第二节 参数方程.docx
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第二节参数方程
第二节 参数方程
A组 基础题组
1.已知曲线C的参数方程为
（θ为参数）,在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换
得到曲线C'.
（1）求曲线C'的普通方程;
（2）已知点A在曲线C'上,点D（1,3）,当点A在曲线C'上运动时,求AD的中点P的轨迹方程.
2.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是
（t为参数）.
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
（2）若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=
求直线l的倾斜角α的值.
3.（2017吉林长春质量检测（三））已知在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ2（3+sin2θ）=12,曲线C2的参数方程为
（t为参数）,α∈
.
（1）求曲线C1的直角坐标方程,并判断该曲线是什么曲线;
（2）设曲线C2与曲线C1的交点为A、B,P（1,0）,当|PA|+|PB|=
时,求cosα的值.
4.（2017湖南湘中名校联考）已知直线l:
（t为参数）,曲线C1:
（θ为参数）.
（1）设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;
（2）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的
纵坐标压缩为原来的
得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.
B组 提升题组
1.在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为
（t为参数）,在以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=
.
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
（2）若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB的面积.
2.（2017陕西西安八校联考）在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ,θ∈[0,2π）.
（1）求曲线C的直角坐标方程;
（2）在曲线C上求一点D,使它到直线l:
（t为参数）的距离最短,并求出点D的直角坐标.
3.（2017四川成都第一次诊断性检测）在平面直角坐标系xOy中,倾斜角为α
的直线l的参数方程为
（t为参数）.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρcos2θ-4sinθ=0.
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
（2）已知点P（1,0）.若点M的极坐标为
直线l经过点M且与曲线C相交于A,B两点,设线段AB的中点为Q,求|PQ|的值.
4.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=
（ρ∈R）,曲线C的参数方程为
（1）写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程;
（2）过点M且平行于直线l的直线与曲线C交于A,B两点,若|MA|·|MB|=
求点M的轨迹.
答案精解精析
A组 基础题组
1.
解析
（1）将
代入
得曲线C'的参数方程,即
∴曲线C'的普通方程为
+y2=1.
（2）设点P（x,y）,A（x0,y0）,
∵D（1,3）,且AD的中点为P,
∴
∴
又点A在曲线C'上,
∴代入C'的普通方程
+y2=1,
得（2x-1）2+4（2y-3）2=4,
∴动点P的轨迹方程为（2x-1）2+4（2y-3）2=4.
2.
解析
（1）由ρ=4cosθ,得（x-2）2+y2=4.
（2）将
代入圆的方程得（tcosα-1）2+（tsinα）2=4,
化简得t2-2tcosα-3=0,
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则
∴|AB|=|t1-t2|=
=
=
∴4cos2α=2,cosα=±
α=
或
.
3.
解析
（1）由ρ2（3+sin2θ）=12及x=ρcosθ,y=ρsinθ可得
+
=1,该曲线为椭圆.
（2）将
（t为参数）代入
+
=1得t2（4-cos2α）+6tcosα-9=0,设A、B对应的参数分别为t1、t2,则t1+t2=
t1t2=
所以|PA|+|PB|=|t1-t2|=
=
=
从而cos2α=
由于α∈
所以cosα=
.
4.
解析
（1）l的普通方程为y=
（x-1）,C1的普通方程为x2+y2=1.
联立得方程组
解得l与C1的交点为A（1,0）,B
则|AB|=1.
（2）C2的参数方程为
（θ为参数）,故点P的坐标是
从而点P到直线l的距离d=
=
当sin
=-1时,d取得最小值,且最小值为
（
-1）.
B组 提升题组
1.
解析
（1）由曲线C的极坐标方程ρ=
得ρ2sin2θ=2ρcosθ,
所以曲线C的直角坐标方程是y2=2x.
由直线l的参数方程
得其普通方程为x-y-4=0.
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=2x,得t2-8t+7=0,
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=8,t1t2=7,
所以|AB|=
|t1-t2|=
×
=
×
=6
因为原点到直线x-y-4=0的距离d=
=2
所以△AOB的面积是
|AB|·d=
×6
×2
=12.
2.
解析
（1）由ρ=2sinθ,θ∈[0,2π）,可得ρ2=2ρsinθ.
因为ρ2=x2+y2,ρsinθ=y,
所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0或x2+（y-1）2=1.
（2）因为直线l的参数方程为
（t为参数）,
消去t得直线l的普通方程为y=-
x+5.
因为曲线C:
x2+（y-1）2=1是以G（0,1）为圆心、1为半径的圆,（易知C,l相离）
设点D（x0,y0）,且点D到直线l:
y=-
x+5的距离最短,
所以曲线C在点D处的切线与直线l:
y=-
x+5平行.
即直线GD与l的斜率的乘积等于-1,即
×（-
）=-1,
又
+（y0-1）2=1,
可得x0=-
（舍去）或x0=
所以y0=
即点D的坐标为
.
3.
解析
（1）∵直线l的参数方程为
（t为参数）,
∴直线l的普通方程为y=tanα·（x-1）.
由ρcos2θ-4sinθ=0得ρ2cos2θ-4ρsinθ=0,即x2-4y=0,
∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y.
（2）∵点M的极坐标为
∴点M的直角坐标为（0,1）.
∴tanα=-1,直线l的倾斜角α=
.
∴直线l的参数方程为
（t为参数）.
代入x2=4y,得t2-6
t+2=0.
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2.
∵Q为线段AB的中点,
∴点Q对应的参数值为
=
=3
.
又点P（1,0）,则|PQ|=
=3
.
4.
解析
（1）直线l的直角坐标方程为y=x,
曲线C的普通方程为
+y2=1.
（2）设点M（x0,y0）,过点M的直线为l1,则l1的参数方程为
（t为参数）,
将直线l1的参数方程代入曲线C的方程可得
+
tx0+2
ty0+
+2
-2=0,
由|MA|·|MB|=
得
=
.
即
+2
=6,
x2+2y2=6表示一椭圆,
设直线l1为y=x+m,将y=x+m代入
+y2=1得,
3x2+4mx+2m2-2=0,
由Δ>0得-
故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线y=x±
之间的两段椭圆弧.
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