初中数学专题中考试题精选函数与多边形含解答.docx

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初中数学专题中考试题精选函数与多边形含解答

函数与多边形

1.青岛市2003年中考第26题

已知:

如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=3cm,∠C=60°,BD⊥CD.

（1）求BC、AD的长度;

（2）若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动,点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/s的速度运动,当P、Q分别从B、C出发时,写出五边形ABPQD的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围（不包括点P在B、C两点的情况）;

（3）在

（2）的前提下,是否存在运动时间t,使线段PQ把梯形ABCD分成面积比为1:

5的两个部分?

若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

解

（1）AD=3,BC=6.

（2）=,=,S=.

（3）第一种情况:

列方程得t=;第二种情况:

不存在.

〖化简题〗已知:

如图,△BCD中,BC=8cm,CD=3cm,∠C=60°,

若点P从点B开始沿BC边向点C以3cm/s的速度运动,同时,点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/s的速度运动,

（1）写三角形PCQ的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围（不包括点P在B、C两点的情况）;

（2）是否存在运动时间t,使线段PQ把三角形BCD分成面积比为1:

5的两个部分?

若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

解:

=（）,=（）;

若=,

∴.,.

若=,……

2.哈尔滨市2003年第29题

已知:

四边形ABCD中,AB∥CD,且AB、CD的长是关于x的方程

的两个根.

（1）当m=2和m>2时,四边形ABCD分别是哪种四边形?

请说明理由.

（2）若M、N分别是AD、BC的中点,线段MN分别交AC、BD于点P、Q,PQ=1,且AB

（3）在

（2）的条件下,AD=BC=2,求一个一元二次方程,使它的两个根分别是tan∠BDC、tan∠BCD.

简解

（1）原方程化为,△=4m-8.

当m=2时,AB=CD,四边形ABCD是平行四边形;

当m>2时,△>0,AB≠CD,四边形ABCD是梯形.

（2）∵DC-AB=2PQ=2,即|-|=2,

∴m=3.AB=2,CD=4.

（3）易求∠ADC=60°,tan∠BCD=,tan∠BDC=,

∴.

〖简化题1〗在梯形ABCD中,AB∥CD,若M、N分别是AD、BC的中点,线段MN分别交AC、BD于点P、Q,若PQ=1,AB+CD=6,且AB

〖简化题2〗在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=BC=AD=2,CD=4,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别是tan∠BDC、tan∠BCD.

〖简化题3〗已知:

四边形ABCD中,AB∥CD,且AB、CD的长是关于x的方程的两个根.当m=2和m>2时,四边形ABCD分别是哪种特殊四边形?

请说明理由.

3.黄冈市2003年中考第22题

已知某二次函数的图象如图所示,

（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点坐标;

（2）若点N为线段BM上的一点,过点N作x轴的垂线,垂足为Q.当点N在线段BM上运动时（点N不与点B、点M重合）,设NQ的长为t,四边形NQAC的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量变t的取值范围;

（3）在对称轴右側的抛物线上是否存在点P,使△PAC为直角三角形?

若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

（4）将△OAC补成矩形,使△OAC的两个顶点成为矩形一边上的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）.

简解:

（1）设y=a（x+1）（x-2）,把（0,-2）代入,得a=1,

∴,M（）.

（2）易求得直线BM的方程为,

点N在BM上,纵坐标y=-t,∴横坐标x=.

∴S=,其中0

（3）点P的坐标是（）或（）.解略.

（4）矩形未知顶点的坐标是（-1,-2）或（）、（）.解略.

〖简化题1〗已知某二次函数的图象如图所示,求二次函数的解析式.

解:

∵抛物线与x轴的两个交点为点（-1,0）和（2,0）,

设y=a（x+1）（x-2）,

∵抛物线过点（0,-2）,把（0,-2）代入,得a=1,

∴.

〖简化题2〗如图,直线与x轴、y轴的交点为A、B,动点C在线段AB上移动（点C不与点B重合）,若点C的纵坐标为y,△COB的面积为S,求S与y之间的函数关系式及自变量y的取值范围.

〖简化题3〗如图,抛物线与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,顶点为M,若点N为线段BM上的一点,过点N作x轴的垂线,垂足为Q.当点N在线段BM上运动时（点N不与点B、点M重合）,设NQ的长为t,四边形NQAC的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围.

解:

易求得A（-1,0）,B（2,0）,C（0,-2）、M（）,

直线BM的方程为.

∵点N在BM上,纵坐标y=-t,

∴横坐标x=.

∴S=+（）=,

其中0≤t≤.

〖简化题4〗已知:

如图,点A（-1,0）,点B（0,-2）,在直线x=3上是否存在点P,使△PAB为直角三角形?

若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

〖简化题5〗已知:

如图,点A（-2,0）,点B（0,1）,将△OAB补成矩形,使△OAB的两个顶点成为矩形一边上的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,求出矩形的未知的顶点坐标.

解:

如图,第一种情况,

若矩形ABCD的边CD过点O,过C作CF⊥OB,F为垂足,过D作OE⊥AO,E为垂足,

∵OA=2,OB=1,∴AB=.∴AD=,

∴AE=,DE=,∴D（）.同理,C（）.

第二种情况,易得C（-2,1）.

4.福州市2003年中考第28题

已知:

如图,等边三角形ABC中,AB=2,点P是AB边上任意一点（点P可以与点A重合,但不与点B重合）过点P作PE⊥BC,垂足为E,过点E作EF⊥AC,垂足为F,过点F作FQ⊥AB,垂足为Q.设BP=x,AQ=y.

（1）写出y与x之间的函数关系式;

（2）求当BP的长等于多少时,点P与点Q重合;

（3）当线段PE、FQ相交时,写出线段PE、EF、FQ所围成三角形的周长的取值范围（不必写出解题过程）.

解:

（1）y=（0≤x<2）.

（2）由x+y=2得x=.

（3）设周长为S,则≤S≤.

5.福州市2003年中考第29题

已知:

如图,二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）,

与y轴交于点C,直线x=m（m>1）与x轴交于点D.

（1）求A、B、C三点的坐标;

（2）在直线x=m（m>1）上有一点P（点P在第一象限）,使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似,求P点的坐标（用含m的代数式表示）;

（3）在

（2）成立的条件下,试问:

抛物线上是否存在一点Q,使得四边形ABPQ为平行四边形?

如果存在这样的点Q,请求出m的值;如果不存在,请简要说明理由.

简解:

（1）A（-1,0）,B（1,0）,C（0,-2）.

（2）分类讨论:

若△PDB∽△BOC,则PD=,P（m,）;

若△PDB∽△COB,则PD=2（m-1）,P（m,2m-2）.

（3）假设抛物线上存在满足条件的点Q.则Q的横坐标为m-2.（如右图,PN=m,PQ=2,NQ=m-2）

当点Q的坐标为（m-2,2m-2）（即点P的坐标为P（m,2m-2））时,∵点Q在抛物线上,列方程:

解得m=1（舍去）,或m=4;

当点Q的坐标为（m-2,）时,列方程:

解得m=1（舍去）,或m=.

∴m的值为4,.

〖评析〗解第（3）小题一类题目,往往先假设存在满足条件的点.

6.甘肃省2003年中考第31题

已知抛物线经过点A（2,0）,顶点为D（1,-1）.

（1）确定抛物线的解析式;

（2）直线y=3与抛物线相交于B、C两点（B点在C点左側）,以BC为一边,原点O为一顶点作平行四边形,设平行四边形的面积为S,求S的值;

（3）若以

（2）小题中的BC为一边,抛物线上任一点P为一顶点作平行四边形,当平行四边形面积为8时,试确定P点的坐标;

（4）当-2≤x≤4时,（3）小题中的平行四边形的面积是否有最大值,若有,请求出,若无,请说明理由.

简解:

（1）;

（2）列方程,解得x=-1,或x=3,即B（-1,0）,C（3,0）.

∴BC=4,S=12.

（3）如图,设P（x,y）,当点P在BC下方时,

∵点B到PQ的距离为2,∴y=1.

∵,∴,,

则点P的坐标为,.

当点P在BC上方时,y=5,,,

则点P的坐标为,.

（4）如图,当-2≤x≤4时,-1≤y≤8,0≤|y-3|≤5.

抛物线上与x轴距离最远的有两个点（-2,8）和（4,8）,这两点与BC的距离为5,

∴S有最大值为20.

〖拓展题〗已知直线y=3与抛物线相交于B、C两点（B点在C点左側）,以BC为一边,抛物线上任一点P（x,y）为一顶点作平行四边形,设平行四边形的面积为S,

（1）求S与y的关系式;

（2）若S=8,试确定P点的坐标;

（3）当-2≤x≤4时,S是否有最大值,若有请求出,若无请说明理由.

解:

（1）列方程,解得x=-1,或x=3,即B（-1,0）,C（3,0）.BC=4.∴S=4|y-3|.（注意:

y≠3）

（2）∵4|y-3|=8,y=1,或y=5.

如图,当点P在BC下方时,y=1.

∵=1,∴,,

则点P的坐标为,.

当点P在BC上方时,

y=5,,,

则点P的坐标为,.

（3）如图,当-2≤x≤4时,-1≤y≤8,0≤|y-3|≤5.

∴S有最大值为20.

7.北京市2003年第26题

已知抛物线与x轴的一个交点为A（-1,0）.

（1）求抛物线与x轴的另一交点B的坐标;

（2）D是抛物线与y轴的交点,C是抛物线上的一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线的解析式;

（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5:

2的点,如果点E在

（2）中的抛物线上,且它与点A在此抛物线对称轴的同侧,问:

在抛物线的对称轴上是否存在点P,使APE的周长最小?

若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.

简解

（1）特殊解法:

由对称性,对称轴为x=-2,

∴交点B为（-3,0）.

一般解法:

把x=-1,y=0代入解析式,得t=3a,

由,得B（-3,0）.

（2）由对称性,CD=4,

∵,D的纵坐标为3a,

∴梯形高为3|a|,解得|a|=1,a=±1.

（若a=1,图形如右）

（3）如图,若a=1,,

设点E的坐标为（-2m,5m）,解得m=0.25,

∴E（-0.5,1.15）.

由平几知识得,P在BE与对称轴的交点上,

∵BE:

y=0.5x+1.5,∴p:

（-2,0.5）.

若a=-1,则,点E不存在.

〖简化题1〗:

已知抛物线与x轴的一个交点为A（-1,0）,

（1）求抛物线与x轴的另一交点B的坐标（两种方法）;

（2）求抛物线与y轴交点D的坐标.

〖简化题2〗已知抛物线与x轴相交于A、B两点,A点的坐标为A（-1,0）,D是抛物线与y轴的交点,C是抛物线上的一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线的解析式.

〖简化题3〗

（1）第二象限内的点E在抛物线上,若点E到x轴、y轴的距离的比为5:

2,求点E.

（2）点E在抛物线上,若点E到x轴、y轴的距离的比为5:

2,求点E.

〖简化题4〗已知A（-1,0）、E（-0.5,1.5）是抛物线上两点,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使APE的周长最小?

若存在,求出点