常见的勾股数及公式.docx

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常见的勾股数及公式

常见的勾股数及公式

武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理

我们知道，如果∠C=90°，a、b、c是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a2+b2=c2；反之，若三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形，c为斜边．与此相类似，如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2，则称a、b、c为勾股数，记为（a，b，c）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：

一、三数为连续整数的勾股数

（3，4，5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？

设三数为连续整数的勾股数组为（x－１，x，x＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x2=（x+1）2，解得x＝４或x＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n（n是正整数）都是勾股数。

二、后两数为连续整数的勾股数

易知：

（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？

a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）.

分别取n＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…

三、前两数为连续整数的勾股数

你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。

其公式为：

（x，x＋１，

）（x为正整数）。

设前两数为连续整数的勾股数组为（x，x＋１，y），y=

则

（＊）

整理，得

＝

，化为

，即

＝－１，

又

＝－１，∴

＝－１（ｎ

Ｎ），

故取

＝

，

＝

，

解之，得x＝

〔

＋

－２〕，y＝

〔

－

〕，

故前两数为连续整数的勾股数组是（

〔

＋

－２〕，

〔

＋

－２〕＋１，

〔

－

〕）．

4、后两数为连续奇数的勾股数

如（8，15，17）,（12，35，37）…其公式为：

4（n+1）,4（n+1）2-1,4（n+1）2+1（n是正整数）.

五、其它的勾股数组公式：

1.a=2m,b=m2－1,c=m2+1（m大于1的整数）.2.a=

（m2－n2）,b=mn,c=

（m2+n2）（其中m>n且是互质的奇数）.

3.a=2m,b=m2－n2,c=m2+n2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）.

下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：

345；51213；6810；72425；81517；91215；94041；102426；116061；121620；

123537；138485；144850；152025；153639；15112113；163034；166365

17144145；182430；188082；19180181；202129；204852；2099101；212835

217275；21220221；22120122；23264265；243240；244551；247074；24143145

256065；25312313；26168170；273645；27120123；27364365；284553；2896100

28195197；29420421；304050；307278；30224226；31480481；326068；32126130

32255257；334455；335665；33180183；33544545；34288290；358491；35120125

35612613；364860；367785；36105111；36160164；36323325；37684685；38360362

395265；398089；39252255；39760761；404258；407585；4096104；40198202

40399401；41840841；425670；42144150；42440442；43924925；44117125；44240244

44483485；456075；45108117；45200205；45336339；46528530；485573；486480

4890102；48140148；48189195；48286290；48575577；49168175；50120130；50624626

516885；51140149；51432435；52165173；52336340；52675677；547290；54240246

54728730；55132143；55300305；5690106；56105119；56192200；56390394；56783785

577695；57176185；57540543；58840842；606387；6080100；6091109；60144156

60175185；60221229；60297303；60448452；60899901；62960962；6384105；63216225

63280287；63660663；64120136；64252260；64510514；657297；65156169；65420425

6688110；66112130；66360366；68285293；68576580；6992115；69260269；69792795

70168182；70240250；7296120；72135153；72154170；72210222；72320328；72429435

72646650；75100125；75180195；75308317；75560565；75936939；76357365；76720724

77264275；77420427；78104130；78160178；78504510；8084116；80150170；80192208

80315325；80396404；80798802；81108135；81360369；84112140；84135159；84187205

84245259；84288300；84437445；84585591；84880884；85132157；85204221；85720725

87116145；87416425；88105137；88165187；88234250；88480488；88966970；90120150

90216234；90400410；90672678；91312325；91588595；92525533；93124155；93476485

95168193；95228247；95900905；96110146；96128160；96180204；96247265；96280296

96378390；96572580；96765771；98336350；99132165；99168195；99440451；99540549

100105145；100240260；100495505；100621629.

以下是大于100的勾股数：

第223组：

102136170

第224组：

102280298

第225组：

102864870

第226组：

104153185

第227组：

104195221

第228组：

104330346

第229组：

104672680

第230组：

105140175

第231组：

105208233

第232组：

105252273

第233组：

105360375

第234组：

105608617

第235组：

105784791

第236组：

108144180

第237组：

108231255

第238组：

108315333

第239组：

108480492

第240组：

108725733

第241组：

108969975

第242组：

110264286

第243组：

110600610

第244组：

111148185

第245组：

111680689

第246组：

112180212

第247组：

112210238

第248组：

112384400

第249组：

112441455

第250组：

112780788

第251组：

114152190

第252组：

114352370

第253组：

115252277

第254组：

115276299

第255组：

116837845

第256组：

117156195

第257组：

117240267

第258组：

117520533

第259组：

117756765

第260组：

119120169

第261组：

119408425

第262组：

120126174

第263组：

120160200

第264组：

120182218

第265组：

120209241

第266组：

120225255

第267组：

120288312

第268组：

120350370

第269组：

120391409

第270组：

120442458

第271组：

120594606

第272组：

120715725

第273组：

120896904

第274组：

121660671

第275组：

123164205

第276组：

123836845

第277组：

124957965

第278组：

125300325

第279组：

126168210

第280组：

126432450

第281组：

126560574

第282组：

128240272

第283组：

128504520

第284组：

129172215

第285组：

129920929

第286组：

130144194

第287组：

130312338

第288组：

130840850

第289组：

132176220

第290组：

132224260

第291组：

132351375

第292组：

132385407

第293组：

132475493

第294组：

132720732