沪教版九年级数学上221比例线段共4课时优秀教学设计.docx
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沪教版九年级数学上221比例线段共4课时优秀教学设计
第22章 相似形
22.1 比例线段
第1课时 相似多边形
教学目标
【知识与技能】
知道相似图形的两个特征:
对应边成比例,对应角相等.掌握判断两个多边形是否相似的方法——“如果两个多边形满足对应角相等、对应边的比相等,那么这两个多边形相似”.
【过程与方法】
经历从生活中的事物中抽象出几何图形的过程,体会由特殊到一般的思想方法,感受图形世界的丰富多彩.
【情感、态度与价值观】
在探索中培养学生与他人交流、合作的意识和品质.
重点难点
【重点】
知道相似图形的对应角相等、对应边的比相等.
【难点】
能运用相似图形的性质解决问题.
教学过程
一、问题引入
活动1:
观察图片,体会开关相同的图形.（多媒体出示）
师:
同学们,请观察下列几幅图片,你能发现什么?
你能对观察到图片特点进行归纳吗?
生:
这些图形的开关相同,而大小不同.
二、新课教授
活动2:
思考:
如图是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像,它们的形状相同吗?
生:
形状不同.
师生活动.
教师出示图片,提出问题.
学生细心观察,认真思考,小组讨论后回答问题.
教师对学生的回答进行评价,总结:
哈哈镜里看到的不同镜像,它们的形状不同,它们的形状发生了改变.
形状相同而大小不同的两个平面图形,较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的,较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的.在这个过程中,两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”,因此,对于形状相同而大小不同的两个图形,我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系.
活动3:
探究.
如图
（1）的两个正方形,应有
∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;
=====.
如图
（2）的两个等边三角形,应有
∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1;
====.
（1）
（2）
一般地,两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数.
师生总结:
相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
（1）如果两个多边形的对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相似;
（2）相似多边形的对应边的比称为相似比;
（3）当相似比为1时,两个多边形全等.
三、例题讲解
【例1】 如图所示,四边形ABCD和四边形EFGH相似,求角α和β的大小以及EH的长度x.
师生活动.
教师出示例题,提出问题.
学生通过运用相似多边形的性质正确解答出角α和β的大小以及EH的长度x.
解:
四边形ABCD和四边形EFGH相似,它们的对应角相等.由此可得
∠α=∠C=83°,∠A=∠E=118°,
在四边形ABCD中,
∠β=360°-（78°+83°+118°）=81°.
四边形ABCD和四边形EFGH相似它们的对应边成比例.由此可得
=,即=.
解得:
x=28（cm）.
【例2】 已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,且A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1=7∶8∶11∶14.若四边形ABCD的周长为40,求四边形ABCD各边的长.
分析:
因为两个四边形相似,因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题.
解:
∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,
∴AB∶BC∶CD∶DA=A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1.
∵A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1=7∶8∶11∶14,
∴AB∶BC∶CD∶DA=7∶8∶11∶14.
设AB=7m,则BC=8m,CD=11m,DA=14m.
∵四边形ABCD的周长为40,
∴7m+8m+11m+14m=40,
∴m=1,
∴AB=7,则BC=8,CD=11,DA=14.
四、巩固练习
1.在比例尺为1∶10000000的地图上,量得甲、乙两地的距离是30cm,求两地的实际距离,
【答案】3000km
2.如图所示的两个直角三角形相似吗?
为什么?
【答案】相似,因为它们的对应角相等,对应边的比相等.
3.如图所示的两个五边形相似,求求知边a、b、c、d的长度.
【答案】a=3,b=,c=4,d=6.
五、课堂小结
本节课主要学习了以下内容:
1.相似多边形的定义:
如果两个多边形的对应角相等、对应边的比相等,那么这两个多边形相似.
2.相似多边形的性质:
相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
教学反思
本节课主要教学对相似图形的认识.在相似图形的探究过程中,让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题,让学生经历探究过程.以学生的自主探究为主线,让学生经历实验操作、探究发现、证明论证获得知识.教师只在关键处进行点拨,不足处进行补充.鼓励学生大胆猜测、大胆验证.让学生在研究过程中渗透教学思想,有意识地培养学生的解题能力.
第2课时 成比例线段
（1）
教学目标
【知识与技能】
从生活中形状相同的图形的实例中认识成比例的线段,理解成比例线段的概念.
【过程与方法】
在成比例线段的探究过程中,让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题.
【情感、态度与价值观】
在探究成比例线段的过程中,培养学生与他人交流、合作的意识.
重点难点
【重点】
认识成比例的线段.
【难点】
理解成比例线段的概念.
教学过程
一、复习回顾,引入新课
师:
同学们还记得我们上节课学习了什么知识吗?
生:
学习了相似多边形.
师:
是的,你能说说什么是相似多边形吗?
生:
一般地,两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.
师:
很好!
由于多边形的边是线段,所以在研究图形相似之前,这节课我们先要学习成比例线段的有关知识.
二、讲授新课
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n,那么这两条线段的比就是它们长度的比,即AB∶CD=m∶n,或写成=.其中,线段AB、CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k,那么=k,或AB=k·CD,两条线段的比实际上就是两个数的比.
活动:
如果把老师手中的教鞭与铅笔分别看成是两条线段AB和CD,那么这两条线段的长度比是多少?
师生活动.
教师出示图片,提出问题.
学生考虑如何求得这两条线段的比.
学生求出的值不唯一,只要方法恰当,教师都要给予肯定.
1.两条线段的比,就是两条线段长度的比.
2.成比例线段:
对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等,如=（即ad=bc）,我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.这时,线段a、b、c、d叫做组成比例的项,线段a、d叫做比例外项,线段b、c叫做比例内项.
注意:
（1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系,但在计算时要注意统一单位;
（2）线段的比是一个没有单位的正数;
（3）四条线段a、b、c、d成比例,记作=或a∶b=c∶d;
（4）若四条线段满足=,则有ad=bc;
（5）如果ad=bc（a、b、c、d都不等于0）,那么=.
三、例题讲解
【例1】 如图,下面右边的四个图形中,与左边的图形形状相同的是（ ）
解:
C
【例2】 一张桌面长a=1.25m,宽b=0.75m,那么长与宽的比是多少?
解:
=
小结:
上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位,求得的的值是相等的,所以说,两条线段的比与所采用的长度单位无关,但求此时两条线段的长度单位必须一致.
【例3】 已知:
一张地图的比例尺是1∶32000000,量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm,北京到上海的实际距离大约是多少km?
分析:
根据比例尺=,可求出北京到上海的实际距离.
解:
设北京到上海的实际距离大约是xcm.
则=,得x=112000000（cm）.
又112000000cm=1120km.
答:
北京到上海的实际距离大约是1120km.
【例4】 如图,一块矩形绸布的长AB=am,宽AD=1m,按照图中所示的方式将它裁成相同的一面矩形彩旗,且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,即=,那么a的值应当是多少?
解:
根据题意可知,AB=am,AE=am,AD=1m.
由=,得
=,
即a2=1,
∴a2=3.
开平方,得a=（a=-舍去）.
四、课堂小结
本节课主要学习了:
成比例线段:
对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等,如=（即ad=bc）,我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.这时,线段a、b、c、d叫做组成比例的项,线段a、d叫做比例外项,线段b、c叫做比例内项.
教学反思
本节课是在上节课的基础上认识成比例线段,理解成比例线段的概念.在相似图形的探究过程中,让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题,让学生经历探究过程.以学生的自主探究为主线,让学生经历实验操作、探究发现、证明论证获得知识.教师只在关键处进行点拨,不足处进行补充.鼓励学生大胆猜测、大胆验证,让学生在研究过程中渗透数学思想,有意识地培养学生的解题能力.
第3课时 成比例线段
（2）
教学目标
【知识与技能】
1.进一步理解并掌握比例、比例线段的概念.
2.会辨认比例式中的“项”.
3.会求常见图形中的线段比.
4.会进行黄金分割的有关计算.
【过程与方法】
1.经历探究比例、比例线段的性质的过程,体会类比的思想,促进探究、质疑、归纳能力的发展.
2.经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程.
3.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式,增进数学学习的情感.
【情感、态度与价值观】
在交流协作中,体会生生交往与师生交往的乐趣;在解决问题的过程中接受挑战、战胜困难,增强学习数学的兴趣.
重点难点
【重点】
比例及比例线段的性质;黄金分割点的有关计算.
【难点】
比例及比例线段的应用;黄金分割点的有关计算.
教学过程
一、复习回顾,引入新课
师:
在上一节,我们学习了成比例线段,同学们现在能画出两条线段、量出长度并求出它们的比值吗?
学生作图后测量并求出比值.
师:
用同一个单位去度量两条线段a、b,得到它们的长度,我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比,记作或a∶b.在四条线段a、b、c、d中,如果其中两条线段a、b的比,等于另外两条线段c、d的比,即=（或a∶b=c∶d）,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.
二、探究新知
师:
两条线段的比是它们长度的比,也就是两个数的比,因此也应具有关于两个数成比例的性质.如果=,你能把这个式子改写成乘积的形式吗?
生:
两边同乘以bd,得到ad=bc.
师:
反之,如果ad=bc（b、d≠0）我们是否能得到=呢?
生:
能,两边同除以bd.
师:
比例的这个性质叫做比例的基本性质.
教师多媒体课件出示:
师:
现在请同学们看这三个图形.图形
（1）和图形
（2）对应边是成比例的,图形（3）的长等于图形
（1）的长加上图形
（2）的长,图形（3）的宽等于图形
（1）的宽加上图形
（2）的宽,你能判断图形
（1）和图形（3）的边是否成比例吗?
学生思考,讨论.
师:
你怎么判断这两个长方形的边是否是成比例的呢?
生:
计算3.6∶2和2.7∶1.5是否相等.
师:
现在就请同学们算一下是否相等.
学生计算后回答:
相等.
师:
所以我们有=.对于式子=,能否得到=呢?
学生思考,讨论.
生:
在=的两边都加上1,然后通分就得到了=.
师:
对!
所以我们得到了这个结论:
如果=,那么=（b、d≠0）.这叫做比例的合比性质.如果=,b1+b2≠0,你能否证明=呢?
教师提示:
我们可以倒着推:
要证=,可先证（a1+a2）×b1=（b1+b2）×a1,即a1b1+a2b1=b1a1+b2a1,两边都减去a1b1,两边都减去a1b1,得a2b1=b2a1,你能证明a2b1=b2a1吗?
学生思考后回答:
能.
师:
怎么证明?
生:
因为=,两边同乘以b1b2,就证出来了.
师:
现在你知道怎么证明=了吗?
生:
知道了.
师:
请同学们想想有没有其他的证法?
学生思考.
教师提示:
的值与的值相等,我们要证的是的值也与的值相等,如果我现在设==k,你能否证出=k呢?
学生思考,讨论.
师:
a1、a2能否用含b1、b2的代数式表示?
生:
能.
师:
怎样表示?
生:
a1=b1k,a2=b2k.
师:
你知道怎样证明了吗?
生:
知道,将a1=b1k,a2=b2k代入中.
师:
我们有了两种证法,哪两位同学愿意上来写出证明过程?
学生举手,教师从举手的同学中找两生板演.
生1板书:
证明:
∵=（已知）,
两边同乘以得
=.
∴=（合比性质）.
两边同乘以得
=.
两边取倒数,得=,
即=.
生2板书:
设==k,得
a1=b1k,a2=b2k,代入得
===k=.
师:
你能总结一下以上两种方法吗?
生:
第一种方法是先倒推,再证明;第二种方法是设定值.
师:
同学们总结得很好!
再遇到证明两式相等的问题时要记起这两种方法,其中设定值的方法一般适用于设比值为定值.如果我把这个式子推广,===…=成立,且b1+b2+b3+…+bn≠0,你能否推出所有分子之和与所有分母之和的比是等于呢?
生:
能.
教师找一生板演,其余同学在下面做,教师巡视指导.
师:
所以我们得到比例的又一性质:
如果==…=,且b1+b2+b3+…+bn≠0,那么=.
三、例题讲解
【例1】 已知:
如图,在△ABC中,=.
师:
请同学们看这道题.
学生读题思考.
师:
哪位同学能证明这道题,跟大家说说你的思路.
学生举手.
教师找一生回答第
（1）题.
生:
因为=,由合比性质得=,即=.
教师找另一生回答第
（2）题.
师:
你是怎样考虑的呢?
生:
AB可以写成AD+DB,AC可以写成AE+EC.因为合比性质是分子加分母,要证明=,可先证=,然后两边取倒数,就得到要证的结果了.
师:
很好!
现在请你把证明步骤写在黑板上,其余同学在下面做.
学生证明后集体订正.
教师多媒体课件出示:
【例2】 在地图或工程图纸上,都标有比例尺,比例尺就是图上长度与实际长度的比.现在一张比例尺为1∶5000的图纸上,量得一个△ABC的三边:
AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm.问这个图纸所反映的实际△A'B'C'的周长是多少?
解:
根据题意,得===.
即=.
又∵AB+BC+AC=5+4+3=12（cm）,
∴A'B'+B'C'+A'C'
=12×5000=60000（cm）
=600（m）.
答:
实际△A'B'C'的周长是600m.
【例3】 如图所示,已知线段AB长度为a,点P是AB上一点,且使AB∶AP=AP∶PB.求线段AP的长和的值.
解:
设AP=x,那么PB=a-x.根据题意,得a∶x=x∶（a-x）,
即x2+ax-a2=0.
解方程,得x=a.
因为线段长度不能是负值,所以取x=a.
即AP=a.
于是==≈0.618.
把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值叫做黄金数.
四、巩固练习
1.若6x=5y,则x∶y= .
【答案】
2.已知ab=cd,则= .
【答案】
3.若==,则= .
【答案】
4.已知x===,则x的值是 .
解析:
∵x===,
∴a2+ab=bc+c2. ①
b2+bc=a2+ac. ②
ac+c2=ab+b2 ③
将③式减去②式得
ab-bc=c2-a2. ④
将②式减去①式得
ac-ab=b2-c2. ⑤
将③式减去①式得
b2-a2=ac-bc. ⑥
由④⑤⑥式都可得出
a+b+c=0.
∴a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b.
∴x====-1.
【答案】-1
5.点P在线段AB上,AP2=AB·PB.若PB=4,则AP的长为 .
解析:
设AP=x,
∴x2=（x+4）×4,
x2-4x-16=0.
∴x=2±2.
又∵x>0,
∴AP长取2+2.
【答案】2+2
6.已知点M将线段AB黄金分割（AM>BM）,则下列各式中不正确的是（ ）
A.AM∶BM=AB∶AM B.AM=AB
C.BM=ABD.AM≈0.618AB
【答案】C
7.已知x∶y=3∶5,y∶z=4∶7,求x∶y∶z.
【答案】∵x∶y=3∶5,∴x=y.
又∵y∶z=4∶7,∴z=y.
∴x∶y∶z=y∶y∶y=12∶20∶35.
五、课堂小结
师:
本节课你学习了什么内容?
有什么收获?
学生回答,教师点评.
教学反思
首先,从回顾上节已学的比例知识入手,运用类比的方法得到实数范围的比和比例,再类比得到比例线段的概念,这样会比较直观、易学.其次,尽可能体现数学与生活的紧密联系,如课题的引出及知识的应用,尽可能让学生感悟到数学源于实际,并且数学知识和方法能很好地解决实际生活中的问题,激起学生学习数学的欲望.总的来说,本节课是在轻松愉快的氛围中完成的,学生的热情也比较高涨,由于所涉及的问题是每个学生触手可及的,因而学生在活跃的课堂气氛中也各有所获.
第4课时 平行线分线段成比例
教学目标
【知识与技能】
1.使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论,并会灵活应用.
2.使学生掌握三角形一边的平行线的判定定理.
【过程与方法】
通过学习定理再次锻炼类比的数学思想,能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形,通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.
【情感、态度与价值观】
通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般,并能欣赏数学表达式的对称美,提高学习数学的兴趣.
重点难点
【重点】
平行线分线段成比例定理和推论及其应用.
【难点】
平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.
教学过程
一、复习引入
教师多媒体课件出示:
1.求下列各式中x∶y的值.
（1）3x=7y;
（2）y=x;（3）y∶x=4∶7.
2.已知x∶2=y∶3=z∶6,求（x+y-z）∶（4x+6y+z）.
教师找两位学生分别板演1、2题,其余同学在下面做,教师巡视,然后集体订正.
二、共同探究,获取新知
师:
平行于三角形一边的直线,在另外两边上截得的线段是怎样的呢?
生:
……
教师多媒体课件出示:
已知:
如图,过△ABC的AB边上任意一点D作直线DE平行于BC,交AC于点E,求证:
=.
师:
你能证明这个问题吗?
学生思考、讨论.
教师边操作边讲解:
我们可以作辅助线,连接BE、CD,再过点E作AB上的垂线段h.
师:
现在你能猜出可以转化为哪两个三角形的面积之比吗?
学生思考后回答:
能,可以转化为△ADE和△BDE的面积之比.
师:
你是怎样得到的呢?
生:
△ADE的面积等于AD与h乘积的一半,△BDE的面积等于BD与h乘积一半,所以==.
师:
你回答得太好了!
我们要证的是=,我们把AD与DB的比转化为了两个三角形的面积之比.再证出什么就能得到结论了?
学生思考后回答:
再证出=.
师:
对,你们太聪明了!
你怎么证明这个相等关系呢?
生:
过点D向AC边作垂线,与前面同理可证出这个相等关系.
师:
很好!
这样我们就证出=.
由这个比例式,你能推出哪些线段也是成比例的?
还有哪些比例式也是成立的呢?
学生思考,教师提示.
生甲:
=.
生乙:
=.
师:
对!
上面的图形,也可看作是直线BC平行于△ADE的一边与另外两边的延长线相交而得到的.于是我们能得到一个定理.
教师提示大家读出书上的推论,并板书:
定理 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例.
师:
这个定理可推广成一般的形式.
教师多媒体课件出示:
已知:
如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC、DF被这三条直线分别截于点A、B、C和D、E、F,求证:
=.
师:
直线AC、DF被这三条直线所截,不止一种结果.因为不同情况下的证明方法不同,所以我们要对截得的结果分类,被截的情形有哪几种呢?
学生思考、讨论.
生甲:
AC与DF平行.
生乙:
AC与DF不平行,但它们在l1与l2间不相交.
生丙:
AC与DF相交在l1或l3上.
生丁:
AC与DF相交在两条平行线间.
师:
下面我们分别就这几种情况进行讨论.先看平行时,怎么证明这个结论呢?
生:
根据夹在两条平行线间的平行线段相等得到AB=DE,BC=EF,所以AB∶BC=DE∶EF.
师:
很好!
如果AC与DF不平行且在l1与l2间不相交时,又该如何证明呢?
学生思考,讨论后教师找一生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.
证明:
过点A作DF的平行线,分别交l2、l3于点E'、F'.
这时有=,而四边形AE'ED和四边形E'F'FE都是平行四边形,所以AE'=DE,E'F'=EF,因而可得=.
其余两种情况类似可证.
师:
于是我们得到如下定理:
（教师板书）
平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
三、继续探究,层层推进
师:
在这个定理中,当=1时,有=1,即当AB=BC时,有DE=EF,由此你能得到什么结论?
学生口述,教师板书:
平行线等分线段定理 两条直线被三条平行线所截,如果在其中一条上截得的线段相等,那么在另一条上截得的线段也相等.
四、例题讲解
【例】 如图,在△ABC中,E、F分别是AB和AC上的点,且EF∥BC.
（1）如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少?
（2）如果AB=10,AE=6,AF=5,那么FC的长是多少?
解:
（1）∵EF∥BC,
∴=,
∵AE=7,EB=5,FC=4,
∴AF===.
（2）∵EF∥BC,
∴=.
∵AB=10,AE=6,AF=5,
∴AC===,
∴FC=AC-AF=-5=.
五、巩固练习
师:
同学们,我们今天学习了不少知识,你们都掌握了吗?
现在我来出几道题目帮助大家消化一下.
1.如图,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是（ ）
A.=
B.=
C.=
D.=
【答案】A
2.如图,DE∥BC,AB∶DB=3∶1,则AE∶AC= .
【答案】2∶3
第2题图
第3题图
3.如图,DE∥BC,若AB=8,AE∶EC=2∶3,则AD= .
【答案】
4.如图,DE是△ABC的中位线,F是DE的中点,BF的延长线交AC于点H,则AH∶HE= .
【答案】2∶1
第4题图
第5题图
5.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=4,DB=8,AE=3.
（1）求的值;
（2）求AC的长.
【答案】
（1）===;
（2）∵DE∥BC,∴==.
又∵AE=3,∴AC=9.
六、课堂小结
师:
今天你学习了哪些定理?
学生口述定理.
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