一个四分位数（第25％百分位数）差的一半。

用公式表示为：

Q＝（Q3－Q1）／2

四分位差（概念要点）

1. 离散程度的测度值之一

2. 也称为内距或四分间距

3. 第3四分位数与第1四分位数之差 QD=Q3–Q1

4. 反映了中间50%数据的离散程度

5．不受极端值的影响

6．用于衡量中位数的代表性

7.主要用于定序数据，也可用于数值型数据，但不能用于定类数据

2、计算方法

（1）原始数据计算法

先将原始数据从小到大排列好；

然后根据求中位数的方法求出第一个四分位数和第三个四分位数；

利用公式求四分位距。

　Q＝（Q3－Q1）／2

（2）频数分布表计算法

先求出第一个四分位数及第三个四分位数；

然后将它们代入公式计算四分位距，即可。

Q＝（Q3－Q1）／2

2、计算方法

Lb  该分四分点所在组的精确下限

fQ1与fQ3　该四分点所在组的次数

N 　数据个数

Fb  该分数所在组以下的累加次数

i   组距

数值型分组数据的四分位数（计算示例）

例

例

四分位差计算案例

2、计算方法

注意:

也有人认为:

四分位距就是75%百分位数与25%百分位数间的距离.它代表分布中间50%的距离.

四分位距（IQR）=Q3-Q1 

semi-interquartilerange：

四分位距的一半（interquartilerange）.

SIQR=（Q3-Q1）/2

3、四分位距的应用及优缺点

优点：

四位位距简明易懂，计算简便，较少受两极端数值的影响，比全距可靠得多。

缺点：

但它忽略了左右共50％数据的差异，又不适合代数运算，因而限制了它的应用。

使用：

当一组数据用中位数表示集中量时，就要用四分位距表示差异量。

因为它们同属于百分体系。

四分位距与中位数一样，适用于有特大或特小两极端数值，有个别数值不确切、不清楚，以及用等级的数据等情况。

三、百分位距

1、概念：

百分位点   位置

百分位数　　数值

百分位差　　段距离

百分位距是指两个百分位数之差。

常用的百分位距有两种：

一种是：

第90与第10百分位数之差，用P90－P10表示。

即按一定顺序排列的一组数据中间部位80％个频数的距离。

一种是：

第93与第7百分位数之差，用P93－P7表示。

是按一定顺序排列的一组数据中间部位86％个频数的距离。

2、计算方法：

先计算百分位数：

百分位数的计算方法我们第二章讲中位数时，涉及到了百分位数的计算方法。

然后计算百分位距：

百分位距的计算方法很简单，即P90－P10或P93－P7计算。

1）百分位数的计算

其中：

Pp表示百分位数

p表示与百分位数相对应的比数

N 表示总频数

Lp 表示百分位数所在组的下限

n 表示小于百分位数所在组下限的频数总和

fp 表示百分位数所在组的频数

i  表示组距

例

2）百分位差

P90－P10＝

P80－P20＝

Px－Py＝

3、适用条件

用几个百分位距能较好地反映一组数据的差异程度。

在计算频数分布峰态量时，要用到上述的百分位距。

四　百分等级（相对地位量数）

一）概念

在一个团体中，不管人数多少，如果我们要问：

某—个人在一百个人中胜过多少人；或者问假使把这一团体分为一百等，这一个人占第几等。

回答这样的问题，用一个人的原分数或等第都不行。

因为在一班学生中的成绩，单独一个原来的分数，最多只能表示分数的高低，不能表示他在全班中的地位。

例如某个学生名列第十五名，我们不能知道他的成绩究竟如何，要了解他的成绩在班上的地位，还必须知道他同班同学有多少人。

如果全班有60名学生，他名列第十五名，其成绩还是比较好的。

如果全班只有30名学生，第十五名就是中等成绩。

如果全班只有20名学生，第十五名就是较差的。

可见，普通等第是看不出优劣的。

平时所用的等第，也只能表示一个学生成绩的高低次序，而不能表示他在全班中的地位。

而百分等级则不同，它能表示一个分数在它所属团体中的地位。

如一个学生的分数之百分等级为70，就是表示这个学生的分数超过他所在团体的70％。

所以百分等级是一种相对地位量数，是教育、心理研究中较常用的一种量数。

在按分数高低大小顺序排列的情况下，它可以表示任何一个分数在该团体中酌相对地位。

什么是百分等级呢？

所谓百分等级就是把一班学生的得分依高低次序排列，然后算出一个人在一百人中超过多少人，或算出这个人以下占多少百分比，表示这种关系的量数，在统计学中，就称为百分等级。

换言之，百分等级是把全班人数按照一百来计算，从他所得的分数决定他在全班所占的地位。

分数的百分等级越大，代表等级越高。

百分等级越小，代表等级越低。

如某学生的分数之百分等级为90，表示比他差的有90％，如果百分等级为20，表示比他差的只有20％。

百分等级的符号为PR。

二）百分等级的计算

1．未分组数据计算百分等级的方法是：

将团体中各个体，按他们所得分数之高低排列成等第。

如第一名、第二、¡¦以R代表之，第一名，R＝1；第二名，R＝2；¡¦¡¦余类推。

以全体人数除100，即100／N，表示百分量表上每人应占的分数。

第一名占第一个100／N，第二个占第二个100／N，．．

故求第几名百分等级，即以100R／N代表。

无论是第几名百分等级，都应以每个分数的占位置的中点来代表它，所以把每段的距离减去半段，即减去50／N，而成（100R／N）－（50／N）＝（100R－50）／N

（100R－50）／N是每个分数在百分表上的位置，这个位置是按一般等第排列的，其成绩越高，代表等第的数字越小；其成绩越差，其代表的数字越大。

故须从100减去（100R－50）／N，成成为：

100－（100R－50）／N

未分组数据计算百分等级的公式是：

PR＝100－（100R－50）／N

其中：

   PR表示某个分数的百分等级

R表示某个分数所在团体中按大小排列的等第。

N个数。

例　10名学生的作文成绩依次排列为：

56、64、68、69、73、75、78、79、83、86分，试求得分为78分的百分等级。

作文成绩得78分的学生是第4名，故R＝4，总人数N＝10，代入公式得：

PR＝100－（100R－50）／N＝100－（100×4－50）／10＝65

即该生的百分等级为65，即在100名学生中，该生的作文成绩胜达65名学生。

例　试分别计算20名学生、80名学生数学成绩的第1名、第2名和第15名的百分等级。

20名学生时：

P1＝100－（100×1－50）／20＝98

P2＝100－（100×2－50）／20＝92

P15＝100－（100×15－50）／20＝25

80名学生时：

P1＝100－（100×1－50）／80＝99

P2＝100－（100×2－50）／80＝98

P15＝100－（100×15－50）／80＝82

根据以上计算，我们说在20名学生的数学成绩中，第一名的百分等级为98，第二名的百分等级为92，第十五名的百分等级为26。

而在80名学生的数学成绩中，第一名的百分等级为99，第二名的百分等级为98，第十五名的百分等级为82。

可见，团体的总人数不同，同一等第的百分等级并不一样。

2．分组资料（频数分布表）计算百分等级

PR　百分等级

N 　总频数

Fb  该分数所在组以下的次数和

f   该分数所在组的频数

X   给定的原始分数

Lb  该分数所在组的精确下限

i   组距

例　156名学生的语文考试成绩分布如表，求66分的百分等级。

解释：

在156名学生中有48.7％的学生的分数在66分以下。

例　表中原始分数为52的百分等级

百分等级也可以从累加百分曲线图上求得。

只要把上面确定百分位数的过程倒转过来即可。

如分布中，P10亦即第10百分位之值为19.33分，那么，我们就可以把19.33分或其成绩为19.33分的学生，说成是居于第10百分位的位置；P90亦即第90百分位之值为51.56分，我们就可以把51.56分说成是居于第90百分位的位置。

统计学中习惯上都把这个百分位置称为某某分数的百分等级，如说19.33的百分等级为10.00，51.56分或得51.56分的学生其百分等级为90.00，等等。

其它任何一个给定的分数也都可以转化为百分等级。

3．求一组的百分等级

一组的百分等级是以每组的组中值的百分等级来代表，其方法是；先分别求出每组精确上、下限的百分等级，然后将上、下限百分等级相加，以2除之，即为每组组中值的百分等级。

求每组精确上、下限的百分等级的方法是：

首先将次数分布表由下而上求出各组的累积次数；然后从最低组起计算每组精确上限的百分等级。

即以总次数（N）除100，再乘以累积次数。

用公式表示为：

PR＝100fcp/N

其中：

PR表示每组上限的百分等级

fcp表示每组的累加次数

N表示总数

例　求各组的百分等级

三）百分等级的应用

在教育和心理方面运用百分等级主要是运用“百分等级常模。

百分等级常模特别适用于教育成就测验，加语文成就测验、算术成就测验—…，在这类测验里，通常要测量非常多的学生，然后才可以把常模求出来。

根据常模就可知道得分多少，百分等级是多少；也可知道占某百分等级时，须得分多少。

这样一个换算表上所列数字便是百分等级常模。

假如我们知道某—学生的语文成就测验成绩为76分，算术成就测验成绩为94分，则我们无法知道他在团体中所占的地位，也就是说无法知道他的成绩比别人好或坏。

此时，我们可以查阅百分等级常模。

假定查得语文成就测验得分为76分时，PR相当于70，而算术成就测验得分为94分时、PR相当于68，则我们便知道该生的语文成就较70％学生为高，但算术成就只较68％的学生为高而已。