SARS模型.docx
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SARS模型
一、问题的重述
SARS作为21世纪第一个在世界范围内传播的传染病，它的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来很大影响，同时也给人们许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传
染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
现在的问题是针对SARS的
传播建立数学模型，要求如下：
（1）对题目中所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。
（2）建立自己的模型，并比较它与题目提供模型的优劣；对建立一个真正能够预测且能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，提出建议，并指出难点所在；另外对卫生部门所采取的措施做出评论，女口：
提前或延后5天采取严格的隔离措施，
对疫情传播所造成的影响做出估计。
问题二要求建立SARS传播模型。
一个健康人被传染过程为：
健康人潜伏类人病人退出者（包括死亡者和治愈者）
通过分析各类人之间的转化关系，建立微分方程模型。
在SARS专播过程中，政府的干
t制约，在不同的阶段t
预起较大作用，以政府采取措施控制疫情的时刻t。
作为分割点，分别考虑to前后两阶段，称
之为控制前阶段和控制后阶段。
疫情发展规律主要由日接触率
的影响因素不同。
控制前，因按自然传播规律传播，故t可视为常量；同时，在疫情初
期，人们的防范意识比较弱，再加上非典自身的传播特点，在许多地区出现一个病人传染很多人的现象，即“超级传染事件”（SSE事件）[1];随着人们防范意识的增强，SSE事件发生的概率减小，因此SSE事件在非典的发展早期起着重要作用。
而SSE事件作为超级传染事件，特
性在于在较短的时间内，即可使传染者数目增幅较大。
因此可将SSE事件对疫情的影响看作
一个脉冲的瞬时行为，使用脉冲微分方程描述。
控制后，（t）受人们防范意识的影响，而
引起人们防范意识变化的原因主要有两方面，一方面来自因对疫情的恐慌而迫使人们自身加
强防范意识，用警惕指标ht来刻划，另一方面由于政府政策，法律法规的颁布等而加强的
防范意识，用政府措施力度gt来刻划。
而ht与gt又分别为疫情指标的函数，先定性分析确定各因素之间的函数关系，再在求解过程中利用参数辨识确定其中的参数。
3.1模型的假设
⑴由于SRAS的传播时间不是很长，故假设不考虑这段时间内的人口出生率和自然死亡率
⑵平均潜伏期为6天[2]
⑶处于潜伏期的SARS病人不具有传染性[2]
⑷提供的北京统计数据真实可信
3.2符号说明
to
从最初发现非典患者到政府采取防御措施的时间间隔
N
总人口数
S（t）
t
时刻健康人数占总人数的比例
I（t）
t时刻感染人数占总人数的比例
Et
t时刻潜伏期的人数占总人数的比例
Qt
t时刻退出类的人数占总人数的比例
日发病率
系统退出率
t
日接触率，表示每个病人平均每天有效接触的人数
ft
疫情指标
gt
政府措施力度
ht
警惕指标
wt
防范意识
问题二
SARS传播模型
4.1模型建立：
由问题的分析，将人群分为健康人类S，潜伏类E，病人类I，退出类Q四类,
之间的转化关系为:
健康人类S与潜伏类E的转化：
健康人和病人有效接触成为潜伏类，因每个病人平均每天有效接触的健康人数为
（t）S,
NI个病人平均每天共能使（t）SNI个健康人成为潜伏类。
所以
NdSdt
plQ
SNI即」SI
dt
潜伏类E与病人类I的转化:
表示潜伏期日传染率，潜伏类人的变化等于健康人的变化减去病人的变化
即：
dE
由假设2，每一位处于潜伏期的人每天将以
5tIE
1
丄的概率转化为病人类I⑷，即
6
病人类I与退出类Q的转化:
表示退出系统的比率，单位时间内退出人的增加等于病人的减少，即
dQ|
~dt
综上，我们建立了这个系统的转化过程，以下我们从将疫情传播过程分为控前阶段和控后阶段建立模型。
4.1.2控前阶段：
按自然传播规律传播
参数确定:
t在传播的初期，SARS按自然传播规律传播，（t）保持不变，记此常量为°,°
具体取值在模型求解中通过参数辨识得到
[5]
由资料0.008
超级传染事件（SSE）的处理：
1
定义脉冲函数：
XX。
2XoXX。
0else
函数：
xX0limxX0
0
由问题的分析，将SSE事件对疫情的影响看作一个瞬时的脉冲行为，且仅会对
dS
dt
m
tISNitti
i1
dE
dt
m
ENitti
i1
其中，m为所加函数的个数，在实际中为SSE事件的个数；i为第i个函数的强
度，据资料[1]显示，每例SSE事件的平均感染人数为20人。
综上我们建立了控前阶段的模型：
dS
t
IS
m
Nitti
dt
i1
dE
St
m
I
ENitti
dt
dl
E
I
i1
dt
dQ
I
dt
SE
I
Q
1
S0
So,E
0
E0,10I0,Q0Q0
其中S。
，E。
，I0，Q0为系统中各类的初始值。
4.1.3控后阶段：
疫情指标ft的确定
影响疫情指标因素主要是每日新增死亡人数d（t）、新增确诊人数b（t）、新增疑似病例
数v（t）。
对这三个因素归一后求加权和得到：
dtbtvt
fo（t）q1q2q3-
maxdtmax（b（t））maxvt
其中，f°t为离散数据；q,q2,q3依次为d（t）,b（t）,v（t）对疫情指标的相对影响权
重，且qq2q31。
考虑到人们对三类新增人数的敏感程度，
间的变化关系。
政府措施力度gt的确定
疫情的发展对经济、社会造成一定的影响，政府必会采取措施削弱其影响；同时，政
1）tto时，gt有一个初始值，即为潜在的政府力度ko0ko1；
2）gt随ft的增长而增长，开始增长较为缓慢，因为开始疫情的蔓延不足以使政
府的重视程度提高很快；但疫情发展到一定阶段后政府对疫情的蔓延变得敏感起来；后期，政府力度已较高，随疫情指标的增长变化较慢;
3）当TT趋近于i时gt趋于1。
综合性质1）2）3），gt随ft变化的曲线，形态如图三所示
（横坐标为ft，纵坐标为gt，刻度没有意义，仅表示形态），
故使用
2
f（t）
gtkoki1e1koki1
来刻画政府措施力度
O.58时，取gtoO.7，可
根据北京实际，取koO.2,k1O.8；计算得到
计算出1O.18O3
警惕指标ht的确定
人们对SARS勺警惕程度随疫情的变化而变化。
政府公布疫情初期，疫情的变化引起人们很大的关注，警惕程度随疫情的微小变动波动很大；中后期，波动逐渐变缓直至平稳。
ht与ft的关系定量为：
htk2k3eft
其中根据ft0时，ht0.2（0.2为人们固有的警惕指标）；当ft时，
ht1。
可得k21,k30.8。
防范意识wt的确定
由问题分析，防范意识wt受政府措施力度gt和警惕指标ht的影响，wt随gt的增大而增大，随ht的增大而增大，且gt,ht对wt的影响作用大致相当，取
wt0.5gt0.5ht。
防范意识wt与日接触率t的关系
t表示每个病人平均每天有效接触的人数，由问题的分析知，传染系数t是防范
意识wt的函数，且应满足以下性质：
（1）当防范意识wt为零时，（t）取最大值---控制前日接触率；
（2）随wt的增大，传染系数（t）减小。
wt不强时，对（t）的变化所起的作
用较小；wt超过一定值时，对（t）的影响效果较明显；
（3）当wt趋近于1（不可能为1）时，（t）趋近于0
（1w（t））2
由上三点确定的t随wt变化关系的曲线形态，采用函数（t）k4（1e—厂）
刻画此形态。
其中，2待定。
综上，控后阶段建立的模型为：
（1W（t））2
（t）k4（1e2）
SOSq,E0E0
I0Io,Q0Qo
4.2模型求解：
由于模型无法得到解析解，所以将连续模型离散化再求解。
在求解过程中，利用参数辨识
2
的方法，即确保btbt达到最小，进行求解并确定模型中待定的参数，其中bt表
t
示t时刻实际的北京市新增确诊人数，bt表示由模型计算得到的t时刻北京市新增确诊人
数。
初始状态：
北京人口总数N=12,000,000人，3月31日北京市12例非典患者作为疫情
5
初发，|012/N0.110,E00,Q00（求解程序见附录一）
bt与bt的关系如图四
图四新增确诊人数的实际值于计算值的比较图
由图象可以看出bt与bt的走势大致相同，且值相差不大（注：
开始的小高峰是SSE事件造成的）
5.1问题二的结果分析（对卫生部门米取措施的评价）
采取严格隔离措施早晚的影响
卫生部采取严格隔离措施，是在4月20日左右，我们对早5天或晚5天做了如图的对
比图（图十）：
从图中可看出，政府延后五天采取严格隔离措施时，日新增病例峰值为376例，提前五
天时，日新增病例峰值为55例，可见日新增病例的峰值对政府采取严格隔离措施的早晚十分敏感，采取的措施越晚，疫情峰值越高，疫情周期越长。
这对于指导非典工作具有重要意义，政府部门应该在实际工作中“早发现早隔离”，采取有效的隔离预防措施。
政府采取措施的力度对疫情的影响
政府措施力度g（t）反映了政府针对疫情所采取的力度，我们分别取
g（to）0.9,0.7,0.5，代入模型重新计算，得对比图如图十
图十一每日新增确诊人数占总人口中的比例随天数的关系
这样不仅可以使疫情不出现二次峰值，而且可以使疫
从图中可看出，政府措施力度越弱，曲线的拖尾越长，甚至会再次出现疫情小高峰的现
象。
当g（t。
）0.5时，曲线出现了第二次峰值，这表示如果政府（卫生部）在疫情刚有所
下降时，就过度的减小力度，将会使疫情发生反弹，引起第二次疫情峰值的到来。
因此政府
措施力度一定要持续，不能看到疫情有所缓和就放松警惕。
北京的实际情况是g（t0）0.7所
对应的曲线，可见卫生部实际上所采取的力度是比较危险的，很容易引起第二次峰值，因此卫生部的措施应该在加强一些。
人们警惕程度对疫情的影响对突发性事件人们有个固有的警惕程度，对该固有警惕程度取0.1,0.2,0.3，代入模型重新求解，
得对比图如图十二从图象中可看出，固有警惕程度越小，疫情曲线拖尾越长，甚至会发生二次高峰现象，图中给出了当警惕程度为0.1时，就出现了二次疫情高峰现象•卫生部号召我们要戒除陋习，改变生活习惯，就是为了使固有警惕程度增加,情周期缩短，因此卫生部加强该项措施对减缓疫情是非常有效的。
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