初中数学知识点及答案.docx

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初中数学知识点及答案

初中数学知识点

1.什么是数轴？

规定了原点（origin）,正方向和单位长度的直线叫数轴（numberline），在数学中有着广泛的运用。

两根互相垂直且有同一原点的数轴可以构成平面直角坐标系；三根互相垂直且有同一原点的数轴可以构成空间直角坐标系，以确定物体的位置

2.在数轴上比较两个数的大小？

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

3.互为相反数？

在数轴两端，单位距离一样的，即除零外仅有符号不同的两数叫做互为相反数.a的互为相反数为-a（a≠0）.

4.有理数加法法则？

同号两数相加，取相同的符号,并把绝对值相加。

异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同零相加仍得这个数。

5.有理数加法运算规律？

1．同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加；

2．绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为相反数的两个数相加得0；

3．一个数同0相加,仍得这个数．

6.有理数减法法则？

有理数减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

其中：

两变：

减法运算变加法运算，减数变成它的相反数。

一不变：

被减数不变。

可以表示成：

a－b=a+（－b）。

7.有理数乘法法则？

有理数乘法法则即两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何一个数与0相乘，积仍为0。

有理数乘法运算律即分配律、结合律、交换律。

用字母表示为：

ab=ba、a（bc）=（ab）c、a（b+c）=ab+ac。

8.有理数乘法运算规律？

0没有倒数,乘积为1的两个数互为倒数.

两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除．

0除以任何一个不为0的数,都得0．（分母≠0）.利用除法法则可以化简分数．

9.有理数除法法则？

法则一、除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数。

（注意：

0没有倒数）公式：

a÷b=a×1/b

法则二、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

（0除以任何一个非0的数，都得0）公式：

a÷b=a×1/b（b≠0）

10.有理数乘方法则？

1.运算顺序：

先算乘方,后算乘除,最后算加减.

2.同底数幂的乘法法则：

　同底数幂相乘除,原来的底数作底数,指数的和或差作指数.用字母表示为：

　　a^m×a^n＝a^（m+n）或a^m÷a^n＝a^（m－n）（m、n均为自然数）

3.幂的乘方,底数不变,指数相乘.用字母表示为：

（a^m）^n＝a^（m×n）

4.积的乘方,先把积中的每一个乘数分别乘方,再把所得的幂相乘.用字母表示为：

（a×b）^n＝a^n×b^n

11、有理数混合运算顺序是如何规定的？

1：

做括号内的,先小括号,后中括号,在做大括号；

2：

幂的运算；

3：

做乘除；

4：

做加减.

12、什么是同类项？

两个单项式，所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项

13、合并同类项法则？

（1）合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变。

字母不变，系数相加减。

（2）同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

14、整式加减的一般步骤是什么？

先乘除后加减有括号的先算括号里的

15、解二元一次方程的方法有哪些？

（1）代入消元法：

代入消元法是将方程组中的一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中去，这就消去了一个未知数,得到一个解。

代入消元法简称代入法。

（2）加减消元法：

这种把两个方程的两边分别相加或相减去一个未知数的方法叫作加减消元法，简称加减法。

16、什么是不等式？

用不等号连结起来的式子叫做不等式。

.不等号有"＜","＞","≤","≥","≠".

17、不等式的基本性质有哪些？

不等式的两边同时加上（或减去）同一个数,不等式仍然成立.

不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数,不等式仍然成立.

不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数,不等式改变方向.

总结：

当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

18、同底数幂乘法法则？

同底数幂的乘法：

底数不变,指数相加,,a^m·a^n=a^（m+n）

同底数幂的除法：

底数不变,指数相减,a^m÷a^n=a^（m-n）

幂的乘方：

底数不变,指数相乘（a^m）^n=a^mn

积的乘方：

等于各因数分别乘方的积a^m·b^m=（ab）^m

商的乘方（分式乘方）：

分子分母分别乘方,指数不变a^m÷b^m=（a／b）^m

19、幂的乘方法则？

底数不变,指数相乘

20、积的乘方法则？

等于各因数分别乘方的积

21、单项式的乘法法则？

单项式乘法法则:

单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

22、单项式与多项式相乘法则？

单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所有的项相加,即m（a+b+c）=ma+mb+mc（m,a,b,c都是单项式）

23、多项式乘法法则？

1.两单项式相乘时，系数相乘作为积的系数，变数字母部分按同底幂乘法法则相乘，只在一个单项式中出现的变数字母的幂，作为因式写在积里.

2.单项式乘多项式时，可用单项式去乘多项式的每一项，把所得的积相加后的多项式就是它们的乘积.

3.两多项式相乘时，用一个多项式的各项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，合并同类项后所得的式子就是它们的积.

多项式的乘法运算在数环（域）上是封闭的，即数环（域）上多项式相乘的积仍是这个数环（域）上的多项式.

24、平方差公式？

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，用字母表示为

25、完全平方公式？

两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍。

（a+b）²=a²﹢2ab+b²

两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。

﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²

26、同底数幂的除法法则？

同底数幂相除,底数不变,指数相减.

27、单项式除以单项式法则？

系数相除，同底数幂相除，作为商的因式。

对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

28、多项式除以单项式法则？

多项式除以单项式,先把这个多项式分别除以这个单项式,再把所得的商相加

29、因式分解的方法有哪些？

因式分解（factorization） 

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等． 

⑴提公因式法 

①公因式：

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.

②提公因式法：

一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.

am＋bm＋cm＝m（a+b+c） 

③具体方法：

当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项是负的,一般要提出“－”号,使括号内的第一项的系数是正的.

⑵运用公式法 

①平方差公式：

.a^2－b^2＝（a＋b）（a－b） 

②完全平方公式：

a^2±2ab＋b^2＝（a±b）^2 

※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式,另一项是这两个数（或式）的积的2倍.

③立方和公式：

a^3+b^3＝（a+b）（a^2-ab+b^2）.

立方差公式：

a^3-b^3＝（a-b）（a^2+ab+b^2）.

④完全立方公式：

a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝（a±b）^3 

⑤a^n-b^n=（a-b）[a^（n-1）+a^（n-2）b+……+b^（n-2）a+b^（n-1）] 

a^m+b^m=（a+b）[a^（m-1）-a^（m-2）b+……-b^（m-2）a+b^（m-1）]（m为奇数） 

⑶分组分解法 

分组分解法：

把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法.

分组分解法必须有明确目的,即分组后,可以直接提公因式或运用公式.

⑷拆项、补项法 

拆项、补项法：

把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意,必须在与原多项式相等的原则进行变形.

⑸十字相乘法 

①x^2＋（pq）x＋pq型的式子的因式分解 

这类二次三项式的特点是：

二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分x^2＋（pq）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） 

②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 

如果能够分解成k＝ac,n＝bd,且有ad＋bc＝m时,那么 

kx^2＋mx＋n＝（axb）（cxd） 

a\-----/bac＝kbd＝n 

c/-----\dad＋bc＝m 

※多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式； 

②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； 

③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； 

④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

（6）应用因式定理：

如果f（a）=0,则f（x）必含有因式（x-a）.如f（x）=x^2+5x+6,f（-2）=0,则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式.

30、因式分解的一般步骤是什么？

1、如果多项式的首项为负，应先提负号；

这里的“负”，指“负号”。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。

例：

分解因式:

-a2-b2+2ab+4。

解：

-a2-b2+2ab+4

=-（a2-2ab+b2-4）

=-[（a-b）2-4]

=-（a-b+2）（a-b-2）

应防止出现如下的错误：

-9x2+4y2

=（-3x）2-（2y）2

=（-3x+2y）（-3x-2y）

=（3x-2y）（3x+2y）（错）

2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；

例：

分解因式:

ab3+a3b

解：

ab3-a3b

=ab（b2-a2）

=ab（b+a）（b-a）

要注意：

多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1；

提公因式要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。

应防止出现如下的错误：

4x4y2-5x2y2-9y2

=y2（4x4-5x2-9）

=y（x+1）（4x2-9）

3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

4、如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。

口诀：

先提首项负号，再看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。

31、分式的基本性质？

定义：

整式A除以整式B,可以表示成A/B的形式（B≠0）.如果除式B中含有字母,那么称为分式

注:

A÷B=A×1/B

II.组成：

在分式中A称为分式的分子,B称为分式的分母.

III.意义：

对于任意一个分式,分母都不能为0,否则分式无意义.

IV.分式值为0的条件：

在分母不等于0的前提下,分子等于0,则分数值为0.

注:

分式的概念包括3个方面：

①分式是两个整式相除的商式,其中分子为被除式,分母为除式,分数线起除号的作用；

②分式的分母中必须含有字母,而分子中可以含有字母,也可以不含字母,这是区别整式的重要依据；

③在任何情况下,分式的分母的值都不可以为0,否则分式无意义.这里,分母是指除式而言.而不是只就分母中某一个字母来说的.也就是说,分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件.

32、分式的乘除法法则？

1.两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.例如：

a/b÷c/d=ad/bc 

2.除以一个分式,等于乘以这个分式的倒数:

a÷c/d=a*d/c

33、分式乘方法则？

分子相乘做分子

分母相乘做分母

可以约分的约分

最后化成最简

34、分式加减法法则？

（1）通分：

把异分母的分式化为同分母分式的过程,叫做通分

（2）同分母分式的加减法法则：

同分母的分式相加减,分母不变．分子相加减．用字母表示为：

（3）异分母分式的加减法法则：

异分母的分式相加减,先通分．变为同分母的分式后再加减

35、解分式方程的一般步骤是什么？

①去分母

方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号.

②按解整式方程的步骤

移项,若有括号应去括号,注意变号,合并同类项,把系数化为1求出未知数的值;

③验根

求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根.

验根时把整式方程的根代入最简公分母,如果最简公分母等于0,这个根就是增根.否则这个根就是原分式方程的根.若解出的根是增根,则原方程无解.

36、什么是平方根？

如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.0的平方根是0,负数没有平方根.

37、什么是算数平方根？

平方根称算术平方根.一个正数有两个平方根；0只有一个平方根,就是0本身；负数没有平方根.

38、什么是开立方？

求一个数的立方根的运算法，叫做开立方。

例：

A=X3,求X.称为开立方。

39、最简二次根必须满足的条件是什么？

最简二次根式必须满足以下两个条件:

1被开方数的因数是（整数）,因式是（整式）（分母中不含根号）2被开方数或式中不含能开提尽方的（因数）或（因式）.

40、解一元二次方程的方法有哪些？

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如（x-m）2=n（n≥0）的方程,其解为x=m±. 

2．配方法：

用配方法解方程ax2+bx+c=0（a≠0） 

先将常数c移到方程右边：

ax2+bx=-c 

将二次项系数化为1：

x2+x=- 

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：

x2+x+（）2=-+（）2 

方程左边成为一个完全平方式：

（x+）2= 

当b2-4ac≥0时,x+=± 

∴x=（这就是求根公式） 

3．公式法：

把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=（b2-4ac≥0）就可得到方程的根. 

4．因式分解法：

把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让 

两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个 

根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 

41、一元二次方程的根与系数的关系是什么？

在一元二次方程ax²+bx+c中（a≠0,a,b,c皆为常数）

两根x1,x2与系数的关系：

x1+x2=-b/ax1x2=c/a

前提条件：

判别式△=b²-4ac大于等于0

42、一次函数y=kx+b的性质是什么？

当k＞0时,y随x的增大而增大.当k＜0时,y随x的增大而减小.当k＞0,b＞0时,图像过1、2、3象限当k＞0,b＜0时,图像过1、3、4象限当k＜0,b＜0时,图像过2、3、4象限当k＜0,b＞0时,图像过1、2、4象限

43、抛物线y=a（x-h）²+k怎么理解？

顶点式：

y=a（x-h）²+k（a≠0,a、h、k为常数）， 顶点坐标：

（h，k）

另一种形式：

y=a（x+h）²+k（a≠0），则此时顶点坐标为（-h，k）

44、什么是反比例函数？

Y=K/X 

当K小于0时,X越大,Y越大,当K大于0时,X越小,Y越大 

反比例函数是相对于正比例函数来说的,正比例函数y=kx,反比例函数y=k/x 

45、直线公理？

经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简述为：

两点确定一直线。

这就是直线公理。

46、线段公理？

直线上两个点之间的距离叫做线段,这两个点叫做线段的两个端点.在射线上任意截取一点,与射线的端点之间的距离叫做线段,截取的点与射线的端点就是这条线段的两个端点.两点之间线段最短.

47、补角和余角的性质是什么？

互为补角的定义：

如果两个角的和是一个平角,那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角

∠A+∠C=180°,∠A=180°-∠C,∠C的补角=180°-∠C即:

∠A的补角=180°-∠A

补角的性质：

同角的补角相等.比如：

∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：

∠C=∠B.

等角的补角相等.比如：

∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：

∠C=∠B.

余角 

如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角.∠A+∠C=90°,∠A=90°-∠C,∠C的余角=90°-∠C即:

∠A的余角=90°-∠A

余角的性质：

同角的余角相等.比如：

∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：

∠C=∠B.

等角的余角相等.比如：

∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：

∠C=∠B.

48、对顶角的性质是什么？

对顶角的性质：

对顶角相等.

49、垂线的性质是什么？

垂线的基本性质是：

（1）过直线上或直线外的一点,有且只有一条直线和已知直线垂直.

（2）从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂直线段最短.

50、平行公理？

如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.

51、平行线的判定定理有哪些？

判定定理：

（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；

（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；

（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

（4）两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行线的传递性）。

52、平行线的性质定理有哪些？

性质定理：

（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；

（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；

（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

53、三角形三条边的关系是什么？

三角形的三边关系是：

任意两边之和大于第三边，任意两边的差一定小于第三边

54、三角形内角和定理？

平面三角形的三个内角之和等于180度.

∠A+∠B+∠C=180°

55、全等三角形的性质是什么？

三角形全等的性质：

　　1．全等三角形的对应角相等.

　　2．全等三角形的对应边相等.

　　3．全等三角形的对应边上的高对应相等.

　　4．全等三角形的对应角的角平分线相等.

　　5．全等三角形的对应边上的中线相等.

　　6．全等三角形面积相等.

　　7．全等三角形周长相等.

　　8．全等三角形可以完全重合.顶点叫对应点.

56、三角形全等的判定定理有哪些？

1.SSS边边边,三条对应边相等的两个三角形是全等三角形 

2.SAS边角边,两条对应对边相等和一个对应角相等的的两个三角形是全等三角形（一定是两条边所夹的角） 

3.AAS角角边,两个对应角相等和一条对应对边相等的两个三角形是全等三角形 

4.ASA角边角,两个对应角相等和两角的夹边相等的两个三角形是全等三角形（与上面的区分,这里是指两个对应角所夹的边.上面的不是） 

5.HL斜边直角边,一条直角边和一条斜边对应相等（只适用于直角三角形）

57、角的平分线定理？

第一性质定理：

角平分线上的点到角两边的距离相等

第一性质定理逆定理：

在角的内部,到角两边距离相等的点在角的平分线上 

第二性质定理：

三角形内角平分线分对边所成的两条线段,与夹这个角的两边,对应成比例

58、等腰三角形的性质定理？

等腰三角形的性质：

等腰三角形的两个底角相等.（简写成“等边对等角”）

等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合（简写成“三线合一”）

等腰三角形的两底角的平分线相等.（两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等）

等腰三角形的底边上的高到两条腰的距离相等

等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半

59、线段的垂直平分线定理？

线段垂直平分线定理是,在平面内,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

60、勾股定理？

勾股定理：

在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

61、多边形内角和定理及推论？

定理：

多边形内角和定理n边形的内角的和等于：

（n－2）×180°，则正多边形各内角度数为：

（n－2）×180°÷n。

推论：

已知

　　已知正多边形内角度数则其边数为：

360÷（180－内角度数）

推论

　　任意多边形的外角和=360

　　正多边形任意两个相邻角的连线所构成的三角形是等腰三角形

　　多边形的内角和

　　定义

　　〔n-2〕×180·

　　多边形内角和定理证明

　　证法一：

在n边形内任取一点O，连结O与各个顶点，把n边形分成n个三角形.

　　因为这n个三角形的内角的和等于n·180°，以O为公共顶点的n个角的和是360°

　　所以n边形的内角和是n·180°-2×180°=（n-2）·180°.

　　即n边形的内角和等于（n-2）×180°.

　　证法二：

连结多边形的任一顶点A1与其他各个顶点的线段，把n边形分成（n-2）个三角形.

　　因为这（n-2）个三角形的内角和都等于（n-2）·180°

　　所以n边形的内角和是（n-2）×180°.

　　证法三：

在n边形的任意一边上任取一点P，连结P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n-1）个三角形，

　　这（n-1）个三角形的内角和等于（n-1）·180°

　　以P为公共顶点的（n-1）个角的和是180°

　　所以n边形的内角和是（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°.

62、平行四边形的判定定理？

平行四边形的判定定理都有：

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

3、对角线互相平分的四边形是平行四边形；

4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

63、三角形中位线定理？

三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。

64、梯形中位线定理？

连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的 中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

65、比例的基本性质？

比例的基本性质：

组成比例的四个数，叫做比例的项。

两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。

在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。

是代数学中常用的比例性质，主要包括合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质以及它们的推广。

66、三角形相似的判定定理？

相似三角形的判定定理:

（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,（简叙为两角对应相等