有理数各种题型.docx

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有理数各种题型

有理数各种题型

题型一绝对值（非负数），平方（非负数）的综合应用

1、已知│x│=3，│y│=7，而xy<0，则x+y的值是_________

2、已知|a|3，|b|2，且ab＞0，则ab=

3、│3-a│+│4-b│=0,求a+b的值

4、已知|4

a|

a

2b2

0，则a2b=_________。

5、已知a

3

b

6

c

5

0,求a+b+c的值。

6、若|－|＝－

，且|

|＝4，|

n

|＝3，则（

＋）2＝______.

mn

n

m

m

m

n

7、若x2（y

2）2

0，则x

，y

。

3

8、已知|a

1|与|b

4|互为相反数，求ab的值．

9练习若x

y

3与x

y

1999互为相反数，求

x

2y的值

x

y

10.若|x-y+3|+

x

y

2013

2

=0，则

2x

=.

x

y

11、若a2

b3

c

4

0

，求

2abc的值．

12已知2a＋（b+1）4＝0，求（a＋b）（a2－ab＋b2）的值.

题型二相反数倒数整数的综合应用

1、已知

a、b互为相反数，

c、d互为负倒数（即

cd

1），x是

最小的正整数。

试求

x2

（a

bcd）x

（a

b）2008

（cd）2008的值

2..若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m在数轴上的对应点到原点的距离为

ab

1，则cdm的值是．

abc

3．若a、b互为倒数，c、d互为相反数，m2，（cd）

a

m2

3ab

b

4．已知a与b互为倒数，c与d互为相反数，且x3，求3ab

cd

2x的值．

5.已知m,n互为相反数，a,b互为负倒数，x的绝对值等于3，

求x31mnabx2mnx2001ab2003的值

6.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，且x的绝对值是

5，试求x－（a+b－cd）+│（a+b）－4│+│3－cd│的值．

题型三有理数与裂项结合

反思说明：

一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是

两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可以用裂项相消

法求值。

①

1

1

1

②

1

1（1

1）

n（n1）nn1

n（nk）knnk

③

1

2）

1[

1

1）

（n

1

]

④

1

1）

1（1

1）

n（n

1）（n

2

n（n

1）（n

2）

（n

1）（n

2n

1n1

1.若a

1

（ab

2）2

0，计算代数式：

1

1

1

1

=_________________.

ab

（a

1）（b1）

（a2）（b

2）

（a

2001）（b

2001）

2.已知b

1

a

2

0

，

1

1

1

1

求ab

a

1b

1

a

2b

2

a2006

b

2006

的值

3.若x1

（xy2）2

0,求：

1

1

1

1

的值。

xy（x1）（y1）（x2）（y2）（x2008）（y2008）

（4）1

2

2

1

3

1

1999

1

1

3

4

2000

3：

⑴1

1

11

1

L

1

⑵1

3

3

1

1

L

99

1

2

6

12

20

30

9900

1

5

5

7

101

4、计算1

1

1

1

的值.

2

1

2

3

1

2

3

100

1

题型四取值范围

【例1】若x

2

x

2

0，求x的取值范围．

已知

2x

3

3

2x，求x的取值范围

方程x

2008

2008

x的解的个数是（

）

A．1个

B

．2个C

．3个

D．无穷多个

练习1.

a

0,b

0

，则使x

axba

b成立的x的取值范围

是

。

2.如果x

2

x

2

0，那么x的取值范围是（

）

A．x2B．x2C．x2D．x2

3若2x|4

5x|

|1

3x|4的值恒为常数，求x满足的条件及此时常数的值。

3、如果x

2

x

2

0，那么x的取值范围是（

）

A．x2B．x2C．x2D．x2

4.已知a

a，则化简a1

a2所得的结果为（

）

A．1B．1C．2a3D．32a

5、已知0a4，那么a23a的最大值等于（）

A．1B．5C．8D．9

题型五

分类讨论

1.

若a，b，c均为非零的有理数，求

a

b

c的值

a

b

c

2.

若abc

0，求a

b

c的值．

a

b

c

3.

已知a是非零有理数，求a

2

3

a

2

a3的值.

a

a

a

4.

已知x

a

b

c

abc，且a，b，c都不等于0

，求x的所有可能

a

b

c

abc

值

5.已知a，b，c是非零整数，且a

b

c

0，求a

b

c

abc的值

a

b

c

abc

6.

若a0

，则a

_____；若a0，则a

_____.

a

a

7、若abc≠0，则abc的所有可能值为

|a||b||c|

8.三个数a，b，c的积为负数，和为正数，且

x

a

b

c

ab

ac

bc，求ax3

bx2

cx1的值.

a

b

c

ab

ac

bc

练习1、若2x

5，则代数式x5

x2

x的值

x

5

2x

x

为

。

2、若ab

0，则a

b

ab的值等于

。

a

b

ab

3、已知a,b,c是非零有理数，且a

b

c0,abc

0，求

a

b

c

abc的值。

a

b

c

abc

4设a,b,c为有理数，则由a

b

c构成的各种数值是

a

b

c

5、若ab

a

b的取值不可能是

-----------------------------------------------（

）

0，则

a

b

A．0

B.1

C.2

D.－2

题型六

1.化简

1

1

1

1

1

1

2004

2003

2003

2002

1003

1002

2.计算|

1

-1|+|

1-1|-|

1

-1|。

2006

2005

2007

2006

2007

2005

绝对值的化简

1.若2

2.设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，

则│b-a│+│a+c│+│c-b?

│=________；

3.已知a＜c＜0＜b，化简|b-c|-|b+c|+|a-c|-|a+c|-|a+b|

b

a

c

0

1

3、有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则化简

abb1ac1c的结果为。

b

a

Oc1

4、已知有理数a,b,c在数轴上的对应的位置如下图：

则

c1acab化简后的结果是（）

-1cO

ab

A．b1B．2ab1C．12ab2cD．12c

b

5．已知a、b、c在数轴上位置如图：

则代数式|a|+|a+b|+|c

b-c|的值等于（）

-a|-|

A．-3a

B．

2c

－a

C．2a－2b

D．b

6.表示数a、b、c、d的点在数轴上的位置，如图所示：

化简│b-c│-│a-2c│-?

│d+b│+│d│．

7.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，式子

ababbc化简结果为（）

-1aO1bc

A．2a3bcB．3bcC．bcD．cb

题型七

1．观察下面一列数，根据规律写出横线上的数，

－1

；1

；－1

；1；

；

；；第2010

1

2

3

4

个数是

．

2．小王用计算机设计一个程序，输入和输出的数据如下

输

1

2

3

4

5

6

···

···

入

输

1

2

3

4

5

6

···

···

出

2

5

10

17

26

37

那么输入8

时，输出的数据是

（）

A．8

B．8

C．8

D．8

61

63

65

67

3.观察这一列数：

3，5,

9,

17,

33，依此规律下一个数是（

）

4

7

10

13

16

A.45

B.

45

C.

65

D.

65

21

19

21

19

4.计算：

31+1=4，32+1=10，33+1=28，34+1=82，35+1=244，，

归纳计算结果中的个位数字的规律，

猜测32009+1的个位

数字是

（）

A．0

B．2

C．4

D8

题型八定义新运算

1．“*”表示一种运算符号，其意义是：

a*b=2a－b，如果

x*（1*3）=2，那么x等于

（）

A．1

B．1

C．3

D．2

2

2

2.用“★”定义新运算：

对于任意有理数a、b都有a★b=b2+1，

例如7★4=42+1=17，那么m★（m★2）=__________．

3.用“→”定义新运算，对于任意实数a、b，都有a→b=b2+1，

例如，7→4=42+1=17，那么5→3=_______；当m为实数时，

m→（m→2）=_________

4、规定图形表示运算a–b+c,图形表示运算

xzyw.

则+=______（直接写出答案）.

题型九

绝对值的最大最小值问题

1、

x

1

x1的最小值是

。

2.结合数轴求得

x2

x3的最小值为

，取得最小值时

x的取

值范围为

.

3.同学们都知道，52表示5与－2的差的绝对值，实际上

也可理解为5与－2两数在数轴上所对应的两点之间的距

离．试探索：

（1）

5

2=___________．

（2）找出所有符合条件的整数

x，使

x

5

x2

7成立．

（3）由以上探索猜想，对于任何有理数

x，

x

3

x6

是否

有最小值?

如果有，写出最小值；如果没有，说明理

由．

4.已知x3x2的最小值是a，x3x2的最大值为b，求

ab的值。

4.求x2+x7的最小值

5.代数式x1x2取最小值时，相应的x的取值范围

是；

求x1x2x3x1997的最小值。

题型九找规律大题

找规律

1.我们知道13

1

1

12

22，13

23

9

1

22

32，

4

4

13

2333

36

1

32

42，13

23

33

43

100

1

4252

4

4

（1）猜想：

13+23+33++（n－1）3+n3=1

×（

）2×（）2．

4

（2）计算：

①13+23+33++993+1003；

②23+43+63++983+1003．

2.观察下列等式

1

1

11，1

3

1

1，1

4

1

1，

2

2

2

2

3

3

3

4

将以上三个等式两边分别相加得：

1

1

2

1

3

1

1

1

1

1

1

1

1

1

3．

2

3

4

2

2

3

3

4

4

4

1

（1）猜想并写出：

．

n（n1）

（2）直接写出下列各式的计算结果：

①

②

1

1

1

L

1

1

2

2

3

3

4

2009

2008

1

1

1

1

L

；

．

122334n（n1）

（3）探究并计算：

1

1

1

1

．

2

4

4

6

6

L

2008

8

2010

3.读一读：

式子“1+2+3+4+5++100”表示从1开始的100个连续自然数的和，

由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+

+100”表示为

100

”是求和符号，例如“1+3+5+7+9++99”（即从1

n，这里“

n1

50

开始的100

以内的连续奇数的和）可表示为

（2n1）;又如

10

n1

“13

23

33

43

53

63

73

83

93103”可表示为n3，同学们，通过以上

n1

材料的阅读，请解答下列问题：

（1）2+4+6+8+10++100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）

用求和符号可表示为

；

5

（2）计算：

（n2

1）=

（填写最后的计算结果）。

n1

4.阅读并解答问题

求1

22

23

.......

22008的值，

解：

可令S＝1

22

23

......

22008，

则2S＝

22

23

24

......22009

，

因此2S-S＝22009

1

，

所以1

22

23

......

22008＝22009

1

仿照以上推理计算出

1

52

53

......

52009的值

5.阅读下列材料并解决相关问题：

xx

0

我们知道x0x

0

，现在我们可以用这一结论来化简

xx0

含有绝对值的代数式，如化简代数式

x1

x

2时，可

令x

10和x20，分别求得

x

1，x

（称

分别为

x1

21，2

与x

2的零点值），在有理数范围内，零点值

x

1和x2

可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下

3中情

况：

·

⑴当x

1时，原式

x

1

x

2

2x

1

⑴当

1≤x2时，原式

x1

x2

3

⑴当x≥2时，原式

x

1

x

2

2x

1

2x

1x

1

综上讨论，原式

3

1≤x

2

2x

1x≥2

通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：

⑴分别求出x2和x4的零点值

⑴化简代数式x2x4

绝对值零点分段化简

化简：

3x

【例2】x1x2

【例3】化简x52x3．

【例4】化简：

2x1x2

【例5】求mm1m2的值．

【例6】化简：

x12x1.